Strutture algebriche

Premessa

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I vari insiemi numerici sono accomunati da diverse proprietà algebriche che li caratterizzano. Proviamo quindi a esplicitare quali sono queste proprietà e diamo un nome agli insiemi dotati di operazioni che le soddisfano.

Definizione: struttura algebrica

Una struttura algebrica è un insieme non vuoto $S$, detto insieme sostegno della struttura, dotato di una o più operazioni $\star ,\otimes ,\dots$ che rispettano determinate proprietà e viene indicato come

$$(S,\star ,\otimes ,\dots )$$

1 - Gruppi

Definizione: gruppo

Un gruppo è una struttura algebrica $(G,\star )$ in cui l’insieme sostegno $G$ è dotato di un’operazione binaria $\star$ che soddisfa i seguenti assiomi:

1. Esistenza dell’elemento neutro $e\in G$:

$$\exists e\in G,\forall a\in G.(e\star a=a\star e=a)$$

2. Proprietà associativa:

$$\forall a,b,c\in G.(a\star (b\star c)=(a\star b)\star c)$$

3. Esistenza dell’inverso $a^{\prime }\in G$:

$$\forall a\in G,\exists a^{\prime }\in G.(a\star a^{\prime }=a^{\prime }\star a=e)$$

Esempio: gruppi con l'insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$

La struttura algebrica $(\mathbb{Z},+)$ formata dall’insieme dei numeri interi $\mathbb{Z}$ e l’operazione di addizione $+$ è un gruppo, infatti:

1. Esiste l’elemento neutro $0\in \mathbb{Z}$:

$$\forall a\in \mathbb{Z}.(0+a=a+0=a)$$

2. Vale la proprietà associativa:

$$\forall a,b,c\in \mathbb{Z}.(a+(b+c)=(a+b)+c)$$

3. Ogni numero intero $a\in \mathbb{Z}$ ha un suo inverso $a^{\prime }=-a\in \mathbb{Z}$:

$$\forall a\in \mathbb{Z},\exists -a\in \mathbb{Z}.(a+(-a)=(-a)+a=e=0)$$

Notiamo che invece non è un gruppo la struttura algebrica $(\mathbb{Z},\cdot )$ perché non è soddisfatta la proprietà 3, ossia per ogni $a\in \mathbb{Z}$ non esiste un inverso $a^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tale che $a\cdot a^{\prime }=e$ (elemento neutro $e$ il numero $1\in \mathbb{Z}$) perché, per esempio, l’inverso di $2$ è $\frac{1}{2}$ che non fa parte di $\mathbb{Z}$ ma dell’insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$.

1.1 - Gruppi abeliani

Definizione: gruppo abeliano

Un gruppo abeliano (o gruppo commutativo) è un gruppo $(G,\star )$ in cui vale anche la proprietà commutativa per l’operazione $\star$, ossia una struttura algebrica in cui valgono i seguenti assiomi:

1. Esistenza dell’elemento neutro $e\in G$:

$$\exists e\in G,\forall a\in G.(e\star a=a\star e=a)$$

2. Proprietà associativa:

$$\forall a,b,c\in G.(a\star (b\star c)=(a\star b)\star c)$$

3. Esistenza dell’inverso $a^{\prime }\in G$:

$$\forall a\in G,\exists a^{\prime }\in G.(a\star a^{\prime }=a^{\prime }\star a=e)$$

4. Proprietà commutativa:

$$\forall a,b\in G.(a\star b=b\star a)$$

Esempio: $(\mathbb{Z},+)$ è un gruppo abeliano

La struttura algebrica $(\mathbb{Z},+)$ è un gruppo (come abbiamo già visto), ma anche un gruppo abeliano perché vale la proprietà commutativa, infatti

$$\forall a,b\in \mathbb{Z}.(a+b=b+a)$$

1.2 - Teoremi sui gruppi

Proposizione: unicità dell'elemento neutro nei gruppi

In un gruppo $(G,\star )$ l’elemento inverso $a^{\prime }\in G$ è unico, ossia

$$\forall a,a^{\prime },a^{\prime \prime }\in G.\left(\begin{array}{c}a\star a^{\prime }=a^{\prime }\star a=e\\ \wedge \\ a\star a^{\prime \prime }=a^{\prime \prime }\star a=e\end{array}⟹a^{\prime }=a^{\prime \prime }\right)$$

Dimostrazione: unicità dell'elemento neutro nei gruppi

La dimostrazione dell’unicità dell’elemento neutro nei gruppi è frutto di una sequenza di uguaglianze:

$$\begin{array}{rl}{a}^{\prime }& =a^{\prime }\star e\\ & =a^{\prime }\star (a\star a^{\prime \prime })\\ & =(a^{\prime }\star a)\star a^{\prime \prime }\\ & =e\star a^{\prime \prime }\\ & =a^{\prime \prime }\end{array}$$

Otteniamo infine che $a^{\prime }=a^{\prime \prime }$.

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Nei gruppi è anche facile dimostrare che è possibile cancellare degli elementi dalle uguaglianze.

Proposizione: leggi di cancellazione nei gruppi

In un gruppo $(G,\star )$, un elemento $a\in G$ può essere cancellato da entrambi i membri di un’uguaglianza purché si trovi dalla stessa parte, ossia vale

$$\forall a,b,c\in G.\left(\begin{array}{c}a\star b=a\star c⟹b=c\\ \wedge \\ b\star a=c\star a⟹b=c\end{array}\right)$$

Dimostrazione: leggi di cancellazione nei gruppi

Dimostriamo le leggi di cancellazione nei gruppi usando l’elemento neutro $e$.

Nelle biimplicazioni di colore rosso $\Updownarrow$ notiamo che abbiamo sfruttato la proprietà associativa dei gruppi.

Per la cancellazione a sinistra, moltiplichiamo entrambi i membri per $a^{-1}$ a sinistra:

$$\begin{array}{rl}a\star b& =a\star c\\ & \Updownarrow \\ a^{-1}\star (a\star b)& =a^{-1}\star (a\star c)\\ & \Updownarrow \\ (a^{-1}\star a)\star b& =(a^{-1}\star a)\star c\\ & \Updownarrow \\ e\star b& =e\star c\\ & \Updownarrow \\ b& =c\end{array}$$

Per la cancellazione a destra, moltiplichiamo invece entrambi i membri per $a^{-1}$ a destra:

$$\begin{array}{rl}b\star a& =c\star a\\ & \Updownarrow \\ (b\star a)\star a^{-1}& =(c\star a)\star a^{-1}\\ & \Updownarrow \\ b\star (a\star a^{-1})& =c\star (a\star a^{-1})\\ & \Updownarrow \\ b\star e& =c\star e\\ & \Updownarrow \\ b& =c\end{array}$$

Otteniamo quindi in entrambi i casi che $b=c$.

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In un gruppo $(G,\star )$ generalmente non vale

$$\forall a,b,c\in G(a\star b=c\star a⟹b=c)$$

perché il termine $a$ non compare sempre allo stesso lato dell’operazione $\star$.

Per esempio, prendendo il gruppo $(S_n,\circ )$, non vale

$$(12)\circ (23)=(13)\circ (12)/⟹(23)=(13)$$

Possiamo però evidenziare come questa regola valga solo per i gruppi abeliani.

Proposizione: legge di cancellazione incrociata nei gruppi abeliani

In un gruppo abeliano $(G,\star )$, un elemento $a\in G$ può essere cancellato da entrambi i membri di un’uguaglianza anche se si trova non dallo stesso alto dell’uguaglianza, ossia vale

$$\forall a,b,c\in G.(a\star b=c\star a⟹b=c)$$

Dimostrazione: legge di cancellazione incrociata nei gruppi abeliani

Dimostriamo la legge di cancellazione incrociata nei gruppi abeliani.

Nelle biimplicazioni di colore rosso $\Updownarrow$ notiamo che abbiamo sfruttato la proprietà commutativa dei gruppi abeliani.

Dato un gruppo abeliano $(G,\star )$ e tre elementi $a,b,c\in G$, otteniamo che

$$\begin{array}{c}a\star b=c\star a\\ \Updownarrow \\ a\star b=a\star c\\ \Updownarrow \\ b=c\end{array}$$

e, viceversa,

$$\begin{array}{c}b\star a=a\star c\\ \Updownarrow \\ b\star a=c\star a\\ \Updownarrow \\ b=c\end{array}$$

per le leggi di cancellazione nei gruppi.

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2 - Anelli

Definizione: anello

Un anello è una struttura algebrica $(A,\oplus ,\otimes )$ in cui l’insieme sostegno $A$ è dotato di due operazioni binarie $\oplus$ e $\otimes$ che soddisfano i seguenti assiomi:

1. Esistenza dell’elemento neutro $e_{\oplus }\in A$ per l’operazione $\oplus$:

$$\exists e_{\oplus }\in A,\forall a\in A.(e_{\oplus }\oplus a=a\oplus e_{\oplus }=a)$$

2. Esistenza dell’elemento neutro $e_{\otimes }\in A$ per l’operazione $\otimes$:

$$\exists e_{\otimes }\in A,\forall a\in A.(e_{\otimes }\otimes a=a\otimes e_{\otimes }=a)$$

3. Proprietà associativa per l’operazione $\oplus$:

$$\forall a,b,c\in A.(a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c)$$

4. Proprietà associativa per l’operazione $\otimes$:

$$\forall a,b,c\in A.(a\otimes (b\otimes c)=(a\otimes b)\otimes c)$$

5. Esistenza dell’inverso $a^{\prime }\in A$ per l’operazione $\oplus$:

$$\forall a\in A,\exists a^{\prime }\in A.(a\oplus a^{\prime }=a^{\prime }\oplus a=e_{\oplus })$$

6. Proprietà commutativa per l’operazione $\oplus$:

$$\forall a,b\in A.(a\oplus b=b\oplus a)$$

7. Proprietà distributiva:

$$\forall a,b,c\in A.\left(\begin{array}{c}a\otimes (b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)\\ \wedge \\ (b\oplus c)\otimes a=(b\otimes a)\oplus (c\otimes a)\end{array}\right)$$

Gli anelli possiedono proprietà interessanti per quanto riguarda i due elementi neutri $e_{\oplus }$ e $e_{\otimes }$ rispettivamente per le operazioni $\oplus$ e $\otimes$: in particolare, possiamo verificare che l’elemento neutro $e_{\oplus }$ di $\oplus$ è anche l’elemento assorbente di $\otimes$.

Per esempio, per l’anello $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ l’elemento neutro $0$ di $+$ è l’elemento assorbente di $\cdot$.

Proposizione: elemento neutro e assorbente

Dato un anello $(A,\oplus ,\otimes )$ con $e_{\oplus }$ elemento neutro di $\oplus$, abbiamo che $e_{\oplus }$ è anche l’elemento assorbente di $\otimes$:

$$\forall a\in A.(e_{\oplus }\otimes a=a\otimes e_{\oplus }=e_{\oplus })$$

Dimostrazione: elemento neutro e assorbente

Dimostriamo che in un anello $(A,\oplus ,\otimes )$ l’elemento neutro $e_{\oplus }$ di $\oplus$ è anche l’elemento assorbente di $\otimes$ attraverso una serie di uguaglianze:

$$\begin{array}{rl}{e}_{\oplus }\otimes a& =(e_{\oplus }\oplus e_{\oplus })\otimes a\\ & =(e_{\oplus }\otimes a)\oplus (e_{\oplus }\otimes a)\\ & =e_{\oplus }\oplus e_{\oplus }\\ & =e_{\oplus }\end{array}$$

E analogamente si può dimostrare che vale anche $a\otimes e_{\oplus }=e_{\oplus }$.

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3 - Campi

Definizione: campo

Un campo è una struttura algebrica $(C,\oplus ,\otimes )$ in cui l’insieme sostegno $C$ è dotato di due operazioni binarie $\oplus$ e $\otimes$ che soddisfano i seguenti assiomi:

1. Esistenza dell’elemento neutro $e_{\oplus }\in C$ per l’operazione $\oplus$:

$$\exists e_{\oplus }\in C,\forall a\in C.(e_{\oplus }\oplus a=a\oplus e_{\oplus }=a)$$

2. Esistenza dell’elemento neutro $e_{\otimes }\in C$ per l’operazione $\otimes$:

$$\exists e_{\otimes }\in C,\forall a\in C.(e_{\otimes }\otimes a=a\otimes e_{\otimes }=a)$$

3. Proprietà associativa per l’operazione $\oplus$:

$$\forall a,b,c\in C.(a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c)$$

4. Proprietà associativa per l’operazione $\otimes$:

$$\forall a,b,c\in C.(a\otimes (b\otimes c)=(a\otimes b)\otimes c)$$

5. Esistenza dell’inverso $a^{\prime }\in C$ per l’operazione $\oplus$:

$$\forall a\in C,\exists a^{\prime }\in C.(a\oplus a^{\prime }=a^{\prime }\oplus a=e_{\oplus })$$

6. Esistenza dell’inverso $a^{\prime \prime }\in C$ per l’operazione $\otimes$:

$$\forall a\in C,\exists a^{\prime \prime }\in C.(a\otimes a^{\prime \prime }=a^{\prime \prime }\otimes a=e_{\otimes })$$

7. Proprietà commutativa per l’operazione $\oplus$:

$$\forall a,b\in C.(a\oplus b=b\oplus a)$$

8. Proprietà commutativa per l’operazione $\otimes$:

$$\forall a,b\in C.(a\otimes b=b\otimes a)$$

9. Proprietà distributiva:

$$\forall a,b,c\in C.\left(\begin{array}{c}a\otimes (b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus (a\otimes c)\\ \wedge \\ (b\oplus c)\otimes a=(b\otimes a)\oplus (c\otimes a)\end{array}\right)$$

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Fonti

• 📚 Bruno Martelli, Geometria e algebra lineare, autopubblicato, 2025:
  • Capitolo 1 - Nozioni preliminari:
    • 1.5 - Strutture algebriche.