Integrali

Premessa

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Un oggetto si muove su una retta sotto l’azine di una forza $F$ che dipende solo dalla posizione in cui si trova:

• $x$: posizione dell’oggetto
• $F(x)$: forza nel punto $x$

Vogliamo arrivare a definire il LAVORO compiuto da $F$ per spostare l’oggetto dal punto $a$ al punto $b$.

1° passo: $F$ costante
Definizione del lavoro: se $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ è costante, allora

$$L_F=F\cdot (b-a)$$

Se $F>0$, allora $L_F$ è l’area

2° passo: $F$ costante a tratti, ovvero $F$ assume al più un numero finito di valori su $[a,b]$ su un numero finito $N>1$ di suoi sottointervalli $x_1<x_2<\dots <x_{n-1}$ (con $a=x_0$ e $b=x_n$). Si ha cioè che $F$ è costante nel singolo intervallo, ma non in generale.
Definizione del lavoro: se $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ è costante a tratti, allora

$$L_F=\sum _{i=1}^N{F}_i(x_i-x_{i-1})$$

Se $F_i>0$ per ogni $i$, allora $L_F$ è la somma delle aree dei rettangolini.

3° passo: $F$ qualsiasi, neanche costante a tratti. Proviamo a fare così:

1. Prendiamo $N\in {\mathbb{N}}^{>1}$ e suddividiamo $[a,b]$ in $N$ sottointervalli della stessa lunghezza (per semplicità scegliamo la stessa lunghezza): $$\frac{b-a}{N}$$ Gli intervalli saranno: $$[x_0,\underset{=a}{\underbrace{x_1}}],[x_1,x_2],\dots ,[x_{n-2},x_{n-1}],[x_{n-1},\underset{=b}{\underbrace{x_n}}]$$
2. Su ognuno di questi intervalli approssimiamo $F$ con un valore costante. Per farlo scegliamo un punto $z_i\in [x_{i-1},x_i)$ nell’intervallo e definiamo una funzione $G(x)$ che vale il valore della forza $F$ nel punto $z_i$.
3. Ora questa funzioen $G$ è costante a tratti, quindi potremmo provare ad applicare la definzione di prima del lavoro di una funzione $F$ costante a tratti per il lavoro di $G$ che effettivamente è costante a tratti: $$\begin{array}{rl}{L}_F& \approx L_G\\ & =\sum _{i=1}^{N}F(z_i)\underset{\frac{b-a}{N}}{\underbrace{(x_i-x_{i-1})}}\\ & =\frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}F(z_i)\end{array}$$ nota: $(x_i-x_{i-1})$, per qualsiasi $i$, è sempre uguale a $\frac{b-a}{N}$ perché le lunghezze sono uguali.
4. Per rendere questa approssimazione sempre più accurata, dobbiamo ridurre sempre di più la lunghezza degli intervalli. Per farlo, usiamo il limite

Definizione: se $\underset{\frac{b-a}{N}\to 0}{\lim }\left(\frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}F(z_i)\right)$ esiste ed è finito e non dipende da come sono stati scelti i punti $z_i$, allora questo valore è $L_F$.

Problema: come scegliamo i punti $z_i$ in cui valutare $F$?

1. Prendo gli $z_i$ dopo aver fatto delle valutazioni sulla $F$, ad esempio scegliendo il punto in cui $F$ è massima o minima nell’intervallo $[x_{i-1},x_i)$
2. Prendo gli $z_i$ secondo un criterio indipendente da $F$, per esempio il punto medio.

Arriviamo quindi ad un’approssimazione di $L_F$ attraverso la seguente espressione:

$$L_F\approx \frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}F\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)$$

Questa è la formula del punto medio con $N$ suddivisioni

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Esempio di applicazione:

$$F(x)=\frac{1}{x^2}$$

(cioè la forza repulsiva).

Calcoliamo il lavoro su 5 suddivisioni, con $a=1$ e $b=5$. Ampiezza dell’intervallo: $\frac{b-a}{5}=0.8$.

Calcoliamo il lavoro:

$$L_F\approx \frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{5}F(z_i)=0.8\sum _{i=1}^{5}F(z_i)\approx 0.76$$

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Ora possiamo parlare di integrale definito di una funzione su un intervallo:

Dati una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, un valore $N\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$ intero e $x_0=a$, $x_N=b$ e $x_1,\dots ,x_{n-1}$ i punti di $(a,b)$ che suddividono $[a,b]$ in $N$ intervalli di ampiezza $\frac{b-a}{N}$ e un punto medio $z_i\in [x_{i-1},x_i)$ per ogni intervallo se il limite $\underset{N\to +\infty }{\lim }\frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}F(z_i)$ esiste finito e non dipende dalla scelta degli $z_i$ allora il valore che si ottiene è detto integrale definito di $F$ su $[a,b]$ e si indica con

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

(dove la $\int$ rappresenta una S di “sommatoria” allungata).

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Un’osservazione: la somma $\frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}f(z_i)$ viene detta somma di Riemann e si indica con $S_N(f;z_1,\dots ,z_N)$.

Se $f\ge 0$, allora la $S_N$ è la somma delle aree dei rettangoli di base $\frac{b-a}{N}$ e altezza $F(z_i)$.

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Osservazione: quando $\frac{b-a}{N}\to 0$ (cioè $N\to +\infty$) la somma di Riemann tende all’integrale, dove:

• $f(x)$ sono i singoli $f(z_i)$ perché, dato che col limite abbiamo infiniti intervalli, riusciamo a “coprire” ogni $x$ con un $z_i$ del rispettivo intervallo.
• $dx$ corrisponde a $\frac{b-a}{N}$ che è la lunghezza infinitesima (cioè che tende a 0) del singolo intervallo.

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L’integrale è quindi un numero e, se $F\ge 0$, è il valore dell’area compresa tra il grafico di $F$ e l’asse delle ascisse.

Se $F$ è negativa o se assume valori negativi sull’intervallo $[a,b]$ allora l’inegrale non rappresenta un’area (non esistono aree negative!).

Però c’è comunque una relazione tra ${\int }_a^{b}f(x)dx$ e l’area tra il grafico di $f$ e l’asse $x$:

• Se $f\le 0$ su $[a,b]$ allora l’area è $-{\int }_a^{b}f(x)dx$ (cioè l’integrale ma invertito di segno per renderlo positivo)
• Se $f$ cambia segno, invertiamo di segno solo le parti negative e sommiamole a quelle positive.

In generale:

$$\text{Area}={\int }_a^n|f(x)|dx$$

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L4a, L4b.