Integrali

Premessa

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Un oggetto si muove su una retta sotto l’azine di una forza $F$ che dipende solo dalla posizione in cui si trova:

• $x$: posizione dell’oggetto
• $F(x)$: forza nel punto $x$

Vogliamo arrivare a definire il LAVORO compiuto da $F$ per spostare l’oggetto dal punto $a$ al punto $b$.

1° passo: $F$ costante
Definizione del lavoro: se $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ è costante, allora

$$L_F=F\cdot (b-a)$$

Se $F>0$, allora $L_F$ è l’area

2° passo: $F$ costante a tratti, ovvero $F$ assume al più un numero finito di valori su $[a,b]$ su un numero finito $N>1$ di suoi sottointervalli $x_1<x_2<\dots <x_{n-1}$ (con $a=x_0$ e $b=x_n$). Si ha cioè che $F$ è costante nel singolo intervallo, ma non in generale.
Definizione del lavoro: se $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ è costante a tratti, allora

$$L_F=\sum _{i=1}^N{F}_i(x_i-x_{i-1})$$

Se $F_i>0$ per ogni $i$, allora $L_F$ è la somma delle aree dei rettangolini.

3° passo: $F$ qualsiasi, neanche costante a tratti. Proviamo a fare così:

1. Prendiamo $N\in {\mathbb{N}}^{>1}$ e suddividiamo $[a,b]$ in $N$ sottointervalli della stessa lunghezza (per semplicità scegliamo la stessa lunghezza): $$\frac{b-a}{N}$$ Gli intervalli saranno: $$[x_0,\underset{=a}{\underbrace{x_1}}],[x_1,x_2],\dots ,[x_{n-2},x_{n-1}],[x_{n-1},\underset{=b}{\underbrace{x_n}}]$$
2. Su ognuno di questi intervalli approssimiamo $F$ con un valore costante. Per farlo scegliamo un punto $z_i\in [x_{i-1},x_i)$ nell’intervallo e definiamo una funzione $G(x)$ che vale il valore della forza $F$ nel punto $z_i$.
3. Ora questa funzioen $G$ è costante a tratti, quindi potremmo provare ad applicare la definzione di prima del lavoro di una funzione $F$ costante a tratti per il lavoro di $G$ che effettivamente è costante a tratti: $$\begin{array}{rl}{L}_F& \approx L_G\\ & =\sum _{i=1}^{N}F(z_i)\underset{\frac{b-a}{N}}{\underbrace{(x_i-x_{i-1})}}\\ & =\frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}F(z_i)\end{array}$$ nota: $(x_i-x_{i-1})$, per qualsiasi $i$, è sempre uguale a $\frac{b-a}{N}$ perché le lunghezze sono uguali.
4. Per rendere questa approssimazione sempre più accurata, dobbiamo ridurre sempre di più la lunghezza degli intervalli. Per farlo, usiamo il limite

Definizione: se $\underset{\frac{b-a}{N}\to 0}{\lim }\left(\frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}F(z_i)\right)$ esiste ed è finito e non dipende da come sono stati scelti i punti $z_i$, allora questo valore è $L_F$.

Problema: come scegliamo i punti $z_i$ in cui valutare $F$?

1. Prendo gli $z_i$ dopo aver fatto delle valutazioni sulla $F$, ad esempio scegliendo il punto in cui $F$ è massima o minima nell’intervallo $[x_{i-1},x_i)$
2. Prendo gli $z_i$ secondo un criterio indipendente da $F$, per esempio il punto medio.

Arriviamo quindi ad un’approssimazione di $L_F$ attraverso la seguente espressione:

$$L_F\approx \frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}F\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)$$

Questa è la formula del punto medio con $N$ suddivisioni

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Esempio di applicazione:

$$F(x)=\frac{1}{x^2}$$

(cioè la forza repulsiva).

Calcoliamo il lavoro su 5 suddivisioni, con $a=1$ e $b=5$. Ampiezza dell’intervallo: $\frac{b-a}{5}=0.8$.

Calcoliamo il lavoro:

$$L_F\approx \frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{5}F(z_i)=0.8\sum _{i=1}^{5}F(z_i)\approx 0.76$$

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Ora possiamo parlare di integrale definito di una funzione su un intervallo:

Dati una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, un valore $N\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$ intero e $x_0=a$, $x_N=b$ e $x_1,\dots ,x_{n-1}$ i punti di $(a,b)$ che suddividono $[a,b]$ in $N$ intervalli di ampiezza $\frac{b-a}{N}$ e un punto medio $z_i\in [x_{i-1},x_i)$ per ogni intervallo se il limite $\underset{N\to +\infty }{\lim }\frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}F(z_i)$ esiste finito e non dipende dalla scelta degli $z_i$ allora il valore che si ottiene è detto integrale definito di $F$ su $[a,b]$ e si indica con

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

(dove la $\int$ rappresenta una S di “sommatoria” allungata).

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Un’osservazione: la somma $\frac{b-a}{N}\sum _{i=1}^{N}f(z_i)$ viene detta somma di Riemann e si indica con $S_N(f;z_1,\dots ,z_N)$.

In realtà la somma di Riemann è una successione:

$$a_n=S_N(f;z_1,\dots ,z_N)$$

Se $f\ge 0$, allora la $S_N$ è la somma delle aree dei rettangoli di base $\frac{b-a}{N}$ e altezza $F(z_i)$.

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Osservazione: quando $\frac{b-a}{N}\to 0$ (cioè $N\to +\infty$) la somma di Riemann tende all’integrale, dove:

• $f(x)$ sono i singoli $f(z_i)$ perché, dato che col limite abbiamo infiniti intervalli, riusciamo a “coprire” ogni $x$ con un $z_i$ del rispettivo intervallo.
• $dx$ corrisponde a $\frac{b-a}{N}$ che è la lunghezza infinitesima (cioè che tende a 0) del singolo intervallo.

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L’integrale è quindi un numero e, se $F\ge 0$, è il valore dell’area compresa tra il grafico di $F$ e l’asse delle ascisse.

Se $F$ è negativa o se assume valori negativi sull’intervallo $[a,b]$ allora l’inegrale non rappresenta un’area (non esistono aree negative!).

Però c’è comunque una relazione tra ${\int }_a^{b}f(x)dx$ e l’area tra il grafico di $f$ e l’asse $x$:

• Se $f\le 0$ su $[a,b]$ allora l’area è $-{\int }_a^{b}f(x)dx$ (cioè l’integrale ma invertito di segno per renderlo positivo)
• Se $f$ cambia segno, invertiamo di segno solo le parti negative e sommiamole a quelle positive.

In generale:

$$\text{Area}={\int }_a^n|f(x)|dx$$

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Qual è il significato dell’integrale della velocità?

Riprendiamo l’oggetto che si muove su una retta:

• $s(t)$: posizione dell’oggetto al tempo $t$
• $v(t)$: velocità istantena dell’oggetto al tempo $t$

Che cosa rappresenta ${\int }_a^{b}v(t)dt$?

In termini di unità di misura, se $f$ è $[Y]$ e $x$ è $[X]$, allora ${\int }_a^{b}f(x)dx$ è $[Y\cdot X]$

Allo stesso modo, ${\int }_a^{b}v(t)dt$ è $\left[\frac{m}{s}\cdot s\right]=[m]$, cioè l’integrale definito della velocità è dimensionalmente uno spostamento

Ma di quale spostamento si tratta?

$${\int }_a^{b}v(t)dt=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{N}v(z_i)\frac{b-a}{N}$$

dove:

• $z_i$ è il punto medio in $[t_{i-1},t_i)$
• $a=t_0<t_1<\dots <t_{n-1}<t_n=b$
• $v(z_i)$ è la velocità istantanea in $z_i$

$v(z_i)$ è la pendenza della retta tangente al grafico di $s$ nel punto $(z_i,s(z_i))$ e possiamo approssimarla alla pendenza della retta secante che passa per i punti $(t_{i-1},s(t_{i-1}))$ e $(t_i,s(t_i))$, ovvero si può approssimare col rapporto di Newton:

$$\begin{array}{rl}v(z_i)& \approx \frac{s(t_i)-s(t_{i-1})}{t_i-t_{i-1}}\\ & =\frac{s(t_i)-s(t_{i-1})}{\frac{b-a}{N}}⟹v(z_i)\cdot \frac{b-a}{N}\approx s(t_i)-s(t_{i-1})\end{array}$$

Con la costruzione che abbiamo fatto, $t_i-t_{i-1}$ è uguale a $\frac{b-a}{N}$, quindi moltiplichiamo entrambe le quantità per $\frac{b-a}{N}$ e otteniamo dopo il $⟹$ che $v(z_i)\cdot \frac{b-a}{N}$ è il termine delle somme di Riemann, quindi

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}v(t)dt& =\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{N}v(z_i)\frac{b-a}{N}\\ & \approx \sum _{i=1}^{N}v(z_i)\frac{b-a}{N}\\ & =\sum _{i=1}^{N}s(t_i)-s(t_{i-1})\\ & =\cancel{s(t_1)}-s(t_0)\cancel{+s(t_2)}\cancel{-s(t_1)}\cancel{+s(t_3)}\cancel{-s(t_2)}+\dots +s(t_n)\cancel{-s(t_{n-1})}\\ & =s(t_N)-s(t_0)\\ & =s(b)-s(a)\end{array}$$

Conclusione:

$${\int }_a^{b}v(t)dt=s(b)-s(a)$$

e non dipende da $N$! È quindi lo spostamento netto tra il tempo $a$ e il tempo $b$.

Con questo quindi possiamo passare dal grafico della velocità a quello dello spostamento.

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Dal momento che $v$ è la derivata di $s$, abbiamo che

$${\int }_a^b{s}^{\prime }(t)dt=s(b)-s(a)$$

e, semplicemente cambiando nome agli oggetti, potevamo dedurre

$${\int }_a^b{f}^{\prime }(t)dt=f(b)-f(a)$$

oppure

$${\int }_a^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$$

con $F^{\prime }(t)=f(t)$ (cioè $F$ è la primitiva di $f$)

cioè il Teorema di Torricelli-Barrow o Teorema di valutazione

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Se $f\ge 0$ su $[a,b]$, allora ${\int }_a^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$ rappresenta l’area.

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Possiamo ora sostituire $b$ con qualsiasi $x\in [a,b]$ e considerare solo una porzione di quest’area:

$${\int }_a^{x}f(t)dt=F(x)-F(a)$$

definiamo questo integrale come $G(x)$ e notiamo che:

• $G(a)=0$
• $G$ è una primitiva di $f$, infatti $G^{\prime }(x)=(F(x)-F(a){)}^{\prime }=(F(x){)}^{\prime }-(F(a){)}^{\prime }=F^{\prime }(x)+0$ (perché $F(a)$ è una costante)

$G(x)$ è una funzione integrale.

Arriviamo quindi al seguente risultato:

Teorema fondamentale del calcolo integrale:
Data una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tale che $G(x)={\int }_a^{b}f(t)dt$, allora $G$ è derivabile e $G^{\prime }(x)=f(x)$ per ogni $x\in [a,b]$.

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Esempio: grafico rappresenta la velocità di un oggetto che si muove su una retta. Stimare la posizione dell’oggetto quando $t=2$ sapendo che $s(0)=2$.

Ora sappiamo che ${\int }_0^{2}v(t)dt=s(2)-s(0)$ quindi $s(2)=s(0)+{\int }_0^{2}v(t)dt$ e possiamo stimare ${\int }_0^{2}v(t)dt$ con una somma del tipo ${\sum }_{i=1}^{n}v(z_i)\frac{(b-a)}{N}$

Scegliamo $N=4$ così ogni intervallo è $0.5$ e determiniamo i vari punti $x_i$, $z_i$ e $v(z_i)$.

Facciamo quindi i calcoli:

$$s(2)\approx s(0)+\sum _{i=1}^{4}v(z_i)\frac{(2-0)}{4}=2+0.66=2.66$$

Se avessimo usato $N=3$ avremmo ottenuto $s(1.5)\approx 2.95$

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Data una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, cos’è la sua media?
Sappiamo cos’è la media aritmetica, quindi se prendiamo $N$ valori assunti dalla $f$ su $[a,b]$ e facciamo la media di questi valori, otteniamo

$$\frac{f(z_i)+\dots +f(z_n)}{n}$$

ma

1. quanto grande prendiamo $n$?
2. quali $z_i$ prendiamo?

Risposte:

1. più grande è $n$, più è precisa l’approssimazione!
2. come nella costruzione dell’integrale, prendiamo i putni medi

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}f(z_i)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{b-a}\sum _{i=1}^{n}f(z_i)\frac{b-a}{n}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(t)dt$$

che è il teorema della media integrale.

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Interpretazione geometrica del teorema della media integrale:

se $f\ge 0$ allora la media di $f$ su $[a,b]$ è il numero che moltiplicato per la lunghezza di $[a,b]$ ci fornisce l’area ${\int }_a^{b}f$, cioè è l’altezza dell’area ${\int }_a^{b}f$.

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L4a, L4b.
      • L5a, L5b.