Numeri complessi

Premessa

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I numeri complessi sono un ampliamento dell’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ a cui aggiungiamo l’unità immaginaria.

Definizione: unità immaginaria

L’unità immaginaria $i$ è un valore definito come

$$i^2=-1$$

Definizione: numero complesso

Un numero complesso $z$ è un oggetto algebrico che si scrive come

$$z=a+bi$$

dove:

• $a$ è un numero reale arbitrario ed è detto parte reale,
• $b$ è un numero reale arbitrario ed è detto parte immaginaria e
• $i$ è l’unità immaginaria.
  

Esempi di numeri complessi

Sono esempi di numeri complessi i numeri nella seguente tabella, in cui viene specificato il valore dei coefficienti $a$ e $b$:

Numero complesso	$\mathbf{a}$	$\mathbf{b}$
$2+i$	$2$	$1$
$\sqrt{7}$	$\sqrt{7}$	$0$
$23i$	$0$	$23$
$-1+\pi i$	$-1$	$\pi$

I numeri complessi costituiscono l’insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$.

Definizione: insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$

L’insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$ è l’insieme di tutti numeri complessi.

Osservazione: collegamento tra numeri reali e numeri complessi

Possiamo notare come ogni numero reale in realtà non è altro che un numero complesso $a+bi$ in cui la parte immaginaria $b$ vale $0$: per esempio, $\sqrt{7}$ è un numero complesso in cui $a=\sqrt{7}$ e $b=0$.

Per questo l’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ viene considerato un sottoinsieme dell’insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$.

Ogni numero complesso ha un suo “fratello”, detto coniugato.

Definizione: coniugato di un numero complesso

Dato un numero complesso $z=a+bi$, il suo coniugato (o coniugio) $\overline{z}$ è il numero complesso

$$\overline{z}=a-bi$$

ottenuto da $z$ cambiando il segno della sua parte immaginaria.

Osservazione: numero complesso uguale al suo coniugato

Notiamo come un numero complesso $z=a+bi$ è uguale al suo coniugato $\overline{z}=a-bi$ solo quando la parte immaginaria $b$ è nulla, ossia quando $z$ è in realtà un numero reale, quindi:

$$z\in \mathbb{R}⟺z=\overline{z}$$

Definizione: modulo di un numero complesso

Dato un numero complesso $z=a+bi$, il suo modulo $|z|$ è il numero reale

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Osservazione: prodotto di un numero complesso col suo coniugato

Il prodotto tra un numero complesso $z=a+bi$ e il suo coniugato $\overline{z}=a-bi$ è uguale al quadrato del modulo $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$, infatti

$$z\cdot \overline{z}=(a+bi)\cdot (a-bi)=a^2+b^2=|z{|}^2$$

Definizione: inverso di un numero complesso

Dato un numero complesso $z=a+bi$, il suo inverso $z^{-1}$ è il numero complesso

$$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$$

Possiamo provare l’inverso di un numero complesso è effettivamente il suo inverso per come lo intendiamo dal punto di vista della teoria dei gruppi, infatti moltiplicando un numero complesso per il suo inverso otteniamo $1$.

Proposizione: inverso di un numero complesso

Dato un numero complesso $z=a+bi$, il suo inverso $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$ rispetta la definizione di inverso, ossia:

$$z\cdot z^{-1}=1$$

Dimostrazione: inverso di un numero complesso

Dimostriamo che $z\cdot z^{-1}=1$:

$$z\cdot z^{-1}=z\cdot \frac{\overline{z}}{|z{|}^2}=\frac{z\cdot \overline{z}}{|z{|}^2}=\frac{|z{|}^2}{|z{|}^2}=1$$

Sottolineiamo che l’uguaglianza segnalata in rosso, ossia $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2$, è già stata verificata in una osservazione precedente.

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Esempi di inversi di numeri complessi

Ecco alcuni esempi di inversi di numeri complessi:

Numero complesso	Suo inverso
$z_1=2+i$	$z_1^{-1}=\frac{2-i}{5}$
$z_2=-3i$	$z_2^{-1}=\frac{i}{3}$
$z_3=i$	$z_3^{-1}=-i$

1 - Piano complesso

Mentre l’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ viene generalmente rappresentato con una retta, detta appunto retta reale, i numeri complessi vengono rappresentati su un piano cartesiano detto piano complesso.

Definizione: piano complesso

Il piano complesso è un piano cartesiano su cui viene rappresentato ogni numero complesso $z=a+bi$ come un punto di coordinate $(a,b)$:

• sull’asse delle ascisse, detto asse reale, viene indicata la parte reale e
• sull’asse delle ordinate, detto asse immaginario, viene indicata la parte immaginaria.
  

1.1 - Coordinate polari

Come sappiamo già, ogni punto sul piano cartesiano può essere rappresentato anche come un vettore. Questo vettore, nel caso del piano complesso, può essere identificato usando le coordinate polari.

Definizione: coordinate polari

In un piano complesso, le coordinate polari di un numero complesso $z=a+bi$ sono una coppia di valori $(r,\theta )$ in cui, dato un vettore che parte dall’origine del piano e arriva al punto $(a,b)$ corrispondente al numero complesso $z=a+bi$,

• $r$, detto raggio, corrisponde alla lunghezza del vettore
• $\theta$, detto argomento o fase, corrisponde all’angolo formato dal vettore con l’asse reale.
  

Osservazione: corrispondenza tra coordinate cartesiane e coordinate polari

Dato un numero complesso $z=a+bi$ rappresentato su un piano complesso, per passare dalle sue coordinate polari $(r,\theta )$ a quelle cartesiane $(a,b)$ basta usare le formule

$$a=r\cos \theta b=r\sin \theta$$

e, viceversa,

$$r=\sqrt{a^2+b^2}\theta =\arccos \frac{x}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Di conseguenza, un numero complesso $z=a+bi$ può essere scritto direttamente in coordinate polari come

$$\begin{array}{rl}z& =a+bi\\ & =r\cos \theta +(r\sin \theta )i\\ & =r(\cos \theta +i\sin \theta )\end{array}$$

Osservazione: corrispondenza tra modulo e raggio delle coordinate polari

Dato un numero complesso $z=a+bi$, il suo raggio $r$ delle coordinate polari si calcola come

$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$

ma ciò non è altro che la formula del modulo di un numero complesso $|z|$, che quindi corrisponde proprio alla lunghezza del vettore che descrive $z$.

Per questo motivo il raggio $r$ viene anche chiamato spesso modulo.

Osservazione: piano complesso e coniugato

Dato un numero complesso $z=a+bi$, il suo coniugato $\overline{z}=a-bi$ è il punto ottenuto cambiando il segno della parte immaginaria: geometricamente questo corrisponde a riflettere il punto rispetto all’asse reale.

In coordinate polari, questo corrisponde a cambiare l’argomento $\theta$ in $-\theta$ ma lasciando fisso il raggio $r$.

1.2 - Notazione esponenziale

Notazione esponenziale delle coordinate polari

Un numero complesso può essere espresso in coordinate polari attraverso la sua notazione esponenziale

$$z=r{e}^{i\theta }$$

dove

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

Questa $e$ nella notazione esponenziale va intesa proprio come costante di Nepero, ma il motivo per cui è stata adottata in questa notazione è dovuto alle rappresentazioni delle funzioni esponenziali e trigonometriche come serie di potenze: giustificare questa scelta ci porterebbe troppo lontano, per noi è sufficiente considerare questa misteriosa notazione $e^{i\theta }$ come un simbolo che vuol dire semplicemente $\cos \theta +i\sin \theta$.

Possiamo però notare come $e^{i\theta }$ si comporti esattamente come una potenza, motivo per cui viene considerata lecita questa notazione.

Proposizione: proprietà degli esponenti nella notazione esponenziale

Nella notazione esponenziale, vale la relazione

$$e^{i(\theta +\phi )}=e^{i\theta }\cdot e^{i\phi }$$

Dimostrazione: proprietà degli esponenti nella notazione esponenziale

Dimostriamo che vale la proprietà degli esponenti nella notazione esponenziale:

$$\begin{array}{rl}{e}^{i(\theta +\phi )}& =\cos (\theta +\phi )+i\sin (\theta +\phi )\\ & =\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi +i(\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi )\\ & =(\cos \theta +i\sin \theta )\cdot (\cos \phi +i\sin \phi )\\ & =e^{i\theta }\cdot e^{i\phi }\end{array}$$

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Osservazione: utilità della notazione esponenziale

Grazie a questa proprietà degli esponenti, ora possiamo comprendere perché è così utile la notazione esponenziale: dati due numeri complessi $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ e $z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$, il loro prodotto è semplicemente

$$z_1\cdot z_2=r_1{e}^{i{\theta }_1}\cdot r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

In altre parole, quando si fa il prodotto di due numeri complessi, i loro raggi si moltiplicano e gli argomenti si sommano.

Con la notazione esponenziale, per ogni numero complesso $z=r{e}^{i\theta }\ne 0$ possiamo facilmente calcolare anche il suo inverso come

$$z^{-1}=r^{-1}{e}^{-i\theta }$$

Ossia, per ottenere l’inverso di un numero complesso, si fa l’inverso del raggio e l’opposto dell’argomento.

Osservazione: numeri complessi con modulo unitario

I numeri complessi $e^{i\theta }$ in cui $r=1$, ossia avente modulo unitario (ricordiamo la corrispondenza tra modulo e raggio), sono precisamente i punti che compongono la circonferenza unitaria.

Osservazione: uguaglianza di numeri complessi

Notiamo che due numeri complessi $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ e $z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$ non nulli sono in realtà lo stesso numero complesso se e solo se valgono entrambi questi fatti:

1. $r_1=r_2$ e
2. ${\theta }_1={\theta }_2+2k\pi$ per qualche $k\in \mathbb{Z}$, perché essendo ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$ angoli vale la periodicità degli angoli.

2 - Proprietà dei numeri complessi

I numeri complessi hanno numerose proprietà: nel caso di un prodotto, si dimostrano facilmente attraverso la notazione esponenziale. Prova a svolgere le dimostrazioni come esercizio prima di leggerle.

Proprietà: disuguaglianza triangolare dei moduli

Dati due numeri complessi $z,w\in \mathbb{C}$, vale la disuguaglianza triangolare per i loro moduli, ossia

$$|z+w|\le |z|+|w|$$

Proprietà: distributività del modulo rispetto al prodotto

Dati due numeri complessi $z,w\in \mathbb{C}$, vale la distributività per i loro moduli rispetto al prodotto, ossia

$$|z\cdot w|=|z|\cdot |w|$$

Proprietà del modulo dell'inverso

Dato un numero complesso $z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$, il modulo del suo inverso $|z^{-1}|$ è pari all’inverso del suo modulo $|z|$:

$$|z^{-1}|=\frac{1}{|z|}$$

Proprietà: uguaglianza dei moduli di un complesso e il suo coniugato

Dato un numero complesso $z\in \mathbb{C}$, il suo modulo $|z|$ è uguale al modulo del suo coniugato $|\overline{z}|$:

$$|z|=|\overline{z}|$$

Proprietà: distributività del coniugato rispetto alla somma

Dati due numeri complessi $z,w\in \mathbb{C}$, vale la distributività per i loro coniugati rispetto alla somma, ossia

$$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$$

Proprietà: distributività del coniugato rispetto al prodotto

Dati due numeri complessi $z,w\in \mathbb{C}$, vale la distributività per i loro coniugati rispetto al prodotto, ossia

$$\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}$$

3 - Radici $n$-esime di un numero complesso

Dato un numero complesso $z_0\in \mathbb{C}\setminus 0$, vediamo come trovare tutti i numeri complessi $z$ che, elevati alla potenza $n$, danno come risultato $z_0$, ossia come determinare le radici $n$-esime di $z_0$ (con $n\in \mathbb{N}$):

$$z^n=z_0$$

Riscrivendo $z$ e $z_0$ in notazione esponenziale, l’equazione diventa

$$r^n{e}^{in\theta }=r_0{e}^{i{\theta }_0}$$

Perché questa uguaglianza sia vera, devono essere uguali sia i moduli sia gli argomenti:

1. Per i moduli, abbiamo che

   $$r^n=r_0⟹r=\sqrt[n]{r_0}$$

   ma, poiché il raggio $r_0$ è il modulo di $z_0$, riscriviamo la formula come

   $$r=\sqrt[n]{|z_0|}$$

   per evitare che malauguratamente ci venga in mente di calcolare la radice $n$-esima di un numero negativo, come nel caso di $z_0=-1$. Infatti, il modulo di $z_0$ è sempre non negativo, e quindi anche il raggio $r$ delle radici è sempre non negativo.

2. Per gli argomenti, abbiamo che

   $$e^{in\theta }=e^{i{\theta }_0}⟹n\theta ={\theta }_0+2k\pi$$

   dove $k\in \mathbb{Z}$. Ricordiamoci della necessità di aggiungere $2k\pi$ perché aggiungere un multiplo intero di $2\pi$ a un angolo non cambia la direzione rappresentata da quell’angolo.

In particolare, dividendo entrambi i membri per $n$, la seconda condizione può essere riscritta come

$$\theta =\frac{{\theta }_0}{n}+\frac{2k\pi }{n}$$

per qualche $k\in \mathbb{Z}$. Questa formula ci dice che, per ogni $k\in \mathbb{Z}$, otteniamo un possibile argomento $\theta$ di una radice dell’equazione iniziale $z^n=z_0$.

A prima vista, poiché $k$ può essere qualsiasi numero intero, sembrerebbe che esistano infinite radici. In realtà, i valori di $k$ producono esattamente $n$ numeri complessi distinti: dopo $n$ valori consecutivi di $k$, le radici si ripetono, proprio perché aggiungere un multiplo intero di $2\pi$ a un angolo non cambia la direzione rappresentata da quell’angolo.

Possiamo verificare questa cosa prendendo per esempio $k=n+1$:

$$\begin{array}{rl}\frac{2(n+1)\pi }{n}& =\frac{2n\pi +2\pi }{n}\\ & =\frac{2n\pi }{n}+\frac{2\pi }{n}\\ & =2\pi +\frac{2\pi }{n}\end{array}$$

E infatti, a causa della periodicità di $2\pi$, il valore di questo argomento $2\pi +\frac{2\pi }{n}$ è equivalente a $\frac{2\pi }{n}$, che corrisponde anche all’argomento del caso $k=1$. Quindi i casi $k=n+1$ e $k=1$ rappresentano in realtà lo stesso numero complesso.

Possiamo evincere quindi che per ogni $k\in \mathbb{Z}$ gli argomenti saranno equivalenti a quelli ottenuti scegliendo un valore di $k$ compreso tra $0$ e $n-1$, sottraendo o aggiungendo opportuni multipli di $n$.

Per esempio, $k=n$ produrrà lo stesso numero complesso di $k=0$, $k=n+1$ lo stesso di $k=1$, e così via. Analogamente, $k=-n-2$ produrrà lo stesso numero complesso di $k=n-2$.

Di conseguenza, possiamo limitarci a considerare i valori di $k$ da $0$ a $n-1$, ottenendo così precisamente $n$ soluzioni distinte:

$$\theta =\underset{k=0}{\underbrace{\frac{{\theta }_0}{n}}},\underset{k=1}{\underbrace{\frac{{\theta }_0}{n}+\frac{2\pi }{n}}},\underset{k=2}{\underbrace{\frac{{\theta }_0}{n}+\frac{4\pi }{n}}},\dots ,\underset{k=n-1}{\underbrace{\frac{{\theta }_0}{n}+\frac{2(n-1)\pi }{n}}}$$

Le $n$ soluzioni dell’equazione $z^n=z_0$, riprendendo le due condizioni di prima, hanno tutte lo stesso modulo e quindi lo stesso raggio:

$$r=\sqrt[n]{|z_0|}$$

I loro argomenti, invece, variano in una sequenza di angoli separati da un passo costante pari a

$$\frac{2\pi }{n}$$

Geometricamente, questo significa che le soluzioni formano i vertici di un poligono regolare centrato nell’origine, con $n$ lati e raggio $\sqrt[n]{r_0}$.

Per esempio, le radici $n$-esime di $1$, ossia le soluzioni dell’equazione

$$z^n=1$$

sono

$$z=e^{i\frac{2k\pi }{n}}$$

dove $k=0,1,\dots ,n-1$. Queste $n$ soluzioni sono i vertici di un poligono regolare di raggio $1$ con $n$ lati.

Ora, per esempio, vediamo le radici terze di $-8$, cioè le soluzioni di $z^3=-8$. Tutte le radici avranno raggio

$$r=\sqrt[3]{|-8|}=\sqrt[3]{8}=2$$

Possiamo poi determinare i loro argomenti e passare dalle coordinate polari a quelle cartesiane:

$\mathbf{k}$	Notazione esponenziale $\mathbf{r}{\mathbf{e}}^{\mathbf{i\theta }}$	Parte reale $\mathbf{a}$	Parte immaginaria $\mathbf{b}$
$0$	$2e^{i\frac{\pi }{3}}$	$2\cos \frac{\pi }{3}=1$	$2\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$
$1$	$2e^{i\pi }$	$2\cos \pi =-2$	$2\sin \pi =0$
$2$	$2e^{i\frac{5\pi }{3}}$	$2\cos \frac{5\pi }{3}=1$	$2\sin \frac{5\pi }{3}=-\sqrt{3}$

Le tre radici sono quindi

$$\begin{array}{rl}{z}_1& =1+i\sqrt{3}\\ z_2& =-2\\ z_3& =1-i\sqrt{3}\end{array}$$

4 - Teorema fondamentale dell’algebra

Vediamo ora il risultato più importante in cui si possono applicare i numeri complessi: il teorema fondamentale dell’algebra.

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio a coefficienti complessi ha almeno una radice complessa.

Esistono innumerevoli dimostrazioni di questo teorema, ma nel libro di Martelli da cui ho studiato algebra lineare (lo trovi tra le fonti in fondo alla pagina) non sono riportate quindi per il momento non le affronterò qua, magari un giorno lo farò :)

Corollario 1 del teorema fondamentale dell'algebra

Un polinomio $p(x)$ a coefficienti complessi di grado $n$ ha esattamente $n$ radici complesse, contate con molteplicità (ossia una radice che si ripete più volte deve essere contata più volte).

Esempio: applicazione del corollario 1 del teorema fondamentale dell'algebra

Possiamo notare la veridicità del corollario 1 del teorema fondamentale dell’algebra già nell’esempio svolto prima in cui abbiamo visto che il polinomio $p(z)=z^2+1$, di grado $2$, ha esattamente $2$ radici complesse, ossia $+i$ e $-i$.

Prendiamo invece il polinomio $p(z)=(z-2{)}^3$ di grado $3$: possiamo riscriverlo come

$$\begin{array}{rl}p(z)& =(z-1{)}^2(z-3)\\ & =(z-1)(z-1)(z-3)\end{array}$$

e notiamo che le sue radici sono $1$, $1$ e $3$: se contate in modo distinto sono due (cioè solo $1$ e $3$), ma se le contiamo con molteplicità sono tre come il grado del polinomio, confermando così quanto dice il corollario.

C’è un motivo se il corollario 1 si chiama così e non solo “corollario” e basta: ovviamente perché esiste anche una sua remastered edition, il corollario 2, che esprime lo stesso concetto ma in maniera diversa.

Corollario 2 del teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio $p(x)$ a coefficienti complessi si può riscrivere come prodotto di polinomi di primo grado:

$$p(x)=a_n(x-z_1)(x-z_2)\dots (x-z_n)$$

dove $a_n$ è il coefficiente più grande di $p(x)$ e $z_1,\dots ,z_n$ sono le radici complesse di $p(x)$ contate con molteplicità (ossia una radice che si ripete più volte deve essere contata più volte).

Esempio: applicazione del corollario 2 del teorema fondamentale dell'algebra

Consideriamo il polinomio

$$p(x)=2x^3-6x^2+8x-4$$

Un uccellino ci ha detto che le sue radici sono

$$\begin{array}{rl}{z}_1& =1\\ z_2& =1+i\\ z_3& =1-i\end{array}$$

Per il corollario 2, possiamo riscrivere il polinomio come:

$$p(x)=2(x-1)(x-(1+i))(x-(1-i))$$

E infatti, sviluppandolo, otteniamo

$$\begin{array}{rl}p(x)& =2(x-1)(x-(1+i))(x-(1-i))\\ & =2(x-1)(x-1-i)(x-1+i)\\ & =2(x-1)((x-1{)}^2+1)\\ & =2(x-1)(x^2-2x+2)\\ & =2(x^3-2x^2+2x-x^2+2x-2)\\ & =2(x^3-3x^2+4x-2)\\ & =2x^3+6x^2+8x-4\end{array}$$

che è proprio il polinomio iniziale. Abbiamo così verificato che il polinomio è stato riscritto come prodotto di tre polinomi di primo grado, uno per ciascuna radice complessa.

4.1 - Polinomi a coefficienti reali

Sappiamo ora grazie al teorema fondamentale dell’algebra e al suo corollario 1 che un polinomio $p(x)$ di grado $n$ ha esattamente $n$ radici complesse contate con molteplicità.

Se $p(x)$ ha coefficienti reali (ossia in realtà complessi ma aventi parte immaginaria nulla), possiamo dire qualcosa in più sulle sue radici complesse.

Proposizione: radice complessa e suo coniugato

Dato un polinomio $p(x)$ a coefficienti reali, se un numero complesso $z\in \mathbb{Z}$ è una sua radice, allora lo è anche il suo coniugato $\overline{z}\in \mathbb{Z}$.

Esempio: radice complessa e il suo coniugato

Consideriamo il polinomio a coefficienti reali:

$$p(x)=x^2-2x+2$$

Un uccellino ci ha suggerito che $z=1+i$ è una sua radice di $p(x)$, quindi verifichiamo che anche il suo coniugato $\overline{z}=1-i$ sia una radice. Sostituendo otteniamo:

$$\begin{array}{rl}p(1-i)& =(1-i{)}^2-2(1-i)+2\\ & =1-2i+i^2-2+2i+2\\ & =1-2i-1-2+2i+2\\ & =0.\end{array}$$

Anche $\overline{z}=1-i$ è quindi una radice di $p(x)$, verificando così la proposizione.

Possiamo dedurre una fattorizzazione per i polinomi a coefficienti reali (come abbiamo fatto per quelli a coefficienti complessi nel corollario 2) in fattori di grado $1$ e $2$: i fattori di grado $2$ hanno radici complesse $z$, mentre quelli di grado $1$ hanno radici reali.

Proposizione: fattorizzazione di un polinomio a coefficienti reali

Un polinomio a coefficienti reali si può riscrivere come

$$p(x)=q_1(x)q_2(x)\dots q_m(x)\cdot (x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_n)$$

dove i $q_1(x),q_2(x),\dots ,q_m(x)$ sono polinomi a coefficienti reali di grado $2$ con discriminante negativo ($\Delta <0$) e gli $x_1,x_2,\dots ,x_n$ sono radici reali di $p(x)$ contate con molteplicità.

Esempio: fattorizzazione di un polinomio a coefficienti reali

Consideriamo il polinomio a coefficienti reali:

$$p(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2$$

Vogliamo riscriverlo come prodotto di polinomi di grado $2$ con discriminante negativo e di polinomi di primo grado associati alle radici reali.

Sappiamo grazie a un uccellino che le radici reali sono $x_1=1$ e $x_2=2$ e, dividendo $p(x)$ per $(x-1)(x-2)$, otteniamo $(x^2+1)$ che sarà proprio il polinomio di grado $2$ con discriminante negativo che stavamo cercando.

Possiamo quindi riscrivere $p(x)$ come

$$p(x)=(x^2+1)\cdot (x-1)(x-2)$$

e verificare che ciò corrisponde al polinomio di partenza:

$$\begin{array}{rl}p(x)& =(x^2+1)\cdot (x-1)(x-2)\\ & =(x^2+1)\cdot (x^2-2x-x+2)\\ & =(x^2+1)\cdot (x^2-3x+2)\\ & =x^4-3x^3+2x^2+x^2-3x+2\\ & =x^4-3x^3+3x^2-3x+2\end{array}$$

Abbiamo così verificato la proposizione.

Grazie alla proposizione di prima, abbiamo capito che in ogni polinomio $p(x)$ a coefficienti reali le radici complesse non reali sono accoppiate, nel senso che per ogni radice $z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ esisterà un’altra radice $\overline{z}\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ che corrisponde al suo coniugato. Possiamo dedurre quindi il fatto seguente.

Proposizione: polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale

Un polinomio $p(x)$ a coefficienti reali di grado dispari ha sempre almeno una radice reale.

Dimostrazione: polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale

Se il polinomio $p(x)$ ha grado $n$ dispari, per il corollario 1 del teorema fondamentale dell’algebra ha esattamente $n$ radici complesse contate con molteplicità.

Di queste, un numero pari non sono reali perché per ogni radice $z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ esisterà un’altra radice $\overline{z}\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ che corrisponde al suo coniugato.

Di conseguenza, rimuovendo dalle $n$ radici dispari queste coppie di radici, ne rimarrà almeno una reale.

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Fonti

• 📚 Bruno Martelli, Geometria e algebra lineare, autopubblicato, 2025:
  • Capitolo 1 - Nozioni preliminari:
    • 1.4 - Numeri complessi.