Limiti delle funzioni elementari

Premessa

Ciao! Se è la prima volta che capiti su questo sito, ti consiglio di consultare la pagina principale di questo cosiddetto Giardino Digitale per scoprire meglio cos’è e come navigarlo.

Lo stato di questa nota è al momento: 🔴 Bozza.

---

Limiti delle funzioni costanti

$$f(x)=c\in \mathbb{R}$$

Si ha che

$$\forall x_0\in \mathbb{R}.(\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=c)$$

Limiti delle funzioni potenza

$f(x)=x^n$

con $n\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$

Si ha che

$$\forall x_0\in \mathbb{R}.(\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^n=x_0^n)$$ $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n=+\infty$$ $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n=\{\begin{array}{ll}+\infty & \text{se }n\text{ eˋ pari}\\ -\infty & \text{se }n\text{ eˋ dispari}\end{array}$$

$f(x)=\frac{1}{x^n}$

con $n\in {\mathbb{N}}^{>0}$

Si ha che

$$\forall x_0\ne 0.(\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{x^n}=\frac{1}{x_0^n})$$ $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0$$

Se $n$ è pari, allora ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^n}=+\infty$
Se $n$ è dispari, allora ${\lim }_{x\to 0^{\pm }}\frac{1}{x^n}=\pm \infty$ ma non esiste ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^n}$

La retta $x=0$ è un asintoto verticale, la retta $y=0$ è un asintoto orizzontale.

$f(x)=\frac{1}{(x-a{)}^n}$

con $a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\wedge n\in {\mathbb{N}}^{>0}$

abbiamo che

$$\text{dom}(f)=(-\infty ,a)\cup (a,+\infty )$$

---

Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 2 - Limiti di funzioni:
      • 2.5 - Limiti delle funzioni elementari.