Limiti delle funzioni elementari

Premessa

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1 - Limiti delle funzioni costanti

$$f(x)=c\in \mathbb{R}$$

Si ha che

$$\forall x_0\in \mathbb{R}.(\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=c)$$

2 - Limiti delle funzioni potenza

2.1 - $f(x)=x^n$

con $n\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$

Si ha che

$$\forall x_0\in \mathbb{R}.(\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^n=x_0^n)$$ $$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n=+\infty$$ $$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n=\{\begin{array}{ll}+\infty & \text{se }n\text{ eˋ pari}\\ -\infty & \text{se }n\text{ eˋ dispari}\end{array}$$

ed è sempre continua

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$f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ con $n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$:

• è continua in $[0,+\infty )$ se $n$ è pari
• è continua in $\mathbb{R}$ se $n$ è dispari

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$f(x)=x^{\alpha }$ con $\alpha \in \mathbb{R}$:

• continua in $[0,+\infty )$ se $\alpha >0$
• continua in $(0,+\infty )$ se $\alpha <0$

2.2 - $f(x)=\frac{1}{x^n}$

con $n\in {\mathbb{N}}^{>0}$

Si ha che

$$\forall x_0\ne 0.(\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{x^n}=\frac{1}{x_0^n})$$ $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0$$

Se $n$ è pari, allora ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^n}=+\infty$
Se $n$ è dispari, allora ${\lim }_{x\to 0^{\pm }}\frac{1}{x^n}=\pm \infty$ ma non esiste ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^n}$

La retta $x=0$ è un asintoto verticale, la retta $y=0$ è un asintoto orizzontale.

2.3 - $f(x)=\frac{1}{(x-a{)}^n}$

con $a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\wedge n\in {\mathbb{N}}^{>0}$

abbiamo che

$$\text{dom}(f)=(-\infty ,a)\cup (a,+\infty )$$

3 - Limiti di funzioni trigonometriche

• sia $\sin x$ che $\cos x$ sono continue su $\mathbb{R}$

4 - Altri limiti

• $f(x)=a^x$ con $a>0$ è continua in $\mathbb{R}$
• ${\log }_{a}x$ con $a>0,a\ne 1$ è continua in $(0,+\infty )$

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L9a.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 2 - Limiti di funzioni:
      • 2.5 - Limiti delle funzioni elementari.