Premessa

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Introduciamo una delle nozioni più importanti dell’analisi matematica, ossia quella di limite. È alla base di altre nozioni fondamentali, quali ad esempio quella di derivata e di integrale. Prima di vedere la definizione, introduciamo questo concetto attraverso alcuni esempi che ci permettono di capire il suo significato.

1 - Introduzione ai limiti

1.1 - Limite finito al finito

Immaginiamo di avere una funzione

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}\setminus \{1\}& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto \frac{x^2-1}{x-1}\end{array}$$

Ovviamente sappiamo che questa funzione non è definita per $x=1$. Tuttavia, quando $x$ si avvicina al punto $1$, la funzione come si comporta? Cosa fa? Questa funzione è fisicamente una funzione?

Diciamo quindi che vogliamo scoprire cosa succede quando $x$ tende a $1$, cioè quando si avvicina ai punti intorno all’$1$ ma non assume il valore $1$. Indichiamo questa cosa con

$$x\to 1$$

Proviamo ad analizzare il comportamento di $f$ quando $x\to 1$, sia avvicinandoci a $1$ da “sinistra” (cioè partendo da valori minori di $1$), sia da “destra” (cioè partendo da valori maggiori di $1$):

Possiamo ipotizzare che, per $x\to 1$, $f$ tenda a $2$. Però ora ci chiediamo: quanto vicino a $1$ deve stare la $x$ affinché $f(x)$ si trovi a una distanza da $2$ inferiore (per esempio) a $0.01$ (cioè al massimo $2\pm 0.01$)? Per definizione di distanza, abbiamo che

$$\begin{array}{rl}d(f(x),2)<0.01& ⟺|f(x)-2|<0.01\end{array}$$

Quindi, per definizione di intorno, possiamo riscrivere che se $x$ si trova in un intorno di $1$ di raggio $0.01$ (cioè $x\in (0.99,1.01)$), allora $f(x)$ si troverà in un intorno di $2$ di raggio $0.01$ (cioè $f(x)\in (1.99,2.01)$):

$$x\in I_{0.01}(1)⟹f(x)\in I_{0.01}(2)$$

Ma invece di fissare come soglia $0.01$, possiamo prendere un qualsiasi numero $\epsilon >0$ piccolo a piacere e chiederci: quanto vicino a $1$ devo prendere $x$ affinché $x+1$ sia a una distanza da $2$ inferiore a $\epsilon$?

$$\forall \epsilon >0.\left(x\in I_{\epsilon }(1)⟹f(x)\in I_{\epsilon }(2)\right)$$

Riassumiamo tutta questa pappardella nella notazione del limite, scrivendo così:

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2$$

Questa notazione significa che, per ogni distanza $\epsilon >0$ di $x$ da $1$, esiste un valore $\delta$ (in questo caso uguale a $\epsilon$) che indica la distanza di $f(x)$ da $2$, tale che se $x\in I_{\delta }(1)$ (cioè se $x$ ha una distanza da $1$ minore di $\delta$) allora $f(x)\in I_{\epsilon }(2)$ (cioè $f(x)$ avrà una distanza da $2$ sicuramente minore di $\epsilon$).

Non è un concetto semplice da capire, ma proseguendo più in là ci verrà naturale capire cosa stiamo provando a dire qui.

Esistono vari “tipi” di limite e questo è detto limite finito al finito perché se $x$ tende a un valore finito $c\in \mathbb{R}$ allora la $f(x)$ tenderà a un valore finito $l\in \mathbb{R}$.

Definizione: limite finito al finito

Data una funzione $f:I_r(c)\setminus \{c\}\to \mathbb{R}$ per qualche $r>0$ e $c\in \mathbb{R}$, si dice che $f$ ammette limite finito $l$ per $x$ che tende a $c$ e si scrive

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=l$$

se

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(c)\setminus \{c\}⟹f(x)\in I_{\epsilon }(l)\right)$$

Osservazione: definizione alternativa di limite finito al finito

Nella definizione di limite finito al finito gli intorni possono essere sostituiti dalla distanza sfruttando la definizione stessa di intorno:

$$\begin{array}{c}\underset{x\to c}{\lim }f(x)=l\\ \Updownarrow \\ \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(0<|x-c|<\delta ⟹|f(x)-l|<\epsilon \right)\end{array}$$

Osservazione: dipendenza di $\delta$ da $\epsilon$

Il valore di $\delta$ dipende da $\epsilon$ perché, a seconda di quanto piccolo scegliamo $\epsilon$, il $\delta$ sarà sufficientemente piccolo da rispettare la definizione di limite finito al finito.

Per questo motivo, alcuni usano la notazione $\delta (\epsilon )$ per indicare che $\delta$ è in funzione di $\epsilon$.

Esempio di limite finito al finito

Riprendendo la funzione di prima

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

vogliamo dimostrare che vale il limite finito al finito

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2$$

proprio sfruttando questa definizione, che ci dice che, per un $\epsilon$ qualsiasi, esiste un $\delta$ tale che, per ogni $x\in \text{dom}(f)$, se la distanza tra questi e $x_0$ è minore di $\delta$ allora la distanza tra le loro immagini ed $l$ è minore di $\epsilon$.

Per esempio, prendiamo il punto $x^{\prime }=1.4$ distante da $x_0$ per ${\delta }^{\prime }=|x^{\prime }-x_0|=0.4$ la cui immagine $f(x^{\prime })=f(1.4)=2.4$ è distante da $l=2$ per un valore ${\epsilon }^{\prime }=f(x^{\prime })-l=0.4$.

Prendiamo tutti i punti $x_1=1.05,x_2=1.1,\dots$ più vicini a $x_0$ di quanto non lo sia $x^{\prime }$, ossia con distanze

$$\begin{array}{c}{\delta }_1=|x_1-x_0|=0.05\\ {\delta }_2=|x_2-x_0|=0.01\\ \dots \end{array}$$

Questi punti avranno la propria immagine $f(x_1)=2.05,f(x_2)=2.1,\dots$ molto più vicina a $l$ di quanto non lo sia quella di $f(x)$, cioè ${\epsilon }^{\prime }=0.4$:

$$\begin{array}{c}{\epsilon }_1=|f(x_1)-l|=0.05\\ {\epsilon }_2=|f(x_2)-l|=0.01\\ \dots \end{array}$$

Riassumendo, abbiamo:

Valori di $x$	$\delta =|x-x_0|$	$f(x)$	$\epsilon =|f(x)-l|$
$x^{\prime }=1.4$	${\delta }^{\prime }=0.4$	$f(x^{\prime })=2.4$	${\epsilon }^{\prime }=0.4$
$x_2=1.1$	${\delta }_2=0.1$	$f(x_2)=2.1$	${\epsilon }_2=0.1$
$x_1=1.05$	${\delta }_1=0.05$	$f(x_1)=2.05$	${\epsilon }_1=0.5$

Abbiamo cioè dimostrato che, per un $\epsilon$ qualsiasi (in questo caso ${\epsilon }^{\prime }=0.4$), esiste un $\delta$ (in questo caso ${\delta }^{\prime }=0.4$) tale che, per ogni $x\in \text{dom}(f)$ (come, per esempio, $x_1$ e $x_2$), se la distanza tra questi ($x_1$ e $x_2$) e $x_0$ è minore di $\delta$ allora la distanza tra le loro immagini ($f(x_1)$ ed $f(x_2)$) ed $l$ è minore di $\epsilon$.

Osservazione: basta un $\delta$ qualsiasi nel limite finito al finito

In un limite finito al finito non è importante trovare il miglior $\delta$, cioè la distanza minore possibile tra $f(x)$ ed $l$, ma ne basta uno qualunque che funzioni.

Per esempio, consideriamo la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+2& \text{se }x\ne 1\\ 4& \text{se }x=1\end{array}$$

Vogliamo dimostrare che vale il limite

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=5$$

Secondo la definizione alternativa del limite finito al finito, abbiamo che

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.(0<|x-1|<\delta ⟹|f(x)-5|<\epsilon )$$

Consideriamo un $\epsilon >0$ qualunque: esiste un $\delta$ che rispetta questa definizione?

Partiamo dall’obiettivo che vogliamo dimostrare, cioè che $|f(x)-5|<\epsilon$. Si ha che, se $x\ne x_0=1$ allora, per la definizione di questa funzione, abbiamo che

$$\begin{array}{c}|f(x)-5|<\epsilon \\ \Updownarrow \\ |(3x+2)-5|<\epsilon \\ \Updownarrow \\ |3x-3|<\epsilon \\ \Updownarrow \\ |x-1|<\frac{\epsilon }{3}\end{array}$$

Dato che abbiamo anche che $|x-1|<\delta$, poniamo arbitrariamente $\delta =\frac{\epsilon }{3}$, che non è necessariamente il $\delta$ più piccolo che possiamo prendere in questo limite.

Ciò ci porta al fatto che, per ogni $x$ tale che $0<|x-1|<\delta$, soddisfiamo automaticamente l’obiettivo $|f(x)-5|<\epsilon$, verificando così il limite.

Perché $\delta =\frac{\epsilon }{3}$ è “arbitrario”? Perché avremmo potuto prendere $\delta =\frac{\epsilon }{4}$ o $\delta =\frac{\epsilon }{10}$ o qualunque altro valore più piccolo di $\frac{\epsilon }{3}$, ma tanto funzionerebbero tutti: $\frac{\epsilon }{3}$ è semplicemente il più comodo che emerge dal calcolo.

Notiamo anche il fatto che $f(1)=4\ne 5$, ma è irrilevante: la condizione $0<|x-1|$ esclude esattamente $x=1$, quindi il valore in quel punto non conta.

1.2 - Limite infinito all’infinito

Immaginiamo di avere una funzione

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto x^2\end{array}$$

Questa funzione è definita ovunque, quindi non c’è nessun punto “proibito”. Tuttavia, ci chiediamo una cosa diversa: cosa succede ai valori di $f(x)$ quando $x$ diventa arbitrariamente grande? Esiste un valore verso cui $f$ tende?

Diciamo quindi che vogliamo scoprire cosa succede quando $x$ tende a $+\infty$, cioè quando cresce senza mai fermarsi. Indichiamo questa cosa con

$$x\to +\infty$$

Proviamo ad analizzare il comportamento di $f$ quando $x\to +\infty$, osservando cosa succede ai valori di $f(x)$ man mano che $x$ cresce:

Possiamo ipotizzare che, per $x\to +\infty$, anche $f(x)$ tenda a $+\infty$. Però ora ci chiediamo: quanto grande deve essere $x$ affinché $f(x)$ superi (per esempio) la soglia $10^4$?

$$\begin{array}{rl}f(x)>10^4& ⟺x^2>10^4\\ & ⟺x>10^2\\ & ⟺x>100\end{array}$$

Quindi, se $x$ si trova oltre la soglia $100$, allora $f(x)$ si troverà sicuramente oltre la soglia $10^4$:

$$x>100⟹f(x)>10^4$$

Ma invece di fissare come soglia $10^4$, possiamo prendere un qualsiasi valore $M>0$ grande a piacere e chiederci: quanto grande deve essere $x$ affinché $f(x)$ superi $M$?

$$f(x)>M⟺x^2>M⟺x>\sqrt{M}$$

Otteniamo quindi che:

$$\forall M>0.\left(x>\sqrt{M}⟹f(x)>M\right)$$

Possiamo riassumere tutto ciò nella seguente notazione:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

Questa notazione significa che, per ogni soglia $M>0$ grande quanto vogliamo, esiste un valore $K$ (in questo caso uguale a $\sqrt{M}$) tale che se $x>K$ allora $f(x)>M$.

Questo tipo di limite è detto limite infinito all’infinito perché se $x$ tende a un valore infinito (cioè $x\to +\infty$) allora anche $f(x)$ tenderà a un valore infinito (cioè $f(x)\to +\infty$).

Definizione: limite infinito all'infinito

Data una funzione $f:(a,+\infty )\to \mathbb{R}$ per qualche $a\in \mathbb{R}$, si dice che:

• $f$ ammette limite $+\infty$ per $x$ che tende a $+\infty$ se: $$\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty \\ \Updownarrow \\ \forall M>0,\exists K>0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x>K⟹f(x)>M\right)\end{array}$$
• $f$ ammette limite $-\infty$ per $x$ che tende a $+\infty$ se: $$\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty \\ \Updownarrow \\ \forall M>0,\exists K>0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x>K⟹f(x)<-M\right)\end{array}$$
• $f$ ammette limite $+\infty$ per $x$ che tende a $-\infty$ se: $$\begin{array}{c}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty \\ \Updownarrow \\ \forall M>0,\exists K>0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x<-K⟹f(x)>M\right)\end{array}$$
• $f$ ammette limite $-\infty$ per $x$ che tende a $-\infty$ se: $$\begin{array}{c}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty \\ \Updownarrow \\ \forall M>0,\exists K>0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x<-K⟹f(x)<-M\right)\end{array}$$

Esempio di limite infinito all'infinito

Prendendo la funzione

$$f(x)=x^2$$

vogliamo dimostrare che vale il limite infinito all’infinito

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

proprio sfruttando la definizione del limite infinito all’infinito, che ci dice che, per una soglia $M$ qualsiasi, esiste un $K$ tale che, per ogni $x\in \text{dom}(f)$, se $x>K$ allora $f(x)>M$.

Per esempio, prendiamo la soglia $M^{\prime }=100$: vogliamo trovare un $K^{\prime }$ tale che, per ogni $x>K^{\prime }$, si abbia $f(x)>M^{\prime }=100$. Notiamo che ci basta prendere $K^{\prime }=\sqrt{100}=10$: infatti, per $x=11$ si ha $f(11)=121>M^{\prime }=100$.

Prendiamo ora soglie $M_1=10^{\prime }000,M_2=1^{\prime }000^{\prime }000,\dots$ sempre più grandi di $M^{\prime }$: per ciascuna basterà prendere $K_1=\sqrt{10^{\prime }000}=100$, $K_2=\sqrt{1^{\prime }000^{\prime }000}=1000$, $\dots$ e tutti i punti $x>K_i$ avranno immagine oltre la soglia corrispondente:

Soglia $M$	$K=\sqrt{M}$	Esempio di $x>K$	$f(x)=x^2$
$M^{\prime }=100$	$K^{\prime }=10$	$x=11$	$f(11)=121$
$M_1=10^{\prime }000$	$K_1=100$	$x=101$	$f(101)=10^{\prime }201$
$M_2=1^{\prime }000^{\prime }000$	$K_2=1000$	$x=1001$	$f(1001)=1^{\prime }002^{\prime }001$

Abbiamo cioè dimostrato che, per una soglia $M$ qualsiasi (per esempio $M^{\prime }=100$), esiste un $K$ (in questo caso $K^{\prime }=10$) tale che, per ogni $x>K$ (come $x=11,12,\dots$), si ha $f(x)>M$.

Osservazione: basta un $K$ qualsiasi nel limite infinito all'infinito

In un limite infinito all’infinito non è importante trovare il miglior $K$, cioè la soglia più piccola possibile oltre la quale $f(x)>M$, ma ne basta uno qualunque che funzioni.

Per esempio, consideriamo la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da

$$f(x)=2x^2+1$$

Vogliamo dimostrare che vale il limite

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

Secondo la definizione del limite infinito all’infinito, abbiamo che

$$\forall M>0,\exists K>0,\forall x\in \mathbb{R}.(x>K⟹2x^2+1>M)$$

Consideriamo un $M>0$ qualunque: esiste un $K$ che rispetta questa definizione?

Partiamo dall’obiettivo che vogliamo dimostrare, cioè che $2x^2+1>M$. Si ha che

$$\begin{array}{c}2x^2+1>M\\ \Updownarrow \\ x^2>\frac{M-1}{2}\\ \Updownarrow \\ x>\sqrt{\frac{M-1}{2}}\end{array}$$

Dato che, per definizione, abbiamo anche $x>K$, poniamo arbitrariamente $K=\sqrt{\frac{M-1}{2}}$, che non è necessariamente il $K$ più piccolo che possiamo prendere in questo limite.

Ciò ci porta al fatto che, per ogni $x$ tale che $x>K$, soddisfiamo automaticamente l’obiettivo $2x^2+1>M$, verificando così il limite.

Perché $K=\sqrt{\frac{M-1}{2}}$ è “arbitrario”? Perché avremmo potuto prendere $K=\sqrt{\frac{M}{2}}$ o $K=\sqrt{M}$ o qualunque altro valore più grande di $\sqrt{\frac{M-1}{2}}$, ma tanto funzionerebbero tutti: $\sqrt{\frac{M-1}{2}}$ è semplicemente il più preciso che emerge dal calcolo.

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Immaginiamo di avere una funzione

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto 2x^2-x\end{array}$$

Quando la variabile indipendente $x$ diventa arbitrariamente grande,, si dice che $x$ tende all’infinito o, più precisamente, $x$ tende a più infinito e si indica con

$$x\to +\infty$$

Analizziamo il comportamento di $f$ quando $x\to +\infty$ (usando la notazione scientifica):

Da questa tabella si intuisce che al tendere di $x$ all’infinito i valori di $f(x)$ diventano sempre più grandi. Con il linguaggio introdotto in precedenza possiamo affermare che anche $f(x)$ tende a più infinito: esprimiamo questo fatto con la scrittura

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

che si legge limite per $x$ che tende a più infinito di $f(x)$ uguale a più infinito.

Consideriamo ora la funzione

$$\begin{array}{rl}g:(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto \frac{1}{x}\end{array}$$

Siamo interessati a conoscere qual è il comportamento di $g$ quando la variabile $x$ si avvicina sempre di più al punto $x_0=0$. Osserviamo che, per $x\to 0$ con $x>0$, il valore di $g(x)=\frac{1}{x}$ diventa sempre più positivo, mentre per $x\to 0$ con $x<0$ il valore di $g(x)=\frac{1}{x}$ diventa sempre più negativo.

Se, tuttavia, $x$ si avvicina a $x_0=0$ in modo casuale, cambiando anche segno, e “saltando” da un lato all’altro rispetto allo $0$, non possiamo dire con certezza se sta diventando sempre più positivo o sempre più negativo, quindi potremmo concludere che per $x\to 0$ si ha che $g(x)$ non ha un comportamento ben determinato e il limite di $g(x)$ per $x\to 0$ non esiste. Ecco che quindi, in questo caso, dobbiamo necessariamente specificare da quale lato vogliamo avvicinarci allo $0$, se da destra o da sinistra.

Da questi esempi si capisce che la nozione di limite ci dice qual è il comportamento (o andamento) di una funzione e dei valori che essa può assumere a seconda di come la sua variabile indipendente tende a un determinato “punto” (e qui la parola punto viene messa tra virgolette perché la variabile può anche tendere verso $+\infty$ o $-\infty$ che non sono punti di $\mathbb{R}$).

1.3 - Limite finito all’infinito

Immaginiamo ora di avere una funzione

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}\setminus \{0\}& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto \frac{1}{x}\end{array}$$

Questa funzione è definita ovunque tranne che in $x=0$. Ci chiediamo: cosa succede ai valori di $f(x)$ quando $x$ diventa arbitrariamente grande? Esiste un valore finito verso cui $f$ tende?

Diciamo quindi che vogliamo scoprire cosa succede quando $x$ tende a $+\infty$. Proviamo ad analizzare il comportamento di $f$ quando $x\to +\infty$:

Possiamo ipotizzare che, per $x$ che tende a $+\infty$, $f(x)$ tenda a $0$. Però ora ci chiediamo: quanto grande deve essere $x$ affinché $f(x)$ si trovi a una distanza da $0$ inferiore (per esempio) a $10^{-2}$?

$$\begin{array}{rl}|f(x)-0|<10^{-2}& ⟺\left|\frac{1}{x}\right|<10^{-2}\\ & ⟺\frac{1}{x}<10^{-2}\\ & ⟺x>10^2=100\end{array}$$

Quindi, se $x>100$, allora $f(x)$ si troverà sicuramente entro una distanza $10^{-2}$ da $0$:

$$x>100⟹|f(x)-0|<10^{-2}$$

Ma invece di fissare come soglia $10^{-2}$, possiamo prendere un qualsiasi valore $\epsilon >0$ piccolo a piacere e chiederci: quanto grande deve essere $x$ affinché $|f(x)-0|<\epsilon$?

$$|f(x)-0|<\epsilon ⟺\frac{1}{x}<\epsilon ⟺x>\frac{1}{\epsilon }$$

Otteniamo quindi che:

$$\forall \epsilon >0.\left(x>\frac{1}{\epsilon }⟹|f(x)-0|<\epsilon \right)$$

Possiamo riassumere tutto ciò nella seguente notazione:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$$

Questa notazione significa che, per ogni soglia $\epsilon >0$ piccola quanto vogliamo, esiste un valore $K$ (in questo caso uguale a $\frac{1}{\epsilon }$) tale che se $x>K$ allora $|f(x)-0|<\epsilon$.

Questo tipo di limite è detto limite finito all’infinito perché se $x$ tende a un valore infinito (cioè $x\to +\infty$) allora $f(x)$ tende a un valore finito (cioè $f(x)\to 0$).

Definizione: limite finito all'infinito

Data una funzione $f:(a,+\infty )\to \mathbb{R}$ per qualche $a\in \mathbb{R}$ e $l\in \mathbb{R}$, si dice che:

• $f$ ammette limite $l$ per $x$ che tende a $+\infty$ se: $$\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=l\\ \Updownarrow \\ \forall \epsilon >0,\exists K>0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x>K⟹|f(x)-l|<\epsilon \right)\end{array}$$
• $f$ ammette limite $l$ per $x$ che tende a $-\infty$ se: $$\begin{array}{c}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=l\\ \Updownarrow \\ \forall \epsilon >0,\exists K>0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x<-K⟹|f(x)-l|<\epsilon \right)\end{array}$$

Esempio di limite finito all'infinito

Prendendo la funzione

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

vogliamo dimostrare che vale il limite finito all’infinito

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$$

proprio sfruttando la definizione del limite finito all’infinito, che ci dice che, per una tolleranza $\epsilon$ qualsiasi, esiste un $K$ tale che, per ogni $x>K$, si ha $|f(x)-0|<\epsilon$.

Per esempio, prendiamo ${\epsilon }^{\prime }=0.01$: vogliamo trovare un $K^{\prime }$ tale che, per ogni $x>K^{\prime }$, si abbia $|f(x)|<0.01$. Ci basta prendere $K^{\prime }=\frac{1}{0.01}=100$: infatti, per $x=200$ si ha $f(200)=0.005<0.01$.

Prendiamo ora tolleranze ${\epsilon }_1=0.001,{\epsilon }_2=0.0001,\dots$ sempre più piccole: per ciascuna basterà prendere $K_1=1000$, $K_2=10^{\prime }000$, $\dots$:

Tolleranza $\epsilon$	$K=\frac{1}{\epsilon }$	Esempio di $x>K$	$f(x)=\frac{1}{x}$
${\epsilon }^{\prime }=0.01$	$K^{\prime }=100$	$x=200$	$f(200)=0.005$
${\epsilon }_1=0.001$	$K_1=1000$	$x=2000$	$f(2000)=0.0005$
${\epsilon }_2=0.0001$	$K_2=10^{\prime }000$	$x=20^{\prime }000$	$f(20^{\prime }000)=0.00005$

Abbiamo cioè dimostrato che, per una tolleranza $\epsilon$ qualsiasi, esiste un $K$ tale che, per ogni $x>K$, si ha $|f(x)-0|<\epsilon$.

Osservazione: basta un $K$ qualsiasi nel limite finito all'infinito

In un limite finito all’infinito non è importante trovare il miglior $K$, cioè la soglia più piccola possibile oltre la quale $|f(x)-l|<\epsilon$, ma ne basta uno qualunque che funzioni.

Per esempio, consideriamo la funzione $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ definita da

$$f(x)=\frac{1}{x^2}+3$$

Vogliamo dimostrare che vale il limite

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=3$$

Secondo la definizione del limite finito all’infinito, abbiamo che

$$\forall \epsilon >0,\exists K>0,\forall x\in \mathbb{R}.(x>K⟹|f(x)-3|<\epsilon )$$

Consideriamo un $\epsilon >0$ qualunque: esiste un $K$ che rispetta questa definizione?

Partiamo dall’obiettivo che vogliamo dimostrare, cioè che $|f(x)-3|<\epsilon$. Si ha che

$$\begin{array}{c}|f(x)-3|<\epsilon \\ \Updownarrow \\ \left|\frac{1}{x^2}\right|<\epsilon \\ \Updownarrow \\ \frac{1}{x^2}<\epsilon \\ \Updownarrow \\ x>\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}\end{array}$$

Dato che, per definizione, abbiamo anche $x>K$, poniamo arbitrariamente $K=\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}$, che non è necessariamente il $K$ più piccolo che possiamo prendere in questo limite.

Ciò ci porta al fatto che, per ogni $x>K$, soddisfiamo automaticamente l’obiettivo $|f(x)-3|<\epsilon$, verificando così il limite.

Perché $K=\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}$ è “arbitrario”? Perché avremmo potuto prendere $K=\frac{2}{\sqrt{\epsilon }}$ o $K=\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}+1$ o qualunque altro valore più grande, ma tanto funzionerebbero tutti.

1.4 - Limite infinito al finito

Ora analizziamo l’ultimo “tipo” di limite. Immaginiamo di avere una funzione

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}\setminus \{0\}& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto \frac{1}{x^2}\end{array}$$

Questa funzione non è definita in $x=0$. Ci chiediamo: cosa succede ai valori di $f(x)$ quando $x$ si avvicina a $0$? Tende a un valore finito, oppure succede qualcos’altro?

Diciamo quindi che vogliamo scoprire cosa succede quando $x$ tende a $0$. Proviamo ad analizzare il comportamento di $f$ quando $x\to 0$, avvicinandoci sia da sinistra che da destra:

Possiamo ipotizzare che, per $x\to 0$, $f(x)$ tenda a $+\infty$. Però ora ci chiediamo: quanto vicino a $0$ deve stare $x$ affinché $f(x)$ superi (per esempio) la soglia $10^4$?

$$\begin{array}{rl}f(x)>10^4& ⟺\frac{1}{x^2}>10^4\\ & ⟺x^2<10^{-4}\\ & ⟺|x|<10^{-2}=0.01\end{array}$$

Quindi, se $x\in I_{0.01}(0)$ (cioè se $x\in (-0.01,0.01)$), allora $f(x)$ si troverà sicuramente oltre la soglia $10^4$:

$$x\in I_{0.01}(0)⟹f(x)>10^4$$

Ma invece di fissare come soglia $10^4$, possiamo prendere un qualsiasi valore $M>0$ grande a piacere e chiederci: quanto vicino a $0$ deve stare $x$ affinché $f(x)>M$?

$$f(x)>M⟺\frac{1}{x^2}>M⟺|x|<\frac{1}{\sqrt{M}}$$

Otteniamo quindi che:

$$\forall M>0.\left(x\in I_{\frac{1}{\sqrt{M}}}(0)⟹f(x)>M\right)$$

Possiamo riassumere tutto ciò nella seguente notazione:

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=+\infty$$

Questa notazione significa che, per ogni soglia $M>0$ grande quanto vogliamo, esiste un $\delta$ (in questo caso uguale a $\frac{1}{\sqrt{M}}$) tale che se $x\in I_{\delta }(0)\setminus \{0\}$ allora $f(x)>M$.

Questo tipo di limite è detto limite infinito al finito perché se $x$ tende a un valore finito (cioè $x\to 0$) allora $f(x)$ diverge a $+\infty$.

Definizione: limite infinito al finito

Data una funzione $f:I_r(c)\setminus \{c\}\to \mathbb{R}$ per qualche $r>0$ e $c\in \mathbb{R}$, si dice che:

• $f$ ammette limite $+\infty$ per $x$ che tende a $c$ se: $$\begin{array}{c}\underset{x\to c}{\lim }f(x)=+\infty \\ \Updownarrow \\ \forall M>0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(c)\setminus \{c\}⟹f(x)>M\right)\end{array}$$
• $f$ ammette limite $-\infty$ per $x$ che tende a $c$ se: $$\begin{array}{c}\underset{x\to c}{\lim }f(x)=-\infty \\ \Updownarrow \\ \forall M>0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(c)\setminus \{c\}⟹f(x)<-M\right)\end{array}$$

Esempio di limite infinito al finito

Prendendo la funzione

$$f(x)=\frac{1}{x^2}$$

vogliamo dimostrare che vale il limite infinito al finito

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=+\infty$$

proprio sfruttando la definizione del limite infinito al finito, che ci dice che, per una soglia $M$ qualsiasi, esiste un $\delta$ tale che, per ogni $x\in I_{\delta }(0)\setminus \{0\}$, si ha $f(x)>M$.

Per esempio, prendiamo la soglia $M^{\prime }=100$: vogliamo trovare un ${\delta }^{\prime }$ tale che, per ogni $x\in I_{{\delta }^{\prime }}(0)\setminus \{0\}$, si abbia $f(x)>100$. Ci basta prendere ${\delta }^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{100}}=0.1$: infatti, per $x=0.05$ si ha $f(0.05)=400>100$.

Prendiamo ora soglie $M_1=10^{\prime }000,M_2=1^{\prime }000^{\prime }000,\dots$ sempre più grandi: per ciascuna basterà prendere $\delta$ sempre più piccolo:

Soglia $M$	$\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$	Esempio di $x\in I_{\delta }(0)$	$f(x)=\frac{1}{x^2}$
$M^{\prime }=100$	${\delta }^{\prime }=0.1$	$x=0.05$	$f(0.05)=400$
$M_1=10^{\prime }000$	${\delta }_1=0.01$	$x=0.005$	$f(0.005)=40^{\prime }000$
$M_2=1^{\prime }000^{\prime }000$	${\delta }_2=0.001$	$x=0.0005$	$f(0.0005)=4^{\prime }000^{\prime }000$

Abbiamo cioè dimostrato che, per una soglia $M$ qualsiasi, esiste un $\delta$ tale che, per ogni $x\in I_{\delta }(0)\setminus \{0\}$, si ha $f(x)>M$.

Osservazione: basta un $\delta$ qualsiasi nel limite infinito al finito

In un limite infinito al finito non è importante trovare il miglior $\delta$, cioè il più grande possibile tale che $f(x)>M$ per ogni $x\in I_{\delta }(c)\setminus \{c\}$, ma ne basta uno qualunque che funzioni.

Per esempio, consideriamo la funzione $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ definita da

$$f(x)=\frac{1}{x^2}+x^2$$

Vogliamo dimostrare che vale il limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=+\infty$$

Secondo la definizione del limite infinito al finito, abbiamo che

$$\forall M>0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.(x\in I_{\delta }(0)\setminus \{0\}⟹f(x)>M)$$

Consideriamo un $M>0$ qualunque: esiste un $\delta$ che rispetta questa definizione?

Notiamo che, poiché $x^2\ge 0$, abbiamo che

$$f(x)=\frac{1}{x^2}+x^2\ge \frac{1}{x^2}$$

Quindi ci basta trovare un $\delta$ tale che $\frac{1}{x^2}>M$, che è più semplice:

$$\begin{array}{c}\frac{1}{x^2}>M\\ \Updownarrow \\ x^2<\frac{1}{M}\\ \Updownarrow \\ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}\end{array}$$

Poniamo quindi arbitrariamente $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$, che non è necessariamente il $\delta$ più grande che possiamo prendere in questo limite.

Ciò ci porta al fatto che, per ogni $x\in I_{\delta }(0)\setminus \{0\}$, si ha $\frac{1}{x^2}>M$ e quindi $f(x)\ge \frac{1}{x^2}>M$, verificando così il limite.

Perché $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$ è “arbitrario”? Perché avremmo potuto prendere qualunque $\delta$ più piccolo, come $\delta =\frac{1}{2\sqrt{M}}$ o $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}+1}$, e funzionerebbero tutti ugualmente.

1.5 - Definizione generale di limite

Ora proviamo a riunire questi quattro casi “specifici” in una definizione più generale di limite.

Definizione: limite

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, un punto di accumulazione $c\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$ e un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, diciamo che $f$ ha limite $l$ per $x$ che tende a $c$ e si scrive

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=l$$

se

$$\forall I_{\epsilon }(l),\exists I_{\delta }(c),\forall x\in \mathbb{R}.(x\in I_{\delta }(c)\cap \text{dom}(f)\setminus \{c\}⟹f(x)\in I_{\epsilon }(l))$$

Osservazione: non è necessario che $c\in \text{dom}(f)$

Nella definizione di limite, il punto $c$ è un punto di accumulazione per $\text{dom}(f)$, quindi può anche non appartenere al dominio: ecco perché si richiede che $x\ne c$. Un altro motivo per cui ciò accade è che, anche se $c\in \text{dom}(f)$, il limite, sia che esista sia che non esista, non dipende dal valore di $f$ in $c$, ma solo dai valori di $f$ nei punti in un intorno di $c$.

2 - Funzioni senza limite

Proposizione: la funzione segno $\text{sgn}(x)$ non ha limite

Data la funzione segno $\text{sgn}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da

$$\text{sgn}(x)=\{\begin{array}{ll}-1& \text{se }x<0\\ 0& \text{se }x=0\\ 1& \text{se }x>0\end{array}$$

il suo limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }\text{sgn}(x)$$

non esiste.

Dimostrazione

Infatti, per assurdo supponiamo che questo limite esista e sia

$$\underset{x\to 0}{\lim }\text{sgn}(x)=l$$

Poiché $|\text{sgn}(x)|\le l$, possiamo supporre che $l\in \mathbb{R}$, cioè $l\ne \pm \infty$.

Per la definizione di limite finito al finito, abbiamo che

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.(0<|x|<\delta ⟹|\text{sgn}(x)-l|<\epsilon )$$

Abbiamo allora tre casi possibili:

• Se $l>0$, allora preso un $\epsilon =\frac{l}{2}$ esiste un $\delta >0$ tale che, per ogni $x\in \mathbb{R}$ con $0<|x|<\delta$, si ha che $$\begin{array}{c}|\text{sgn}(x)-l|<\frac{l}{2}\\ \Updownarrow \\ -\frac{l}{2}<\text{sgn}(x)-l<\frac{l}{2}\\ \Updownarrow \\ \frac{l}{2}<\text{sgn}(x)<\frac{3}{2}l\end{array}$$ e in particolare, per ogni $x\in \mathbb{R}$ tale che $0<|x|<\delta$, si ha che $\text{sgn}(x)>\frac{l}{2}>0$: otteniamo però un assurdo perché, se $x<0$, allora $\text{sgn}(x)=-1<0$.
• Se $l<0$, allora preso un $\epsilon =-\frac{l}{2}$ esiste un $\delta >0$ tale che, per ogni $x\in \mathbb{R}$ con $0<|x|<\delta$, si ha che $$\begin{array}{c}|\text{sgn}(x)-l|<-\frac{l}{2}\\ \Updownarrow \\ \frac{l}{2}<\text{sgn}(x)-l<-\frac{l}{2}\\ \Updownarrow \\ \frac{3}{2}l<\text{sgn}(x)<\frac{l}{2}\end{array}$$ e in particolare, per ogni $x\in \mathbb{R}$ tale che $0<|x|<\delta$, si ha che $\text{sgn}(x)<\frac{l}{2}<0$: otteniamo però un assurdo perché, se $x>0$, allora $\text{sgn}(x)=1>0$.
• Se $l=0$, allora preso un $\epsilon =\frac{l}{2}$ esiste un $\delta >0$ tale che, per ogni $x\in \mathbb{R}$ con $0<|x|<\delta$, si ha che $|\text{sgn}(x)|<\frac{l}{2}$: otteniamo però un assurdo perché, se $x>0$, allora $|\text{sgn}(x)|=1>\frac{l}{2}$.

$■$

Osservazione: utilità della definizione del limite

La definizione di limite non è utile ai fini del calcolo del limite, ma solo per verificare il valore del limite o per confutarne l’esistenza.

Esercizio

Provare che non esiste il limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}$$

3 - Unicità del limite

Teorema di unicità del limite

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$ e due valori $l_1,l_2\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per i quali esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$, allora

$$l_1=l_2$$

4 - Limiti laterali

Definizione: limite destro

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)\cap (x_0,+\infty )$ e un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, diciamo che $f$ ha limite destro $l$ per $x$ che tende a $x_0$ (o che $f$ tende a $l$ per $x$ che tende a $x_0$ da destra) se, per ogni intorno $I(l)$ di $l$, esiste un intorno destro $I^{+}(x_0)$ di $x_0$ tale che, per ogni $x\in \text{dom}(f)$ con $x\in I^{+}(x_0)$, si ha che $f(x)\in I(l)$:

$$\forall I(l)\text{ intorno di }l,\exists I^{+}(x_0)\text{ intorno destro di }{x}_0.(x\in \text{dom}(f)\cap I^{+}(x_0)⟹f(x)\in I(l))$$

In tal caso scriviamo

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=l$$

che si legge “limite per $x$ che tende a $x_0^{+}$ di $f(x)$ uguale $l$” o ”$f(x)$ tende a $l$ per $x$ che tende a $x_0$ da destra”.

Definizione: limite sinistro

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)\cap (-\infty ,x_0)$ e un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, diciamo che $f$ ha limite sinistro $l$ per $x$ che tende a $x_0$ (o che $f$ tende a $l$ per $x$ che tende a $x_0$ da sinistra) se, per ogni intorno $I(l)$ di $l$, esiste un intorno sinistro $I^{-}(x_0)$ di $x_0$ tale che, per ogni $x\in \text{dom}(f)$ con $x\in I^{-}(x_0)$, si ha che $f(x)\in I(l)$:

$$\forall I(l)\text{ intorno di }l,\exists I^{-}(x_0)\text{ intorno sinistro di }{x}_0.(x\in \text{dom}(f)\cap I^{-}(x_0)⟹f(x)\in I(l))$$

In tal caso scriviamo

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=l$$

che si legge “limite per $x$ che tende a $x_0^{-}$ di $f(x)$ uguale $l$” o ”$f(x)$ tende a $l$ per $x$ che tende a $x_0$ da sinistra”.

Definizione: limiti laterali

Il limite destro e limite sinistro sono detti limiti laterali.

Osservazione: casi specifici dei limiti laterali

Queste definizioni, esattamente per come avviene per i limiti, possono essere scritte in modo più specifico a seconda che $l\in \mathbb{R}$ o $l=\pm \infty$.

Per esempio, con un limite destro di $f(x)$ con $l\in \mathbb{R}$, si ha che

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=l\\ \Updownarrow \\ \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \text{dom}(f).(x_0<x<x_0+\delta ⟹|f(x)-l|<\epsilon )\end{array}$$

Invece, con un limite sinistro di $f(x)$ con $l=-\infty$, si ha che

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=-\infty \\ \Updownarrow \\ \forall a\in \mathbb{R},\exists \delta >0,\forall x\in \text{dom}(f).(x_0-\delta <x<x_0⟹f(x)<a)\end{array}$$

Proposizione: limiti laterali coincidenti

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ sia per $\text{dom}(f)\cap (x_0,+\infty )$ che per $\text{dom}(f)\cap (-\infty ,x_0)$ e un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l⟺\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=l$$

Corollario del teorema di unicità del limite per i limiti laterali

Il teorema di unicità del limite vale anche per il limite destro e il limite sinistro.

Osservazione: equivalenza tra limiti e limiti laterali

Se una funzione $f$ è definita solo per $x>x_0$, allora

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$$

Analogamente, se una funzione $f$ è definita solo per $x<x_0$, allora

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$$

5 - Limiti per eccesso e per difetto

Definizione: limite per eccesso

Data una funzione $f:I_r(c)\setminus \{c\}\to \mathbb{R}$ per qualche $r>0$ e $c\in \mathbb{R}$, si dice che $f$ ammette limite finito $l$ per eccesso per $x$ che tende a $c$ e si scrive

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=l^{+}$$

se

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(c)\setminus \{c\}⟹f(x)\in I_{\epsilon }^{+}(l)\right)$$

Definizione: limite per difetto

Data una funzione $f:I_r(c)\setminus \{c\}\to \mathbb{R}$ per qualche $r>0$ e $c\in \mathbb{R}$, si dice che $f$ ammette limite finito $l$ per difetto per $x$ che tende a $c$ e si scrive

$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=l^{-}$$

se

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(c)\setminus \{c\}⟹f(x)\in I_{\epsilon }^{-}(l)\right)$$

Esempio di limite per eccesso

Un esempio di limite per eccesso è il limite

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^2}=0^{+}$$

perché, $x^2>0$ per ogni $x\ne 0$, si ha sempre $f(x)=\frac{1}{x^2}>0$, dunque $f(x)$ si avvicina a $0$ restando sempre al di sopra di $0$.

Esempio di limite per difetto

Un esempio di limite per difetto è il limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }(1-x^2)=1^{-}$$

perché, essendo $x^2>0$ per ogni $x\ne 0$, si ha sempre $f(x)=1-x^2<1$, dunque $f(x)$ si avvicina a $1$ restando sempre al di sotto di $1$.

6 - Algebra dei limiti

Teorema della somma di limiti finiti

Dato un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb{R}$ non vuoto, due funzioni $f:A\to \mathbb{R}$ e $g:A\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esistono i limiti $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}$ e $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=m\in \mathbb{R}$, allora il limite della loro somma $f+g$ è uguale alla somma dei loro limiti:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l+m$$

Teorema del prodotto di limiti finiti

Dato un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb{R}$ non vuoto, due funzioni $f:A\to \mathbb{R}$ e $g:A\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esistono i limiti $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}$ e $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=m\in \mathbb{R}$, allora il limite del loro prodotto è uguale al prodotto dei loro limiti:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l\cdot m$$

Teorema del quoziente di limiti finiti

Dato un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb{R}$ non vuoto, due funzioni $f:A\to \mathbb{R}$ e $g:A\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esistono i limiti $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}$ e $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=m\in \mathbb{R}$ con $m\ne 0$, allora il limite del loro quoziente è uguale al quoziente dei loro limiti:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)}{\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)}=\frac{l}{m}$$

Teorema del reciproco di un limite

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, se esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ ed è diverso da $0$, allora il limite del suo reciproco $\frac{1}{f(x)}$ è uguale al reciproco del limite:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)}=\frac{1}{l}$$

6.1 - Algebra dei limiti infiniti

Ora vediamo alcune operazioni in cui almeno uno dei due limiti è infinito (cioè è o un limite infinito all’infinito o un limite infinito al finito).

Teorema della somma di limite finito con limite infinito

Dato un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb{R}$ non vuoto, due funzioni $f,g:A\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}\wedge \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\pm \infty$$

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=\pm \infty$$

Teorema della somma di limiti infiniti concordi

Dato un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb{R}$ non vuoto, due funzioni $f,g:A\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\pm \infty$$

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=\pm \infty$$

Teorema del prodotto di limiti infiniti concordi

Dato un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb{R}$ non vuoto, due funzioni $f,g:A\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\pm \infty$$

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=+\infty$$

Teorema del quoziente di limite finito con limite infinito

Dato un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb{R}$ non vuoto, due funzioni $f,g:A\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\wedge \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\pm \infty$$

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$$

Teorema del quoziente di limite finito con limite nullo

Dato un sottoinsieme $A\subseteq \mathbb{R}$ non vuoto, due funzioni $f,g:A\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\wedge \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=0^{+}$$

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty$$

7 - Teoremi del confronto

Teorema dei due carabinieri

Date tre funzioni $f,g,h:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esistono i limiti

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=l\in \mathbb{R}$$

ed esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che

$$\forall x\in (A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}.(f(x)\le g(x)\le h(x))$$

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l$$

Dimostrazione del teorema dei due carabinieri

Dimostriamo il teorema dei due carabinieri. Vogliamo dimostrare che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l$$

ossia che, per definizione di limite,

$$\forall I_{\epsilon }(l),\exists I_{\delta }(x_0),\forall x\in \mathbb{R}.(x\in I_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}⟹g(x)\in I_{\epsilon }(l))$$

Per ipotesi sappiamo che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=l\in \mathbb{R}$$

ossia che, per definizione di limite,

$$\forall I_{\epsilon }(l),\{\begin{array}{l}\exists {\hat{I}}_{\hat{\delta }}(x_0),\forall x\in \mathbb{R}.(x\in {\hat{I}}_{\hat{\delta }}(x_0)⟹f(x)\in I_{\epsilon }(l))\\ \exists {\dot{I}}_{\dot{\delta }}(x_0),\forall x\in \mathbb{R}.(x\in {\dot{I}}_{\dot{\delta }}(x_0)⟹h(x)\in I_{\epsilon }(l))\end{array}$$

Scegliamo come intorno $I_{\delta }(x_0)$ proprio l’intersezione tra ${\hat{I}}_{\hat{\delta }}(x_0)$ e ${\dot{I}}_{\dot{\delta }}(x_0)$:

$$I_{\delta }(x_0)={\hat{I}}_{\hat{\delta }}(x_0)\cap {\dot{I}}_{\dot{\delta }}(x_0)$$

e osserviamo che, dato che ogni $x\in I_{\delta }(x_0)$ sarà automaticamente contenuta sia in ${\hat{I}}_{\hat{\delta }}(x_0)$ che in ${\dot{I}}_{\dot{\delta }}(x_0)$,

$$\forall I_{\epsilon }(l),\exists I_{\delta }(x_0),\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}⟹\begin{array}{c}f(x)\in I_{\epsilon }(l)\\ \wedge \\ h(x)\in I_{\epsilon }(l)\end{array}\right)$$

che, per definizione di intorno, diventa

$$\forall I_{\epsilon }(l),\exists I_{\delta }(x_0),\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}⟹\begin{array}{c}|f(x)-l|<\epsilon \\ \wedge \\ |h(x)-l|<\epsilon \end{array}\right)$$

Sviluppiamo le disuguaglianze con i valori assoluti:

$$\forall I_{\epsilon }(l),\exists I_{\delta }(x_0),\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}⟹\begin{array}{c}l-\epsilon <f(x)<l+\epsilon \\ \wedge \\ l-\epsilon <h(x)<l+\epsilon \end{array}\right)$$

Dato che, per ipotesi, abbiamo che $f(x)\le g(x)\le h(x)$, allora

$$\forall I_{\epsilon }(l),\exists I_{\delta }(x_0),\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}⟹l-\epsilon <f(x)\le g(x)\le h(x)<l+\epsilon \right)$$

Per cui possiamo concludere che

$$\forall I_{\epsilon }(l),\exists I_{\delta }(x_0),\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}⟹l-\epsilon <g(x)<l+\epsilon \right)$$

E da qui risalire alla definizione di limite:

$$\begin{array}{c}\forall I_{\epsilon }(l),\exists I_{\delta }(x_0),\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}⟹|g(x)-l|<\epsilon \right)\\ \Updownarrow \\ \forall I_{\epsilon }(l),\exists I_{\delta }(x_0),\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}⟹g(x)\in I_{\epsilon }(l)\right)\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l\end{array}$$

$■$

Teorema del confronto per limiti infiniti

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che, per ogni $x\in (A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$, si abbia $f(x)\le g(x)$, allora

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty ⟹\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\infty \\ \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=-\infty ⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\infty \end{array}$$

Dimostrazione del teorema del confronto per limiti infiniti

Dimostriamo il teorema del confronto per limiti infiniti.

Dimostriamo prima il primo caso:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty ⟹\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\infty$$

Per definizione di limite infinito al finito,

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty \\ \Updownarrow \\ \forall M>0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}⟹f(x)>M\right)\end{array}$$

Dato che per ipotesi abbiamo $f(x)\le g(x)$, allora anche $g(x)$ sarà sicuramente più grande di $M$:

$$\{\begin{array}{l}f(x)>M\\ f(x)\le g(x)\end{array}⟹\{\begin{array}{l}f(x)>M\\ g(x)>f(x)\end{array}⟹g(x)>f(x)>M⟹g(x)>M$$

Ciò quindi conferma che il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\infty$ vale:

$$\begin{array}{c}\forall M>0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(x\in I_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}⟹g(x)>M\right)\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\infty \end{array}$$

dimostrando così la tesi.

Stesso discorso per il secondo caso.

$■$

Esercizio ( $⧫◊◊$): completa la dimostrazione

Completa la dimostrazione del teorema del confronto per limiti infiniti dimostrando il secondo caso:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=-\infty ⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\infty$$

Primo teorema del confronto

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esistono i limiti

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}\\ \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=m\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}\end{array}$$

ed esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che

$$\forall x\in (A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}.(f(x)\le g(x))$$

allora

$$l\le m$$

8 - Limiti di funzioni monotone

Teorema dei limiti laterali di funzioni monotone

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ monotona su $\text{dom}(f)$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)\cap (x_0,+\infty )$, allora si ha che:

• Se $f$ è (strettamente) crescente, allora: $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\inf \{f(x)\mid x\in \text{dom}(f)\wedge x>x_0\}$$
• Se $f$ è (strettamente) decrescente, allora: $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\sup \{f(x)\mid x\in \text{dom}(f)\wedge x>x_0\}$$

Se $x_0$ è un punto di accumulazione per $\text{dom}(f)\cap (-\infty ,x_0)$, allora si ha che:

• Se $f$ è (strettamente) crescente, allora: $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\sup \{f(x)\mid x\in \text{dom}(f)\wedge x<x_0\}$$
• Se $f$ è (strettamente) decrescente, allora: $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\inf \{f(x)\mid x\in \text{dom}(f)\wedge x<x_0\}$$

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L6b.
      • L7a, L7b.
      • L8a, L8b.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Parte I - I concetti dell’analisi matematica:
    • Capitolo 1 - Funzioni e modelli:
      • 1 - Funzioni e grafici:
        • 1.4 - Comportamento asintotico all’infinito.
    • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
      • 2 - Limiti di funzioni:
        • 2.2 - Limiti laterali.
      • 3 - Teoremi su limiti e continuità:
        • 3.3 - Algebra dei limiti.
        • 3.5 - Teoremi del confronto.
        • 3.6 - Limiti delle funzioni monotone.