Premessa

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Introduciamo quindi una delle nozioni più importanti dell’analisi matematica, ossia quella di limite. È alla base di altre nozioni fondamentali, quali ad esempio quella di derivata e di integrale. Prima di vedere la definizione, introduciamo questo concetto attraverso alcuni esempi che ci permettono di capire il suo significato.

Immaginiamo di avere una funzione

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto 2x^2-x\end{array}$$

Quando la variabile indipendente $x$ diventa arbitrariamente grande, ossia quando assume valori via via sempre maggiori, si dice che $x$ tende all’infinito o, più precisamente, $x$ tende a più infinito e si indica con

$$x\to +\infty$$

Analizziamo il comportamento di $f$ quando $x\to +\infty$:

Da questa tabella si intuisce che al tendere di $x$ all’infinito i valori di $f(x)$ diventano sempre più grandi. Con il linguaggio introdotto in precedenza possiamo affermare che anche $f(x)$ tende a più infinito: esprimiamo questo fatto con la scrittura

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$$

che si legge limite per $x$ che tende a più infinito di $f(x)$ uguale a più infinito.

Consideriamo ora la funzione

$$\begin{array}{rl}g:(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto \frac{1}{x}\end{array}$$

Siamo interessati a conoscere qual è il comportamento di $g$ quando la variabile $x$ si avvicina sempre di più al punto $x_0=0$. Osserviamo che, per $x\to 0$ con $x>0$, il valore di $g(x)=\frac{1}{x}$ diventa sempre più positivo, mentre per $x\to 0$ con $x<0$ il valore di $g(x)=\frac{1}{x}$ diventa sempre più negativo.

Se, tuttavia, $x$ si avvicina a $x_0=0$ in modo casuale, cambiando anche segno, e “saltando” da un lato all’altro rispetto allo $0$, non possiamo dire con certezza se sta diventando sempre più positivo o sempre più negativo, quindi potremmo concludere che per $x\to 0$ si ha che $g(x)$ non ha un comportamento ben determinato e il limite di $g(x)$ per $x\to 0$ non esiste. Ecco che quindi, in questo caso, dobbiamo necessariamente specificare da quale lato vogliamo avvicinarci allo $0$, se da destra o da sinistra.

Da questi esempi si capisce che la nozione di limite ci dice qual è il comportamento (o andamento) di una funzione e dei valori che essa può assumere a seconda di come la sua variabile indipendente tende a un determinato “punto” (e qui la parola punto viene messa tra virgolette perché la variabile può anche tendere verso $+\infty$ o $-\infty$ che non sono punti di $\mathbb{R}$).

Definizione: limite

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$ e un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, diciamo che $f$ ha limite $l$ per $x$ che tende a $x_0$ se, per ogni intorno $I(l)$ di $l$, esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che, per ogni $x\in \text{dom}(f)$ con $x\in I(x_0)$ e $x\ne x_0$, si ha che $f(x)\in I(l)$:

$$\forall I(l),\exists I(x_0).(x\in \text{dom}(f)\cap I(x_0)\wedge x=x_0⟹f(x)\in I(l))$$

In tal caso, scriviamo

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$$

che si legge “limite per $x$ che tende a $x_0$ di $f(x)$ uguale a $l$” o ”$f(x)$ tende a $l$ per $x$ che tende a $x_0$”.

Osservazione: non è necessario che $x_0\in \text{dom}(f)$

Nella definizione di limite, il punto $x_0$ è un punto di accumulazione per $\text{dom}(f)$, quindi può anche non appartenere al dominio: ecco perché si richiede che $x\ne x_0$. Un altro motivo per cui ciò accade è che, anche se $x_0\in \text{dom}(f)$, il limite, sia che esista sia che non esista, non dipende dal valore di $f$ in $x_0$, ma solo dai valori di $f$ nei punti in un intorno di $x_0$.

1 - I casi specifici dei limiti

La definizione di limite che abbiamo introdotto contempla tutti i casi possibili, in cui $x$ può essere reale (cioè $x\in \mathbb{R}$) o infinito (cioè $x=\pm \infty$) ed $l$ può anch’esso essere reale (cioè $l\in \mathbb{R}$) o infinito (cioè $l=\pm \infty$). Analizziamo quindi tutte le possibili combinazioni.

1.1 - $x_0\in \mathbb{R}\wedge l\in \mathbb{R}$

Osservazione: limite con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l\in \mathbb{R}$

Nel caso in cui $x_0\in \mathbb{R}\wedge l\in \mathbb{R}$, gli intorni di $x_0$ e di $l$ sono

$$\begin{array}{c}I(x_0)=I_{\delta }(x_0)=(x_0-\delta ,x_0+\delta )\\ I(l)=I_{ϵ}(l)=(l-ϵ,l+ϵ)\end{array}$$

La definizione diventa quindi:

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\\ \Updownarrow \\ \forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x\in \text{dom}(f).(0<|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-l|<ϵ)\end{array}$$

Questa definizione ci dice che, più $x$ è vicino a $x_0$, più $f(x)$ è vicino a $l$. Infatti, per quanto ci si voglia avvicinare a $l$ (ossia per quanto sia piccolo il valore della distanza $ϵ$ tra $f(x)$ ed $l$), si trova che per tutti i punti $x$ in $\text{dom}(f)$ (escluso $x_0$) abbastanza vicini a $x_0$ (ossia contenuti nella distanza $\delta$ tra $x$ ed $x_0$) il corrispondente valore $f(x)$ è nella distanza $ϵ$ prestabilita da $l$.

Esempio di un limite con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l\in \mathbb{R}$

Per esempio, per la funzione

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

diamo per scontato di sapere che vale il limite

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2$$

Prendendo un certo punto $x^{\prime }$ “lontano” da $x_0$, dobbiamo dimostrare che la sua immagine $f(x^{\prime })$ sia più distante da $l$ di quanto lo saranno le immagini di altri punti $x_1,x_2,\dots$ più vicini a $x_0$.

Per esempio, prendiamo il punto $x^{\prime }=1.4$ distante da $x_0$ per ${\delta }^{\prime }=|x^{\prime }-x_0|=0.4$ la cui immagine $f(x^{\prime })=f(1.4)=2.4$ è distante da $l=2$ per un valore ${ϵ}^{\prime }=f(x^{\prime })-l=0.4$.

Prendiamo tutti i punti $x_1=1.05,x_2=1.1,\dots$ più vicini a $x_0$ di quanto non lo sia $x^{\prime }$, ossia con distanze

$$\begin{array}{c}{\delta }_1=|x_1-x_0|=0.05\\ {\delta }_2=|x_2-x_0|=0.01\\ \dots \end{array}$$

Questi punti avranno la propria immagine $f(x_1)=2.05,f(x_2)=2.1,\dots$ molto più vicina a $l$ di quanto non lo sia quella di $f(x)$, cioè ${ϵ}^{\prime }=0.4$:

$$\begin{array}{c}{ϵ}_1=|f(x_1)-l|=0.05\\ {ϵ}_2=|f(x_2)-l|=0.01\\ \dots \end{array}$$

Riassumendo, abbiamo:

Valori di $x$	$\delta =\Vert x-x_0\Vert$	$f(x)$	$ϵ=\Vert f(x)-l\Vert$
$x^{\prime }=1.4$	${\delta }^{\prime }=0.4$	$f(x^{\prime })=2.4$	${ϵ}^{\prime }=0.4$
$x_2=1.1$	${\delta }_2=0.1$	$f(x_2)=2.1$	${ϵ}^{\prime }=0.1$
$x_1=1.05$	${\delta }_1=0.05$	$f(x_1)=2.05$	${ϵ}^{\prime }=0.5$

Abbiamo cioè dimostrato che, per un $ϵ$ qualsiasi (in questo caso $e^{\prime }=0.4$), esiste un $\delta$ (in questo caso ${\delta }^{\prime }=0.4$) tale che, per ogni $x\in \text{dom}(f)$ (come, per esempio, $x_1$ e $x_2$), se la distanza tra questi e $x_0$ è minore di $\delta$ allora la distanza tra $f(x)$ ed $l$ è minore di $ϵ$.

Osservazione: basta un $\delta$ qualsiasi nei limiti con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l\in \mathbb{R}$

In un limite con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l\in \mathbb{R}$ non è importante trovare il miglior $\delta$, cioè la distanza minore possibile tra $f(x)$ ed $l$, ma ne basta uno qualunque che funzioni.

Per esempio, consideriamo la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}3x+2& \text{se }x\ne 1\\ 4& \text{se }x=1\end{array}$$

Vogliamo dimostrare che vale il limite

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=5$$

Secondo la definizione del caso $x_0\in \mathbb{R}\wedge l\in \mathbb{R}$, abbiamo che

$$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.(0<|x-1|<\delta ⟹|f(x)-5|<ϵ)$$

Consideriamo un $ϵ>0$ qualunque: esiste un $\delta$ che rispetta questa definizione?

Partiamo dall’obiettivo che vogliamo dimostrare, cioè che $|f(x)-5|<ϵ$. Si ha che, se $x\ne x_0=1$, allora

$$\begin{array}{c}|f(x)-5|<ϵ\\ \Updownarrow \\ |(3x+2)-5|<ϵ\\ \Updownarrow \\ |3x-3|<ϵ\\ \Updownarrow \\ |x-1|<\frac{ϵ}{3}\end{array}$$

Dato che, per definizione, abbiamo anche $|x-1|<\delta$, prendiamo arbitrariamente $\delta =\frac{ϵ}{3}$, che non è necessariamente il $\delta$ più piccolo che possiamo prendere in questo limite.

Ciò ci porta al fatto che, per ogni $x$ tale che $0<|x-1|<\delta$, soddisfiamo automaticamente l’obiettivo $|f(x)-5|<ϵ$, verificando così il limite.

Perché $\delta =\frac{ϵ}{3}$ è “arbitrario”? Perché avremmo potuto prendere $\delta =\frac{ϵ}{4}$ o $\delta =\frac{ϵ}{10}$ o qualunque altro valore più piccolo di $\frac{ϵ}{3}$, ma tanto funzionerebbero tutti: $\frac{ϵ}{3}$ è semplicemente il più comodo che emerge dal calcolo.

Notiamo anche il fatto che $f(1)=4\ne 5$, ma è irrilevante: la condizione $0<|x-1|$ esclude esattamente $x=1$, quindi il valore in quel punto non conta.

1.2 - $x_0\in \mathbb{R}\wedge l=+\infty$

Osservazione: limite con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l=+\infty$

Nel caso in cui $x_0\in \mathbb{R}\wedge l=+\infty$, gli intorni di $x_0$ e di $l$ sono

$$\begin{array}{c}I(x_0)=I_{\delta }(x_0)=(x_0-\delta ,x_0+\delta )\\ I(l)=(a,+\infty )\end{array}$$

La definizione diventa quindi:

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty \\ \Updownarrow \\ \forall a\in \mathbb{R},\exists \delta >0,\forall x\in \text{dom}(f).(0<|x-x_0|<\delta ⟹f(x)>a)\end{array}$$

Questa definizione ci dice che, più $x$ è vicino a $x_0$, più $f(x)$ diventa positivo. Infatti, per quanto si voglia spingere $f(x)$ verso $+\infty$ (ossia per quanto $f(x)$ sia strettamente maggiore di $a$ con $a$ sufficientemente grande), si trova che per tutti i punti $x$ in $\text{dom}(f)$ (escluso $x_0$) abbastanza vicini a $x_0$ (ossia contenuti nella distanza $\delta$ tra $x$ ed $x_0$) il corrispondente valore $f(x)$ sarà più grande di $a$ come prestabilito.

Esempio di un limite con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l=+\infty$

Per esempio, per la funzione

$$f(x)=\frac{1}{(x-1{)}^2}$$

diamo per scontato di sapere che vale il limite

$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=+\infty$$

Prendendo un certo punto $x^{\prime }$ “lontano” da $x_0$, dobbiamo dimostrare che la sua immagine $f(x^{\prime })$ sia minore di una certa soglia reale $a$, mentre le immagini di altri punti $x_1,x_2,\dots$ più vicini a $x_0$ diventano molto più grandi di tale soglia.

Per esempio, scegliamo come soglia $a=25$ e prendiamo il punto $x^{\prime }=1.4$ distante da $x_0$ per ${\delta }^{\prime }=|x^{\prime }-x_0|=0.4$ la cui immagine $f(x^{\prime })=f(1.4)=6.25$ è ancora minore della soglia $a=25$.

Prendiamo tutti i punti $x_1=1.05,x_2=1.1,\dots$ più vicini a $x_0$ di quanto non lo sia $x^{\prime }$, ossia con distanze

$$\begin{array}{c}{\delta }_1=|x_1-x_0|=0.05\\ {\delta }_2=|x_2-x_0|=0.01\\ \dots \end{array}$$

Questi punti avranno la propria immagine $f(x_1)=400,f(x_2)=10000,\dots$ molto più grande della soglia $a=25$.

Valori di $x$	$\delta =\Vert x-x_0\Vert$	$f(x)$	Confronto con $a=25$
$x^{\prime }=1.4$	${\delta }^{\prime }=0.4$	$f(x^{\prime })=6.25$	$f(x^{\prime })<a$
$x_2=1.1$	${\delta }_2=0.1$	$f(x_2)=100$	$f(x_2)>a$
$x_1=1.05$	${\delta }_1=0.05$	$f(x_1)=400$	$f(x_1)>a$

Abbiamo cioè dimostrato che, per una soglia reale qualsiasi $a$ (in questo caso $a=25$), esiste un $\delta$ (in questo caso ${\delta }^{\prime }=0.4$) tale che, per ogni $x\in \text{dom}(f)$ (come, per esempio, $x_1$ e $x_2$), se la distanza tra questi e $x_0$ è minore di $\delta$, allora il valore di $f(x)$ è maggiore di $a$.

Osservazione: basta un $\delta$ qualsiasi nei limiti con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l=+\infty$

In un limite con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l=+\infty$ non è importante trovare il miglior $\delta$, cioè la distanza minore possibile tra $f(x)$ ed $l$, ma ne basta uno qualunque che funzioni.

Per esempio, consideriamo la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da

$$f(x)=\frac{1}{x^2}$$

Vogliamo dimostrare che vale il limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=+\infty$$

Secondo la definizione del caso $x_0\in \mathbb{R}\wedge l=+\infty$, abbiamo che

$$\forall a\in \mathbb{R},\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(0<|x|<\delta ⟹\frac{1}{x^2}>a\right)$$

Consideriamo un $a\in \mathbb{R}$ qualunque: esiste un $\delta$ che rispetta questa definizione?

Partiamo dall’obiettivo che vogliamo dimostrare, cioè che $\frac{1}{x^2}>a$. Si ha che, se $x\ne x_0=0$, allora

$$\begin{array}{c}\frac{1}{x^2}>a\\ \Updownarrow \\ x^2<\frac{1}{a}\\ \Updownarrow \\ -\frac{1}{\sqrt{a}}<x<\frac{1}{\sqrt{a}}\end{array}$$

Dato che, per definizione, abbiamo anche $|x|<\delta$, prendiamo arbitrariamente $\delta =\frac{1}{\sqrt{a}}$, che non è necessariamente il $\delta$ più piccolo che possiamo prendere in questo limite.

Ciò ci porta al fatto che, per ogni $x$ tale che $0<|x|<\delta$, soddisfiamo automaticamente l’obiettivo $\frac{1}{x^2}>a$, verificando così il limite.

1.3 - $x_0\in \mathbb{R}\wedge l=-\infty$

Osservazione: limite con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l=-\infty$

Nel caso in cui $x_0\in \mathbb{R}\wedge l=-\infty$, gli intorni di $x_0$ e di $l$ sono

$$\begin{array}{c}I(x_0)=I_{\delta }(x_0)=(x_0-\delta ,x_0+\delta )\\ I(l)=(-\infty ,a)\end{array}$$

La definizione diventa quindi:

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\infty \\ \Updownarrow \\ \forall a\in \mathbb{R},\exists \delta >0,\forall x\in \text{dom}(f).(0<|x-x_0|<\delta ⟹f(x)<a)\end{array}$$

Questa definizione ci dice che, più $x$ è vicino a $x_0$, più $f(x)$ diventa negativo. Infatti, per quanto si voglia spingere $f(x)$ verso $-\infty$ (ossia per quanto $f(x)$ sia strettamente minore di $a$ con $a$ sufficientemente piccolo), si trova che per tutti i punti $x$ in $\text{dom}(f)$ (escluso $x_0$) abbastanza vicini a $x_0$ (ossia contenuti nella distanza $\delta$ tra $x$ ed $x_0$) il corrispondente valore $f(x)$ sarà più piccolo di $a$ come prestabilito.

1.4 - $x_0=+\infty \wedge l\in \mathbb{R}$

Osservazione: limite con $x_0=+\infty \wedge l\in \mathbb{R}$

Nel caso in cui $x_0=+\infty \wedge l\in \mathbb{R}$, gli intorni di $x_0$ e di $l$ sono

$$\begin{array}{c}I(x_0)=(a,+\infty )\\ I(l)=I_{ϵ}(l)=(l-ϵ,l+ϵ)\end{array}$$

La definizione diventa quindi:

$$\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=l\\ \Updownarrow \\ \forall ϵ>0,\exists a\in \mathbb{R},\forall x\in \text{dom}(f).(x>a⟹|f(x)-l|<ϵ)\end{array}$$

Questa definizione ci dice che, più $x$ è positivo, più $f(x)$ è vicino a $l$. Infatti, per quanto ci si voglia avvicinare a $l$ (ossia per quanto sia piccolo il valore della distanza $ϵ$ tra $f(x)$ ed $l$), si trova che per tutti i punti $x$ in $\text{dom}(f)$ (escluso $x_0$) maggiori di un certo punto $a$ il corrispondente valore $f(x)$ è nella distanza $ϵ$ prestabilita da $l$.

Osservazione: basta un $a$ qualsiasi nei limiti con $x_0=+\infty \wedge l\in \mathbb{R}$

In un limite con $x_0=+\infty \wedge l\in \mathbb{R}$ non è importante trovare il miglior $a$, cioè la soglia migliore per cui $x$ deve essere maggiore, ma ne basta uno qualunque che funzioni.

Per esempio, consideriamo la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

Vogliamo dimostrare che vale il limite

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$$

Secondo la definizione del caso $x_0=+\infty \wedge l\in \mathbb{R}$, abbiamo che

$$\forall ϵ>0,\exists a\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}.\left(x>a⟹\left|\frac{1}{x}\right|<ϵ\right)$$

Consideriamo un $ϵ>0$ qualunque: esiste un $a$ che rispetta questa definizione?

Partiamo dall’obiettivo che vogliamo dimostrare, cioè che $\left|\frac{1}{x}\right|<ϵ$. Si ha che, se $x\ne 0$, allora

$$\begin{array}{c}\left|\frac{1}{x}\right|<ϵ\\ \Updownarrow \\ |x|>\frac{1}{ϵ}\\ \Updownarrow \\ x<-\frac{1}{ϵ}\wedge x>\frac{1}{ϵ}\end{array}$$

Dato che, per definizione, abbiamo anche $x>a$, prendiamo arbitrariamente $a=\frac{1}{ϵ}$, che non è necessariamente l’$a$ più piccolo che possiamo prendere in questo limite.

Ciò ci porta al fatto che, per ogni $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ tale che $x>a$, soddisfiamo automaticamente l’obiettivo $\left|\frac{1}{x}\right|<ϵ$, verificando così il limite.

1.5 - $x_0=-\infty \wedge l\in \mathbb{R}$

Osservazione: limite con $x_0=-\infty \wedge l\in \mathbb{R}$

Nel caso in cui $x_0=-\infty \wedge l\in \mathbb{R}$, gli intorni di $x_0$ e di $l$ sono

\begin{array} I(x_0) = (- \infty, a) \\ I(l) = I_\epsilon(l) = (l - \epsilon, l + \epsilon) \end{array}

La definizione diventa quindi:

$$\begin{array}{c}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=l\\ \Updownarrow \\ \forall ϵ>0,\exists a\in \mathbb{R},\forall x\in \text{dom}(f).(x<a⟹|f(x)-l|<ϵ)\end{array}$$

Questa definizione ci dice che, più $x$ è negativo, più $f(x)$ è vicino a $l$. Infatti, per quanto ci si voglia avvicinare a $l$ (ossia per quanto sia piccolo il valore della distanza $ϵ$ tra $f(x)$ ed $l$), si trova che per tutti i punti $x$ in $\text{dom}(f)$ (escluso $x_0$) minori di un certo punto $a$ il corrispondente valore $f(x)$ è nella distanza $ϵ$ prestabilita da $l$.

1.6 - $x_0=+\infty \wedge l=+\infty$

Osservazione: limite con $x_0=+\infty \wedge l=+\infty$

Nel caso in cui $x_0=+\infty \wedge l=+\infty$, gli intorni di $x_0$ e di $l$ sono

$$I(x_0)=(a,+\infty )$$

e

$$I(l)=(b,+\infty )$$

La definizione diventa quindi:

$$\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty \\ \Updownarrow \\ \forall a\in \mathbb{R},\exists b\in \mathbb{R},\forall x\in \text{dom}(f).(x>b⟹f(x)>a)\end{array}$$

Questa definizione ci dice che, più $x$ è positivo, più $f(x)$ diventa positivo. Infatti, comunque si scelga un valore $a\in \mathbb{R}$, si trova che per tutti i punti $x\in \text{dom}(f)$ maggiori di un certo punto $b$ la loro rispettiva immagine $f(x)$ è maggiore di $a$.

Osservazione: basta un $b$ qualsiasi nei limiti con $x_0=+\infty \wedge l=+\infty$

In un limite con $x_0=+\infty \wedge l=+\infty$ non è importante trovare il miglior $b$, cioè la soglia migliore per cui $x$ deve essere maggiore, ma ne basta uno qualunque che funzioni.

Per esempio, consideriamo la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da

$$f(x)=e^x$$

Vogliamo dimostrare che vale il limite

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$$

Secondo la definizione del caso $x_0=+\infty \wedge l=+\infty$, abbiamo che

$$\forall a\in \mathbb{R},\exists b\in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}.\left(x>b⟹e^x>a\right)$$

Consideriamo un $a\in \mathbb{R}$ qualunque: esiste un $b$ che rispetta questa definizione?

Partiamo dall’obiettivo che vogliamo dimostrare, cioè che $e^x>a$. Si ha che, se $x\ne 0$, allora

$$\begin{array}{c}{e}^x>a\\ \Updownarrow \\ x>\ln a\end{array}$$

Dato che, per definizione, abbiamo anche $x>b$, prendiamo arbitrariamente $b=\ln a$, che non è necessariamente il $b$ più grande che possiamo prendere in questo limite.

Ciò ci porta al fatto che, per ogni $x\in \mathbb{R}$ tale che $x>b$, soddisfiamo automaticamente l’obiettivo $e^x>a$, verificando così il limite.

2 - Funzioni senza limite

Proposizione: la funzione segno $\text{sgn}(x)$ non ha limite

Data la funzione segno $\text{sgn}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da

$$\text{sgn}(x)=\{\begin{array}{ll}-1& \text{se }x<0\\ 0& \text{se }x=0\\ 1& \text{se }x>0\end{array}$$

il suo limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }\text{sgn}(x)$$

non esiste.

Dimostrazione

Infatti, per assurdo supponiamo che questo limite esista e sia

$$\underset{x\to 0}{\lim }\text{sgn}(x)=l$$

Poiché $|\text{sgn}(x)|\le l$, possiamo supporre che $l\in \mathbb{R}$, cioè $l\ne \pm \infty$.

Per la definizione di limite con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l\in \mathbb{R}$, abbiamo che

$$\forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.(0<|x|<\delta ⟹|\text{sgn}(x)-l|<ϵ)$$

Abbiamo allora tre casi possibili:

• Se $l>0$, allora preso un $ϵ=\frac{l}{2}$ esiste un $\delta >0$ tale che, per ogni $x\in \mathbb{R}$ con $0<|x|<\delta$, si ha che $$\begin{array}{c}|\text{sgn}(x)-l|<\frac{l}{2}\\ \Updownarrow \\ -\frac{l}{2}<\text{sgn}(x)-l<\frac{l}{2}\\ \Updownarrow \\ \frac{l}{2}<\text{sgn}(x)<\frac{3}{2}l\end{array}$$ e in particolare, per ogni $x\in \mathbb{R}$ tale che $0<|x|<\delta$, si ha che $\text{sgn}(x)>\frac{l}{2}>0$: otteniamo però un assurdo perché, se $x<0$, allora $\text{sgn}(x)=-1<0$.
• Se $l<0$, allora preso un $ϵ=-\frac{l}{2}$ esiste un $\delta >0$ tale che, per ogni $x\in \mathbb{R}$ con $0<|x|<\delta$, si ha che $$\begin{array}{c}|\text{sgn}(x)-l|<-\frac{l}{2}\\ \Updownarrow \\ \frac{l}{2}<\text{sgn}(x)-l<-\frac{l}{2}\\ \Updownarrow \\ \frac{3}{2}l<\text{sgn}(x)<\frac{l}{2}\end{array}$$ e in particolare, per ogni $x\in \mathbb{R}$ tale che $0<|x|<\delta$, si ha che $\text{sgn}(x)<\frac{l}{2}<0$: otteniamo però un assurdo perché, se $x>0$, allora $\text{sgn}(x)=1>0$.
• Se $l=0$, allora preso un $ϵ=\frac{l}{2}$ esiste un $\delta >0$ tale che, per ogni $x\in \mathbb{R}$ con $0<|x|<\delta$, si ha che $|\text{sgn}(x)|<\frac{l}{2}$: otteniamo però un assurdo perché, se $x>0$, allora $|\text{sgn}(x)|=1>\frac{l}{2}$.

$■$

Osservazione: utilità della definizione del limite

La definizione di limite non è utile ai fini del calcolo del limite, ma solo per verificare il valore del limite o per confutarne l’esistenza.

Esercizio

Provare che non esiste il limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}$$

3 - Unicità del limite

Teorema di unicità del limite

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$ e due valori $l_1,l_2\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per i quali esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$, allora

$$l_1=l_2$$

4 - Limiti laterali

Definizione: limite destro

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)\cap (x_0,+\infty )$ e un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, diciamo che $f$ ha limite destro $l$ per $x$ che tende a $x_0$ (o che $f$ tende a $l$ per $x$ che tende a $x_0$ da destra) se, per ogni intorno $I(l)$ di $l$, esiste un intorno destro $I^{+}(x_0)$ di $x_0$ tale che, per ogni $x\in \text{dom}(f)$ con $x\in I^{+}(x_0)$, si ha che $f(x)\in I(l)$:

$$\forall I(l)\text{ intorno di }l,\exists I^{+}(x_0)\text{ intorno destro di }{x}_0.(x\in \text{dom}(f)\cap I^{+}(x_0)⟹f(x)\in I(l))$$

In tal caso scriviamo

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=l$$

che si legge “limite per $x$ che tende a $x_0^{+}$ di $f(x)$ uguale $l$” o ”$f(x)$ tende a $l$ per $x$ che tende a $x_0$ da destra”.

Definizione: limite sinistro

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)\cap (-\infty ,x_0)$ e un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, diciamo che $f$ ha limite sinistro $l$ per $x$ che tende a $x_0$ (o che $f$ tende a $l$ per $x$ che tende a $x_0$ da sinistra) se, per ogni intorno $I(l)$ di $l$, esiste un intorno sinistro $I^{-}(x_0)$ di $x_0$ tale che, per ogni $x\in \text{dom}(f)$ con $x\in I^{-}(x_0)$, si ha che $f(x)\in I(l)$:

$$\forall I(l)\text{ intorno di }l,\exists I^{-}(x_0)\text{ intorno sinistro di }{x}_0.(x\in \text{dom}(f)\cap I^{-}(x_0)⟹f(x)\in I(l))$$

In tal caso scriviamo

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=l$$

che si legge “limite per $x$ che tende a $x_0^{-}$ di $f(x)$ uguale $l$” o ”$f(x)$ tende a $l$ per $x$ che tende a $x_0$ da sinistra”.

Osservazione: casi specifici dei limiti laterali

Queste definizioni, esattamente per come avviene per i limiti, possono essere scritte in modo più specifico a seconda che $l\in \mathbb{R}$ o $l=\pm \infty$.

Per esempio, con un limite destro di $f(x)$ con $l\in \mathbb{R}$, si ha che

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=l\\ \Updownarrow \\ \forall ϵ>0,\exists \delta >0,\forall x\in \text{dom}(f).(x_0<x<x_0+\delta ⟹|f(x)-l|<ϵ)\end{array}$$

Invece, con un limite sinistro di $f(x)$ con $l=-\infty$, si ha che

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=-\infty \\ \Updownarrow \\ \forall a\in \mathbb{R},\exists \delta >0,\forall x\in \text{dom}(f).(x_0-\delta <x<x_0⟹f(x)<a)\end{array}$$

Proposizione: limiti laterali coincidenti

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ sia per $\text{dom}(f)\cap (x_0,+\infty )$ che per $\text{dom}(f)\cap (-\infty ,x_0)$ e un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l⟺\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=l$$

Corollario del teorema di unicità del limite per i limiti laterali

Il teorema di unicità del limite vale anche per il limite destro e il limite sinistro.

Osservazione: equivalenza tra limiti e limiti laterali

Se una funzione $f$ è definita solo per $x>x_0$, allora

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$$

Analogamente, se una funzione $f$ è definita solo per $x<x_0$, allora

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$$

Algebra dei limiti

Teoremi del confronto

Teorema del confronto per limiti infiniti

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che, per ogni $x\in (A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$, si abbia $f(x)\le g(x)$, allora

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty ⟹\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=+\infty \\ \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=-\infty ⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\infty \end{array}$$

Primo teorema del confronto

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esistono i limiti

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}\\ \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=m\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}\end{array}$$

ed esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che

$$\forall x\in (A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}.(f(x)\le g(x))$$

allora

$$l\le m$$

Secondo teorema del confronto (o teorema dei due carabinieri)

Date tre funzioni $f,g,h:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esistono i limiti

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }h(x)=l\in \mathbb{R}$$

ed esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che

$$\forall x\in (A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}.(f(x)\le g(x)\le h(x))$$

Limiti delle funzioni monotone

Teorema dei limiti laterali delle funzioni monotone

Data una funzione monotona $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)\cap (x_0,+\infty )$, allora si ha che

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\{\begin{array}{ll}\inf \{f(x)\mid x\in \text{dom}(f)\wedge x>x_0\}& \text{se }f\text{ eˋ crescente}\\ \sup \{f(x)\mid x\in \text{dom}(f)\wedge x>x_0\}& \text{se }f\text{ eˋ decrescente}\end{array}$$

Se $x_0$ è un punto di accumulazione per $\text{dom}(f)\cap (-\infty ,x_0)$, allora si ha che

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\{\begin{array}{ll}\sup \{f(x)\mid x\in \text{dom}(f)\wedge x<x_0\}& \text{se }f\text{ eˋ crescente}\\ \inf \{f(x)\mid x\in \text{dom}(f)\wedge x<x_0\}& \text{se }f\text{ eˋ decrescente}\end{array}$$

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Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 2 - Limiti di funzioni:
      • 2.2 - Limiti laterali.
    • 3 - Teoremi su limiti e continuità:
      • 3.3 - Algebra dei limiti.
      • 3.5 - Teoremi del confronto.
      • 3.6 - Limiti delle funzioni monotone.