Limiti notevoli

Premessa

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Ci sono alcuni limiti particolari di cui è sempre noto il loro valore, detti limiti notevoli.

Definizione: limite notevole

Un limite notevole è un limite di una forma indeterminata, il cui valore è noto e dimostrato, usato come formula pronta per calcolare limiti più complessi senza dover ricorrere ogni volta alla dimostrazione.

1 - Limiti notevoli delle funzioni trigometriche

1.1 - Seno

1.1.1 - Tendente a $0$

Proposizione: limite notevole del seno tendente a $0$

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

1.1.2 - Tendente all’infinito

Proposizione: limite notevole del seno tendente all'infinito

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$$

1.2 - Coseno

1.2.1 - Tendente a $0$

Proposizione: limite notevole del coseno tendente a $0$

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$

1.2.2 - Tendente all’infinito

Proposizione: limite notevole del coseno tendente all'infinito

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\cos x}{x}=0$$

1.3 - Tangente

Proposizione: limite notevole della tangente

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$$

2 - Lemma del modulo

Lemma del modulo

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, abbiamo che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0⟺\underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)|=0$$

Corollario del lemma del modulo

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f$ sia limitata su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$ e vale il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=0$, allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\circ g(x))=0$$

3 - Limiti notevoli di forme indeterminate

3.1 - Esponenziali

3.1.1 - Risoluzione delle esponenziali

Osservazione: forma alternativa delle forme indeterminate esponenziali

I teoremi elementari sui limiti, come l’algebra dei limiti, regola di De L’Hôpital e infinitesimi equivalenti si applicano a forme indeterminate algebriche.

Le forme indeterminate esponenziali del tipo $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ e $0^0$ coinvolgono un limite della forma

$$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x){]}^{g(x)}$$

che non è direttamente riconducibile a nessuna forma indeterminata algebrica. Tuttavia, sfruttando il fatto che la funzione esponenziale e il logaritmo naturale sono una l’inversa dell’altra, si può scrivere

$$[f(x){]}^{g(x)}=e^{\ln [f(x){]}^{g(x)}}=e^{g(x)\ln f(x)}$$

e, poiché $e$ è continua, il limite si riconduce a

$$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x){]}^{g(x)}=e^{\underset{x\to x_0}{\lim }(g(x)\ln f(x))}$$

Il problema si riduce quindi allo studio del limite dell’esponente $g(x)\ln f(x)$, che è un prodotto e ricade nella forma indeterminata algebrica del tipo $0\cdot \infty$. Questa identità costituisce il metodo standard per ricondurre qualsiasi forma indeterminata esponenziale a una algebrica.

Proposizione: risoluzione delle forme indeterminate esponenziali

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, supposto che esista il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }(g(x)\ln f(x))$, per il teorema del limite della funzione composta e il teorema del limite della funzione composta continua e per la continuità di $e$, si ha che:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x){]}^{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }{e}^{g(x)\ln f(x)}=\{\begin{array}{ll}{e}^l& \text{se }\underset{x\to x_0}{\lim }(g(x)\ln f(x))=l\in \mathbb{R}\\ +\infty & \text{se }\underset{x\to x_0}{\lim }(g(x)\ln f(x))=+\infty \\ 0& \text{se }\underset{x\to x_0}{\lim }(g(x)\ln f(x))=-\infty \end{array}$$

Dimostrazione della risoluzione delle forme indeterminate esponenziali

Poniamo $\phi (x)=g(x)\ln f(x)$ e $h(t)=e^t$, cosicché

$$[f(x){]}^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}=h(\phi (x))$$

Per ipotesi esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }(g(x)\ln f(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }\phi (x)=l$, con $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$. Analizziamo ogni possibile caso in cui può ricadere $l$:

• $l\in \mathbb{R}$: poiché $h(t)=e^t$ è continua su $\mathbb{R}$, per il teorema del limite della funzione composta continua abbiamo che $$\underset{x\to x_0}{\lim }h(\phi (x))=h\left(\underset{x\to x_0}{\lim }\phi (x)\right)=h(l)=e^l$$
• $l=+\infty$: per definizione di limite infinito, per ogni $M>0$ esiste un intorno $I(x_0)$ tale che $\phi (x)>M$ per ogni $x\in (A\cap I(x_0))\setminus x_0$. Poiché $h(t)=e^t$ è strettamente crescente e $\underset{t\to +\infty }{\lim }{e}^t=+\infty$, si ha $e^{\phi (x)}>e^M$ per ogni tale $x$, e poiché $e^M\to +\infty$ al crescere di $M$, si conclude $$\underset{x\to x_0}{\lim }{e}^{\phi (x)}=+\infty$$
• $l=-\infty$: analogamente, per ogni $\epsilon >0$ esiste un intorno $I(x_0)$ tale che $\phi (x)<-M$ per ogni $x\in (A\cap I(x_0))\setminus x_0$, con $M>0$ arbitrariamente grande. Poiché $\underset{t\to -\infty }{\lim }{e}^t=0^{+}$, si ha $0<e^{\phi (x)}<e^{-M}$ per ogni tale $x$, e poiché $e^{-M}\to 0$ al crescere di $M$, si conclude $$\underset{x\to x_0}{\lim }{e}^{\phi (x)}=0$$

$■$

Osservazione: base costantemente uguale a $1$ in un intorno di $x_0$

Se durante la risoluzione delle forme indeterminate esponenziali abbiamo che la base $f(x)$ è uguale a $1$ in tutto un intorno bucato di $x_0$, allora il limite

$$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x){]}^{g(x)}$$

non è una forma indeterminata esponenziale del tipo $1^{\infty }$. Infatti, in tal caso,

$$\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x){]}^{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{=1}{\underbrace{1^{g(x)}}}=\underset{x\to x_0}{\lim }1=1$$

3.1.2 - Tipo $1^{\infty }$

3.1.2.1 - Limite notevole di Eulero

Teorema: limite notevole di Eulero

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$$

Tralasciamo la dimostrazione di questo teorema che non è per nulla banale. Tuttavia, possiamo facilmente intuire che questo limite è una forma indeterminata esponenziale del tipo $1^{\infty }$.

3.1.2.2 - Generalizzazione del limite notevole di Eulero

Proposizione: generalizzazione del limite notevole di Eulero

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall a\in \mathbb{R}.\left(\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{\left(1+\frac{a}{x}\right)}^x=e^a\right)$$

3.1.2.3 - Limite notevole di Eulero in forma locale

Proposizione: limite notevole di Eulero in forma locale

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

3.1.2.4 - Generalizzazione del limite notevole di Eulero in forma locale

Proposizione: generalizzazione del limite notevole di Eulero in forma locale

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall a\in \mathbb{R}.\left(\underset{x\to 0}{\lim }(1+ax{)}^{\frac{1}{x}}=e^a\right)$$

3.2 - Forme indeterminate algebriche

3.2.1 - Tipo $\frac{0}{0}$

3.2.1.1 - Limite notevole del logaritmo

Proposizione: limite notevole del logaritmo

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall a>0,a\ne 1.\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a}\right)$$

3.2.1.2 - Limite notevole dell’esponenziale

Proposizione: limite notevole dell'esponenziale

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall a>0.\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a\right)$$

3.2.1.3 - Limite notevole della potenza

Proposizione: limite notevole della potenza

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall a\in \mathbb{R}.\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^a-1}{x}=a\right)$$

3.2.2 - Tipo $\frac{\infty }{\infty }$

3.2.2.1 - Limite notevole dell’esponenziale

Proposizione: limite notevole dell'esponenziale a base maggiore di $1$

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall a>1,\forall k>0.\left(\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^k}{a^x}=0\right)$$

Corollario: limite notevole dell'esponenziale a base minore di $1$

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall 0<a<1,\forall k>0.\left(\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{|x{|}^k}{a^x}=0\right)$$

Corollario: limite notevole del reciproco dell'esponenziale a base minore di $1$

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall 0<a<1,\forall k>0.\left(\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{a^x}{|x{|}^k}=+\infty \right)$$

3.2.2.2 - Limite notevole del logaritmo

Proposizione: limite notevole del logaritmo a base maggiore di $1$

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall a>1,\forall k>0.\left(\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\log }_{a}x}{x^k}=0\right)$$

Corollario: limite notevole del logaritmo a base minore di $1$

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall 0<a<1,\forall k>0.\left(\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\log }_{a}x}{x^k}=0\right)$$

Corollario: limite notevole del reciproco del logaritmo a base minore di $1$

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall 0<a<1,\forall k>0.\left(\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^k}{{\log }_{a}x}=-\infty \right)$$

3.2.3 - Tipo $0\cdot \infty$

3.2.3.1 - Limite notevole dell’esponenziale decrescente

Proposizione: limite notevole dell'esponenziale decrescente

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall a>1,\forall k>0.\left(\underset{x\to -\infty }{\lim }(|x{|}^k{a}^x)=0\right)$$

Corollario: limite notevole dell'esponenziale decrescente a base minore di uno

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall 0<a<1,\forall k>0.\left(\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k{a}^x=0\right)$$

3.2.3.2 - Limite notevole del logaritmo in zero

Proposizione: limite notevole del logaritmo in zero

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall a>1,\forall k>0.\left(\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x^k{\log }_{a}x)=0\right)$$

Corollario: limite notevole del logaritmo in zero a base minore di $1$

Vale il seguente limite notevole:

$$\forall 0<a<1,\forall k>0.\left(\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x^k{\log }_{a}x)=0\right)$$

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L9b.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 3 - Teoremi su limiti e continuità:
      • 3.5 - Teoremi del confronto.
      • 3.8 - Limiti notevoli.