Limiti notevoli

Premessa

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Ci sono alcuni limiti particolari di cui è sempre noto il loro valore, detti limiti notevoli.

Definizione: limite notevole

Un limite notevole è un limite di una forma indeterminata, il cui valore è noto e dimostrato, usato come formula pronta per calcolare limiti più complessi senza dover ricorrere ogni volta alla dimostrazione.

Limiti notevoli del seno

Proposizione: limite notevole del seno tendente a $0$

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

Proposizione: limite notevole del seno tendente all'infinito

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0$$

Limiti notevoli del coseno

Proposizione: limite notevole del coseno tendente a $0$

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$

Proposizione: limite notevole del coseno tendente all'infinito

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{\cos x}{x}=0$$

Limiti notevoli della tangente

Proposizione: limite notevole della tangente

Vale il seguente limite notevole:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$$

Lemma del modulo

Lemma del modulo

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, abbiamo che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0⟺\underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)|=0$$

Corollario del lemma del modulo

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f$ sia limitata su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$ e vale il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=0$, allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)\circ g(x))=0$$

Forme indeterminate esponenziali

[!osservazione] Osservazione: forma alternativa delle forme indeterminate esponenziali

Per le forme indeterminate esponenziali abbiamo che

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Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 3 - Teoremi su limiti e continuità:
      • 3.5 - Teoremi del confronto.
      • 3.8 - Limiti notevoli.