Funzioni continue

Premessa

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Definizione: funzione continua

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in \text{dom}(f)$, diciamo che $f$ è continua in $x_0$ se, per ogni intorno $I(f(x_0))$ di $f(x_0)$ esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che, per ogni punto $x\in \text{dom}(f)$ con $x\in I(x_0)$, si ha che $f(x)\in I(f(x_0))$.

Poiché gli intorni di $f(x_0)$ e di $x_0$ sono rispettivamente della forma

$$I(f(x_0))=I_{ϵ}(f(x_0))=(f(x_0)-ϵ,f(x_0)+ϵ)$$

e

$$I(x_0)=I_{\delta }(x_0)=(x_0-\delta ,x_0+\delta )$$

la definizione può essere così riformulata:

$$\begin{array}{c}f\text{ eˋ continua in }{x}_0\\ \Updownarrow \\ \forall ϵ>0,\exists \delta <0,\forall x\in \text{dom}(f).(|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<ϵ)\end{array}$$

Inoltre:

• $f$ è discontinua in $x_0$ se $f$ non è continua in $x_0$.
• $f$ è continua se $f$ è continua in ogni punto del dominio $\text{dom}(f)$.
• $f$ è discontinua se $f$ è discontinua in almeno un punto del dominio $\text{dom}(f)$.
• Dato un sottoinsieme $A\subseteq \text{dom}(f)$ non vuoto, $f$ è continua in $A$ se $f$ è continua in ogni punto di $A$.
  

Osservazione: interpretazione informale di funzione continua

In termini poco rigorosi, possiamo dire che una funzione è continua in un punto $x_0$ del suo dominio se a “piccole” variazioni di $x$ nelle vicinanze di $x_0$ corrispondono “piccole” variazioni di $f(x)$ nelle vicinanze di $f(x_0)$. Questa interpretazione tuttavia non è per nulla rigorosa, in quanto il concetto di “piccolo” non è ben definito. È meglio dire che $f$ è continua in $x_0$ se è sempre possibile avere un “controllo” delle variazioni di $f$ dal valore $f(x_0)$ al valore $f(x)$ in tutti i punti di $x$ sufficientemente vicini a $x_0$.

Osservazione: funzione continua in tutti e soli i punti del suo dominio

Osserviamo che la definizione di continuità di $f$ in $x_0$ si applica in tutti e soli i punti del suo dominio: rispetto alla definizione di limite con $x_0\in \mathbb{R}\wedge l\in \mathbb{R}$, infatti, in questa non si impone che $x\ne x_0$. Infatti, per $x=x_0$, è automaticamente verificato che

$$|f(x)-f(x_0)|<ϵ$$

Inoltre, dal confronto fra queste due nozioni, seguono le seguenti proposizioni.

Proposizione: continuità e punti di accumulazione

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in \text{dom}(f)$, si ha che, se $x_0$ è un punto di accumulazione per $\text{dom}(f)$, allora

$$f\text{ eˋ continua in }{x}_0⟺\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

Proposizione: continuità e punti isolati

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in \text{dom}(f)$, si ha che, se $x_0$ è un punto isolato per $\text{dom}(f)$, allora $f$ è continua in $x_0$.

Osservazione: importanza della proposizione su continuità e punti di accumulazione

La proposizione su continuità e punti di accumulazione è molto importante e la useremo spesso, in quanto la bi-implicazione ci dà due importanti affermazioni:

1. Seguendo la direzione dell’implicazione ($⟹$), abbiamo che

$$f\text{ eˋ continua in }{x}_0⟹\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

cioè, se $f$ è continua in un punto $x_0$ del suo dominio in cui ha senso calcolare il limite di $f(x)$ per $x\to x_0$, allora sappiamo già quanto vale questo limite, ossia vale $f(x_0)$.
2. Seguendo la direzione della conseguenza ($⟸$), abbiamo che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)⟹f\text{ eˋ continua in }{x}_0$$

cioè, per sapere se una funzione $f$ è continua in un punto $x_0$ del suo dominio in cui ha senso calcolare il limite di $f(x)$ per $x\to x_0$, allora è sufficiente calcolare questo limite e controllare che coincida con $f(x_0)$. In particolare, abbiamo che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ne f(x_0)⟹f\text{ non eˋ continua in }{x}_0$$

Attenzione: si può parlare di (dis)continuità solo dove $f$ è definita

Non ha senso parlare di dis(continuità) di una funzione nei punti in cui non è definita. Per esempio,

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

non è definita in $0$, pertanto non ha senso parlare di dis(continuità) di $f$ in $0$.

Proposizione

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0$ per $\text{dom}(f)$, abbiamo che

$$\begin{array}{c}{\lim }_{x\to x_0}f(x)=l\in \mathbb{R}\\ \Updownarrow \\ \tilde{f}\text{ eˋ continua in }{x}_0\end{array}$$

Dove la funzione $\tilde{f}:\text{dom}(f)\cup \{x_0\}\to \mathbb{R}$ è definita da

$$\tilde{f}(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{se }x\ne x_0\\ l& \text{se }x=x_0\end{array}$$

Lemma

Per ogni punto $x\in \mathbb{R}$, si ha che

$$|\sin x|\le |x|$$

e, inoltre,

$$|\sin x|=|x|⟺x=0$$

Osservazione: località e globalità delle nozioni dell'analisi matematica

Le nozioni e le proprietà che si studiano in analisi matematica si possono distinguere in due classi: locali e globali.

Sono locali quelle che si realizzano nelle “vicinanze” di un punto di una funzione, ossia coinvolgono (riguardano) solo certi punti, mentre sono globali quelle che coinvolgono tutti i punti di quella funzione.

Per esempio, riferite alle nozioni sin qui introdotte sulle funzioni, sono nozioni locali quella di limite e quella di funzione continua; infatti, sono definite coinvolgendo solo i punti in un intorno del punto a cui tende la variabile indipendente.

Sono invece globali l’iniettività, la suriettività, la biettività, la monotonia, la simmetria, la periodicità; infatti, sono definite coinvolgendo ogni punto del dominio.

Altre nozioni locali sono, per esempio, quelle di massimo e di minimo locale, mentre sono globali quelle di massimo e di minimo assoluto.

Funzioni continue dai lati

Definizione: funzione continua da destra

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)$, diciamo che $f$ è continua da destra in $x_0$ se $f$ ristretta a $\text{dom}(f)\cap [x_0,+\infty )$ è continua in $x_0$:

$$\begin{array}{c}f\text{ continua da destra in }{x}_0\\ \Updownarrow \\ f_{|\text{dom}(f)\cap [x_0,+\infty )}\text{ continua in }{x}_0\end{array}$$

Definizione: funzione continua da sinistra

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)$, diciamo che $f$ è continua da sinistra in $x_0$ se $f$ ristretta a $\text{dom}(f)\cap (-\infty ,x_0]$ è continua in $x_0$:

$$\begin{array}{c}f\text{ continua da sinistra in }{x}_0\\ \Updownarrow \\ f_{|\text{dom}(f)\cap (-\infty ,x_0]}\text{ continua in }{x}_0\end{array}$$

Proposizione: $f$ continua solo se continua dai lati

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)$, abbiamo che $f$ è continua in $x_0$ se e solo se $f$ è continua da destra e da sinistra in $x_0$:

$$\begin{array}{c}f\text{ continua in }{x}_0\\ \Updownarrow \\ f\text{ continua da destra e da sinistra in }{x}_0\end{array}$$

Proposizione: $f$ continua dai lati solo se limite uguale a $f(x_0)$

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)\cap [x_0,+\infty )$, abbiamo che

$$\begin{array}{c}f\text{ continua da destra in }{x}_0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)\end{array}$$

Dato invece un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)\cap (-\infty ,x_0]$, abbiamo che

$$\begin{array}{c}f\text{ continua da sinistra in }{x}_0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)\end{array}$$

Proposizione: $f$ definita per $x⋚x_0$ continua anche dai lati

Se una funzione è definita solo per $x\ge x_0$, allora è la stessa cosa dire che $f$ è continua in $x_0$ e dire che $f$ è continua da destra in $x_0$:

$$\begin{array}{c}f\text{ continua in }{x}_0\\ \Updownarrow \\ f\text{ continua da destra in }{x}_0\end{array}$$

Analogicamente, se una funzione è definita solo per $x\le x_0$, allora è la stessa cosa dire che $f$ è continua in $x_0$ e dire che $f$ è continua da sinistra in $x_0$:

$$\begin{array}{c}f\text{ continua in }{x}_0\\ \Updownarrow \\ f\text{ continua da sinistra in }{x}_0\end{array}$$

Punti di discontinuità

Definizione: discontinuità eliminabile

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)$, diciamo che $f$ ha una discontinuità eliminabile in $x_0$ (oppure che $x_0$ è un punto di discontinuità eliminabile per $f$) se esiste il limite

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}$$

con $l\ne f(x_0)$.

Osservazione: perché si chiama "discontinuità eliminabile"

La denominazione “discontinuità eliminabile” sta ad indicare che, a patto di modificare la funzione $f$ in modo opportuno nel punto $x_0$, questa discontinuità si può eliminare, semplicemente ponendo il valore di $f(x_0)$ uguale a $l$. Infatti, la funzione $\hat{f}:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ definita da

$$\hat{f}(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{se }x\ne x_0\\ l& \text{se }x=x_0\end{array}$$

coincide con $f$ dappertutto tranne che in $x_0$ ed è continua in $x_0$ (mentre $f$ non lo è).

Definizione: discontinuità di prima specie (o salto)

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)$, diciamo che $f$ ha una discontinuità di prima specie (o salto) in $x_0$ (oppure che $x_0$ è un punto di discontinuità di prima specie (o salto) per $f$) se esistono finiti e diversi fra loro i limiti $\underset{x\to x_0^{\pm }}{\lim }f(x)$:

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=l\ne l^{\prime }=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$$

Definizione: discontinuità di seconda specie

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)$, diciamo che $f$ ha una discontinuità di seconda specie in $x_0$ (oppure che $x_0$ è un punto di discontinuità di seconda specie per $f$) se almeno uno tra il limite destro $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$ o il limite sinistro $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$ è uguale a $\pm \infty$ o non esiste.

Algebra delle funzioni continue

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Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 2 - Limiti di funzioni:
      • 2.1 - Funzioni continue.
      • 2.2 - Limiti laterali.
      • 2.4 - Punti di discontinuità.
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 3 - Teoremi su limiti e continuità:
      • 3.2 - Algebra delle funzioni continue.