Proprietà delle funzioni

Premessa

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Osserviamo alcune proprietà che potrebbero rispettare le funzioni.

1 - Funzioni limitate

Definizione: funzioni limitate

Data una funzione $f:D\to \mathbb{R}$ con il dominio $D\subseteq \mathbb{R}$, allora:

• $f$ si dice superiormente limitata su $D$ se esiste un valore $M\in \mathbb{R}$ tale che: $$\exists M\in \mathbb{R},\forall x\in D(f(x)\le M)$$
• $f$ si dice inferiormente limitata su $D$ se esiste un valore $m\in \mathbb{R}$ tale che: $$\exists m\in \mathbb{R},\forall x\in D(f(x)\ge m)$$
• $f$ si dice limitata su $D$ se è sia superiormente sia inferiormente limitata su $D$, ossia se esistono due valori $m,M\in \mathbb{R}$ tali che: $$\exists m,M\in \mathbb{R},\forall x\in D(m\le f(x)\le M)$$

2 - Punti di massimo e minimo

Definizione: punto di massimo relativo e assoluto

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, un punto $x_0\in \text{dom}(f)$ si dice punto di massimo relativo (o locale) di $f$ su $\text{dom}(f)$ se esiste un valore $r>0$ tale che

$$\forall x\in D\cap (x_0-r,x_0+r).(f(x)\le f(x_0))$$

e in questo caso il valore $f(x_0)$ si dice massimo relativo (o locale) di $f$.

Se $f(x)\le f(x_0)$ per ogni $x\in D$, allora $x_0$ si dice punto di massimo assoluto (o globale) di $f$ su $\text{dom}(f)$ e il valore $f(x_0)$ si dice massimo assoluto (o globale) di $f$ su $\text{dom}(f)$.

Definizione: punto di minimo relativo e assoluto

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, un punto $x_0\in \text{dom}(f)$ si dice punto di minimo relativo (o locale) di $f$ su $\text{dom}(f)$ se esiste un valore $r>0$ tale che

$$\forall x\in D\cap (x_0-r,x_0+r).(f(x)\ge f(x_0))$$

e in questo caso il valore $f(x_0)$ si dice minimo relativo (o locale) di $f$.

Se $f(x)\ge f(x_0)$ per ogni $x\in D$, allora $x_0$ si dice punto di minimo assoluto (o globale) di $f$ su $\text{dom}(f)$ e il valore $f(x_0)$ si dice minimo assoluto (o globale) di $f$ su $\text{dom}(f)$.

3 - Parità e disparità

Definizione: funzioni pari e dispari

Data una funzione $f:D\to \mathbb{R}$ con il dominio $D\subseteq \mathbb{R}$, allora:

• $f$ si dice pari se: $$\forall x\in D(f(-x)=f(x))$$
• $f$ si dice dispari se: $$\forall x\in D(f(-x)=-f(x))$$

Osservazione: simmetria dei grafici di funzioni pari e dispari

In termini di grafico ${\Gamma }_f$ di $f$ è semplice osservare che, per una funzione pari, vale

$$(x,y)\in {\Gamma }_f⟺(-x,y)\in {\Gamma }_f$$

mentre, per una funzione dispari, vale

$$(x,y)\in {\Gamma }_f⟺(-x,-y)\in {\Gamma }_f$$

Questo significa che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine.

4 - Periodicità

Definizione: funzione periodica

Data una funzione $f:D\to \mathbb{R}$ con il dominio $D\subseteq \mathbb{R}$, $f$ si dice periodica se esiste un $T>0$, detto periodo di $f$, tale che:

1. l’insieme $D$ soddisfa la proprietà

$$x\in D⟺x+T\in D$$

e
2. vale la relazione

$$\forall x\in D(f(x+T)=f(x))$$

Osservazione: grafico di una funzione periodica

È semplice osservare che il grafico di una funzione periodica $f$ di periodo $T$ è invariante per traslazioni orizzontali di ampiezza $T$: questo significa che è sufficiente tracciare il grafico di $f$ su un intervallo di lunghezza $T$ e ripeterlo infinite volte a destra e a sinistra dell’intervallo considerato.

5 - Iniettività, suriettività e biettività

5.1 - Iniettività

Definizione: iniettività

Una funzione $f:A\to B$ si dice che è iniettiva o che è una iniezione se, per ogni scelta di due numeri $a_1,a_2\in A$ con $a_1\ne a_2$, si ha $f(a_1)\ne f(a_2)$:

$$\forall a_1,a_2\in A(a_1\ne a_2⟹f(a_1)\ne f(a_2))$$

Esempio: esempio grafico dell'iniettività

Un esempio grafico dell’iniettività è il seguente, in cui ogni elemento dell’insieme $A=\{2,4,6\}$ è associato a un solo elemento dell’insieme $B=\{9,7,5,3\}$:

Esempio: iniettività della funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},n\mapsto 2n+1$

Data una funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},n\mapsto 2n+1$, essa è iniettiva. Infatti, dati due interi $m\ne n$ si ha certamente $f(m)=2m+1\ne f(n)=2n+1$.

Esempio: non-iniettività della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, essa non è iniettiva. Infatti, si ha $f(1)=f(-1)=1$ e, più in generale, $\forall x\in \mathbb{R}(f(x)=f(-x))$.

Esempio: iniettività della funzione proiezione $p_1:A\times B\to A,(a,b)\mapsto a$

Data una funzione proiezione $p_1:A\times B\to A,(a,b)\mapsto a$, siccome si ha $p_1((a,b))=a$ per ogni $(a,b)\in A\times B$ la funzione è iniettiva solo se $B$ consiste di un unico elemento: se $B$ contiene due elementi distinti $b_1$ e $b_2$ allora $p_1((a,b_1))=p_1((a,b_2))$.

Osservazione: rendere una funzione iniettiva restringendo il dominio

Una funzione $f:A\to B$ non iniettiva può diventare iniettiva restringendo opportunamente il dominio. Per esempio, la funzione $f(x)=x^2$ che non è iniettiva sul dominio $\mathbb{R}$, può diventarlo se viene ristretto il dominio ai numeri reali non-negativi. Infatti, per ogni coppia di due numeri reali non-negativi distinti $x_1$ e $x_2$, si avrà sicuramente $x_1^2\ne x_2^2$.

5.2 - Suriettività

Definizione: suriettività

Una funzione $f:A\to B$ si dice che è suriettiva o che è una suriezione se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio:

$$\forall y\in B,\exists x\in A(f(x)=y)$$

Esempio: esempio grafico della suriettività

Un esempio grafico della suriettività è il seguente, in cui ogni elemento dell’insieme $B=\{9,7,5\}$ è associato ad almeno un elemento della funzione $A=\{2,4,6,8\}$:

Esempio: non-suriettività della funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},x\mapsto 2x+1$

Data una funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},x\mapsto 2x+1$, le immagini dei singoli elementi sono sempre numeri dispari e ogni numeri intero dispari $m$ può essere scritto nella forma $\forall k\in \mathbb{Z}(m=2k+1)$. Dunque $m=f(k)$ e si può concludere che l’immagine di $f$ è costituita dagli interi dispari ovvero $\text{rng}(f)=2\mathbb{Z}+1$. Poiché $2\mathbb{Z}+1\ne \mathbb{Z}$, la funzione $f$ non è suriettiva.

Esempio: non-suriettività della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, le immagini dei singoli elementi sono sempre numeri reali non negativo e ogni reale non negativo $y$ può essere scritto nella forma $\forall x\in \mathbb{R}(y=x^2)$. Dunque $y=f(x)$ e si può concludere che l’immagine di $f$ è costituita dai numeri reali positivi, ovvero $\text{rng}(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}$. Poiché $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}\ne \mathbb{R}$, la funzione $f$ non è suriettiva.

Esempio: suriettività della funzione $f:[0,+\infty ]\to \mathbb{R},x\mapsto \log (x)$

Data una funzione $f:[0,+\infty ]\to \mathbb{R},x\mapsto \log (x)$, ogni numero reale $r$ è il logaritmo di un altro qualsiasi numero reale $x$ (basti prendere $x=e^r$). Dunque, dato che $\text{rng}(f)=\mathbb{R}$, la funzione è suriettiva.

Esempio: suriettività della funzione proiezione $p_1:A\times B\to A,(a,b)\mapsto a$

Data una funzione proiezione $p_1:A\times B\to A$, poiché $B\ne \varnothing$ (se $B$ fosse vuoto allora $A\times B=A\times \varnothing =\varnothing$ e non si potrebbe parlare di funzione) e dato un $a\in A$ si può sempre scrivere $\forall b\in B(a=p_1((a,b)))$. Pertanto, ogni $a\in A$ è anche in $\text{rng}(p_1)$, quindi $A=\text{rng}(p_1)$ e $p_1$ è suriettiva.

Osservazione: suriettività intesa come $\text{rng}(f)=B$

Un’altra definizione della suriettività è quella secondo cui la funzione $f$, per essere suriettiva, deve avere l’immagine corrispondente al codominio:

$$\text{rng}(f)=B$$

In questo caso, infatti, si ha che non ci sono elementi del codominio senza una controimmagine in $A$.

5.3 - Biettività

Definizione: biettività

Una funzione $f:A\to B$ si dice che è biettiva o che è una biezione se è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva, ovvero se per ogni elemento del codominio $y\in B$ esiste ed è unico un elemento del dominio $x\in A$ tale che $f(x)=y$:

$$\forall y\in B,\exists !x\in A(f(x)=y)$$

Esempio: esempio grafico della biettività

Un esempio grafico della biettività è il seguente, in cui ogni elemento dell’insieme $B=\{9,7,5,3\}$ è associato a uno e un solo elemento della funzione $A=\{2,4,6,8\}$:

Esempio: biettività della funzione identità

Per ogni insieme $A$, la funzione identità ${\text{id}}_A:A\to A$ è biettiva, in quanto a ogni elemento del codominio è associato un solo elemento del dominio (ossia se stesso).

Esempio: biettività della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$ con restringimento di dominio

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, essa non è né iniettiva, né suriettiva, ma può diventare biettiva restringendo il suo dominio ai numeri non-negativi $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}$ e pensandola con codominio $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}$ (se il codominio fosse $\mathbb{R}$, allora non potrebbe essere suriettiva, in quanto non ci sono numeri che, elevati alla seconda, danno numeri negativi). In questo modo, per ogni numero reale $x>0$ esiste un solo $y>0$ tale che $y=x^2$.

Esempio: biettività della funzione $f:A\times B\to B\times A,(a,b)\mapsto (b,a)$

La funzione $f:A\times B\to B\times A,(a,b)\mapsto (b,a)$ è una biezione. Infatti, ogni coppia $(b,a)\in B\times A$ è immagine solo di una coppia $(a,b)\in A\times B$.

5.4 - Relazioni con la cardinalità

Proposizione: iniettività, suriettività e biettività dipendono dalla cardinalità

Data una funzione $f:A\to B$, la sua iniettività, suriettività o biettività dipendono dalla sua cardinalità:

1. $f$ è suriettiva se e soltanto se $|f^{-1}(b)|\ge 1$ per ogni $b\in B$.

2. $f$ è iniettiva se e soltanto se $|f^{-1}(b)|\le 1$ per ogni $b\in B$.

3. $f$ è biettiva se e soltanto se è sia suriettiva che iniettiva, cioè se $|f^{-1}(b)|=1$ per ogni $b\in B$.

Dimostrazione

1. La condizione che esista un elemento $a\in f^{-1}(b)$ (cioè che $|f^{-1}(b)|\ge 1$) è equivalente, per la definizione di controimmagine, alla condizione che esista un $a\in A$ tale che $f(a)=b$.

2. Si può dimostrare analogamente che $f$ non è iniettiva se e soltanto se esiste un $b\in B$ tale che $|f^{-1}(b)|\ge 2$, in quanto in questo caso esistono due elementi distinti $a_1\ne a_2$ nel dominio tali che $f(a_1)=f(a_2)=b$.

3. Una funzione per essere biettiva deve essere sia iniettiva che suriettiva, quindi dovendo essere $|f^{-1}(b)|$ sia $\ge 1$ che $\le 1$, l’unico caso che soddisfa entrambe le condizioni è $|f^{-1}(b)\models 1$.

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6 - Funzioni identicamente nulle

Definizione: funzione identicamente nulla

Una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ si dice identicamente nulla su un insieme $A\subseteq \text{dom}(f)$ se $f(x)=0$ per ogni $x\in A$:

$$\begin{array}{c}f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}\text{ eˋ identicamente nulla su }A\subseteq \text{dom}(f)\\ \Updownarrow \\ \forall x\in A.(f(x)=0)\end{array}$$

7 - Monotonia

Definizione: funzione (strettamente) (de)crescente o monotona su un intervallo

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un intervallo $I\subseteq \text{dom}(f)$:

• si dice crescente su $I$ se $$\forall x_1,x_2\in I.\left(x_1<x_2⟹f(x_1)\le f(x_2)\right)$$ o, equivalentemente, $$\forall x_1,x_2\in I.\left(\Delta x>0⟹\Delta f\ge 0\right)$$
• si dice strettamente crescente su $I$ se $$\forall x_1,x_2\in I.\left(x_1<x_2⟹f(x_1)<f(x_2)\right)$$ o, equivalentemente, $$\forall x_1,x_2\in I.\left(\Delta x>0⟹\Delta f>0\right)$$
• si dice decrescente su $I$ se $$\forall x_1,x_2\in I.\left(x_1<x_2⟹f(x_1)\ge f(x_2)\right)$$ o, equivalentemente, $$\forall x_1,x_2\in I.\left(\Delta x>0⟹\Delta f\le 0\right)$$
• si dice strettamente decrescente su $I$ se $$\forall x_1,x_2\in I.\left(x_1<x_2⟹f(x_1)>f(x_2)\right)$$ o, equivalentemente, $$\forall x_1,x_2\in I.\left(\Delta x>0⟹\Delta f<0\right)$$
• si dice monotona su $I$ se è crescente su $I$ o decrescente su $I$ e
• si dice strettamente monotona su $I$ se è strettamente crescente su $I$ oppure strettamente decrescente su $I$.
  

Proposizione sulla somma di funzioni monotone

Date due funzioni $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}$ e un intervallo $I\subseteq \text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)$:

• Se $f_1$ ed $f_2$ sono (strettamente) crescenti su $I$ allora la loro somma $f_1+f_2$ è (strettamente) crescente su $I$.
• Se $f_1$ ed $f_2$ sono (strettamente) decrescenti su $I$ allora la loro somma $f_1+f_2$ è (strettamente) decrescente su $I$.

8 - Concavità e convessità di funzioni

Il concetto di convessità e concavità di una funzione è legato a quello dell’andamento del suo grafico: in modo simile a quanto avviene per gli angoli, possiamo definire una funzione come concava quando il suo grafico ha la “pancia” verso l’alto (cioè graficamente si può rappresentare come "$⌢$"), mentre è convessa quando il suo grafico ha la “pancia” verso il basso (cioè "$⌣$").

Purtroppo però ci tocca definire questo concetto in termini rigorosamente matematici.

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un intervallo $I\subseteq \text{dom}(f)$, per ogni coppia di punti $x_1,x_2\in I$ con $x_1<x_2$ indichiamo con $r_{1,2}$ la retta passante per i punti $(x_1,f(x_1))$ ed $(x_2,f(x_2))$: sappiamo che essa ha equazione

$$\begin{array}{rl}y& =f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)\\ & =f(x_1)+\frac{\Delta f}{\Delta x}(x-x_1)\end{array}$$

(dove $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ è ovviamente il quoziente di Newton).

Ebbene, possiamo dire ora che la funzione $f$ è concava su $I$ se per ogni ogni coppia di punti $x_1,x_2\in I$ con $x_1<x_2$ il grafico di $f$ è “sopra” quello della retta $r_{1,2}$ su tutto l’intervallo $[x_1,x_2]$; analogamente, è convessa su $I$ se per ogni ogni coppia di punti $x_1,x_2\in I$ con $x_1<x_2$ il grafico di $f$ è “sotto” quello della retta $r_{1,2}$ su tutto l’intervallo $[x_1,x_2]$.

La prossima definizione esprime matematicamente quanto abbiamo appena detto.

Definizione: funzione concava o convessa su un intervallo

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un intervallo $I\subseteq \text{dom}(f)$:

• $f$ si dice concava su $I$ se $$\forall x_1,x_2\in I,\forall x\in [x_1,x_2].\left(x_1<x_2⟹f(x_1)\ge f(x_2)+\frac{\Delta f}{\Delta x}(x-x_1)\right)$$
• $f$ si dice convessa su $I$ se $$\forall x_1,x_2\in I,\forall x\in [x_1,x_2].\left(x_1<x_2⟹f(x_1)\le f(x_2)+\frac{\Delta f}{\Delta x}(x-x_1)\right)$$

Osservazione: funzione né concava né convessa

Una funzione potrebbe non essere né concava né convessa su un intervallo: per esempio, la funzione $f(x)=\sin x$ non è né concava né convessa sull’intervallo $[-3,3]$, però è concava in $[0,\pi ]$ e convessa in $[-\pi ,0]$.

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Matematica Discreta & Algebra (parte 1) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Proff. Chen Yu e Terracini Lea, lezioni in aula.
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Algebra Lineare & Geometria (parte 2) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Prof. Radeschi Marco, lezioni in aula.
  • Corso di Logica Matematica, A.A. 2022-23 (pagina Moodle):
    • Proff. Andretta Alessandro, Motto Ros Luca e Viale Matteo, slide:
      • 2.3 - Funzioni.
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L8b.
      • L11a.
• 📚 Walter Dambrosio, Analisi matematica - Fare e comprendere, Zanichelli, 2018 (ISBN: 9788808220745):
  • Parte I - I concetti dell’analisi matematica:
    • Capitolo 1 - Funzioni e modelli:
      • 1 - Funzioni e grafici:
        • 1.1 - Funzioni e loro rappresentazioni.
        • 1.2 - Funzione composta e funzione inversa.
        • 1.3 - Proprietà globali di una funzione su un intervallo.