Variazioni e quoziente di Newton

Premessa

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Definizione: variazione di $x$ nel passaggio da $x_1$ a $x_2$

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e due punti $x_1,x_2\in \text{dom}(f)$, chiamiamo variazione (o incremento) di $x$ nel passaggio da $x_1$ a $x_2$ la loro differenza, denotata con $\Delta x$:

$$\Delta x\stackrel{\text{def}}{=}{x}_2-x_1$$

Definizione: variazione di $f$ nel passaggio da $x_1$ a $x_2$

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e due punti $x_1,x_2\in \text{dom}(f)$, chiamiamo variazione (o incremento) di $f$ nel passaggio da $x_1$ a $x_2$ la differenza delle loro immagini $f(x_2)$ e $f(x_1)$, denotata con $\Delta f$:

$$\Delta f\stackrel{\text{def}}{=}f(x_2)-f(x_1)$$

Definizione: quoziente di Newton

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e due punti distinti $x_1,x_2\in \text{dom}(f)$, diciamo che il quoziente di Newton (o tasso medio di variazione di $f$ nel passaggio da $x_1$ a $x_2$) è il quoziente tra la variazione di $x$ e la variazione di $f$:

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

Esempio: variazioni e quoziente di Newton

Consideriamo la funzione $f(x)=x^2$ e i punti $x_1=2$ e $x_2=5$.

La variazione di $x$ nel passaggio da $x_1$ a $x_2$ è:

$$\begin{array}{rl}\Delta x& =x_2-x_1\\ & =5-2\\ & =3\end{array}$$

La variazione di $f$ nel passaggio da $x_1$ a $x_2$ è:

$$\begin{array}{rl}\Delta f& =f(x_2)-f(x_1)\\ & =f(5)-f(2)\\ & =25-4\\ & =21\end{array}$$

Il quoziente di Newton è:

$$\begin{array}{rl}\frac{\Delta f}{\Delta x}& =\frac{f(5)-f(2)}{5-2}\\ & =\frac{25-4}{3}\\ & =\frac{21}{3}\\ & =7\end{array}$$

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Fonti

• 📚 Walter Dambrosio, Analisi matematica - Fare e comprendere, Zanichelli, 2018 (ISBN: 9788808220745):
  • Parte I - I concetti dell’analisi matematica:
    • Capitolo 1 - Funzioni e modelli:
      • 1 - Funzioni e grafici:
        • 1.1 - Funzioni e loro rappresentazioni.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 2 - Funzioni:
    • 1 - Nozioni preliminari.