Premessa

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1 - Introduzione alle funzioni

Definizione: funzione

Una relazione binaria $f$ tra due insiemi $A$ e $B$ si dice funzione (o applicazione o trasformazione) da $A$ in $B$ se:

1. per ogni $a\in A$ c’è un $b\in B$ tale che $(a,b)\in f$ e
2. se $(a,b_1)\in f$ e $(a,b_2)\in f$, allora $b_1=b_2$.

Si indica con "$f:A\to B$" o, più precisamente,

$$\begin{array}{rl}f:A& \to B\\ a& \mapsto b\end{array}$$

dove:

• $a$ indica la variabile indipendente e
• $b$ indica la variabile dipendente o la trasformazione che subisce la $a$.

Inoltre, l’unico $b\in B$ tale che $(a,b)\in f$ si indica con "$f(a)$":

$$\exists !b\in B((a,b)\in f\wedge f(a)=b)$$

Definizione: dominio e codominio della funzione

In una funzione $f:A\to B$, l’insieme $A$ è detto dominio della funzione (o, più semplicemente, dominio) e viene indicato con "$\text{dom}(f)$":

$$\text{dom}(f)=A$$

L’insieme $B$, invece, è detto codominio della funzione (o, più semplicemente, codominio) e viene indicato con "$\text{cod}(f)$":

$$\text{cod}(f)=B$$

Esempio di funzione

Un esempio di funzione è $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che associa a ogni numero reale $x\in \mathbb{R}$ il suo quadrato $x^2\in \mathbb{R}$. Essa è una funzione perché per ogni numero il suo quadrato è unico e non può averne altri.

Esempio: $R=\{(1,2),(1,3),(2,4)\}$ non è una funzione

Data una relazione binaria $R=\{(1,2),(1,3),(2,4)\}$, essa non è una funzione perché c’è un elemento del dominio che è associato a più elementi del codominio.

Osservazione: funzione come dipendenza tra due grandezze

Il concetto di funzione è un modello matematico usato per esprimere la dipendenza tra due grandezze. Se una certa grandezza $Y$ dipende da un’altra grandezza $X$ e se a ogni valore di $X$ è associato un unico valore di $Y$, allora $Y$ è una funzione di $X$: in questo caso si dice che $X$ è la grandezza indipendente e che $Y$ è la grandezza dipendente.

Un esempio molto semplice è dato dalle grandezze $X$ e $Y$ definite rispettivamente come “lunghezza del lato di un quadrato” e “area del quadrato”: l’insieme dei possibili valori assunti da $X$, cioè il dominio, è $\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}$ e a ogni $x$ si associa l’area corrispondente $y=x^2$ (in opportune unità di misura), che è l’unico valore dell’area del quadrato di lato avente lunghezza $x$.
Possiamo quindi affermare che l’area del quadrato è funzione della lunghezza del suo lato, secondo la relazione:

$$\forall x>0(f(x)=x^2)$$

Notazioni alternative per una funzione

Una funzione $f:A\to B$ si può anche indicare in altri modi:

• Possiamo usare la notazione “completa”

  $$\begin{array}{rl}f:A& \to B\\ a& \mapsto b\end{array}$$

  ma in riga (in inglese inline), cioè

  $$f:A\to B,a\mapsto b$$

• Possiamo usare quest’altra notazione che sottolinea il fatto che una funzione è una trasformazione di un oggetto $a\in A$ in un altro oggetto $b\in B$:

  $$A\stackrel{f}{\to }B$$

• Possiamo indicare direttamente la trasformazione che applichiamo sull’oggetto (come già scritto nella definizione di funzione). Per esempio, nell’esempio di prima, la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che prende un $x\in \mathbb{R}$ e ne restituisce il suo quadrato $x^2\in \mathbb{R}$ si può indicare come

  $$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto x^2\end{array}$$

  oppure come

  $$f(x)=x^2$$

Notazione: dominio e codominio sottintesi

Quando una funzione è indicata solo attraverso la sua “trasformazione” (per esempio $f(x)=x^2$), si dà per scontato che la funzione abbia come codominio l’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$, mentre come dominio non $\mathbb{R}$ ma un sottoinsieme di $\mathbb{R}$ che corrisponde a tutti e soli i punti su cui la funzione è definita che viene solitamente indicato direttamente con "$\text{dom}(f)$"):

$$f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$$

Il dominio non può essere “generalizzato” ponendolo uguale a $\mathbb{R}$ perché ciò significherebbe che la funzione è definita su tutto $\mathbb{R}$, ma ciò non è sempre vero: molte funzioni, per esempio $f(x)=\frac{1}{x}$ o $f(x)=\sqrt{x}$ sono definite solo su alcuni punti di $\mathbb{R}$ (es. $f(x)=\frac{1}{x}$ è definita su $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, mentre $f(x)=\sqrt{x}$ è definita solo sui reali positivi ${\mathbb{R}}^{\ge 0}$).

Ecco perché userò spesso la notazione "$f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$" per indicare una funzione generica.

Osservazione: funzione come concetto non strettamente algebrico

La nozione di funzione è molto generale e non si limita a considerare solo quelle funzioni che si possono scrivere esplicitamente in modi strettamente “matematici”. Per esempio, si può scegliere di definire una funzione del tipo:

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{N}& \to \mathbb{N}\\ n& \mapsto \text{l’n-esimo numero primo}\end{array}$$

oppure una funzione del tipo:

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}& \to \mathbb{N}\\ x& \mapsto \text{la 127-esima cifra di x nel suo sviluppo decimale}\end{array}$$

Osservazione: funzione come processo con input e output

Il concetto di funzione può essere facilmente inteso in termini di processo che, dato un certo input, fornisce un determinato output.

Una funzione $f$ è assimilabile a una macchina che prende in ingresso un valore $x$ e restituisce in uscita un unico valore corrispondente $f(x)$:

$$\boxed{x}\to \boxed{f(x)}$$

Il valore in uscita si ottiene spesso mediante una procedura che specifica le operazioni da effettuare sul valore in ingresso: per esempio, per la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita come $f(x)=2x+1$, la procedura può essere descritta dalle operazioni “moltiplica per 2” e “aggiungi 1”:

$$\boxed{x}\stackrel{\text{moltiplica per }2}{\to }\boxed{2x}\stackrel{\text{aggiungi }1}{\to }\boxed{2x+1}$$

1.1 - Grafico di una funzione

Definizione: grafico di una funzione

Data una funzione $f:A\to B$, si definisce grafico di $f$ il sottoinsieme ${\Gamma }_f\subseteq {\mathbb{R}}^2$ definito da:

$$\begin{array}{rl}{\Gamma }_f& =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x\in A,y=f(x)\}\\ & =\{(x,f(x))\mid x\in A\}\end{array}$$

cioè l’insieme delle coppie di elementi in ${\mathbb{R}}^2$ legate tra di loro dalla funzione $f$.

1.2 - Immagine e controimmagine

Definizione: immagine

Data una funzione $f:A\to B,x\mapsto f(x)$:

• L’elemento $f(x)$ è detto immagine di $a$ mediante $f$ (oppure valore di $f$ su $a$).
• Dato un sottoinsieme $C\subseteq A$, l’insieme degli $f(x)\in B$ associati a ogni $x\in C$, denotato con "$f(C)$", è detto immagine di $C$ mediante $f$:

$$\begin{array}{rl}f(C)& =\{f(x)\in B\mid x\in C\}\\ & =\{y\in B\mid \exists x\in C(f(x)=y)\}\end{array}$$

• Se $C=A$, l’insieme degli $f(x)\in B$ associati a ogni $x\in A$, denotato con "$\text{rng}(f)$", è detto immagine della funzione $f$ (o range di $f$):

$$\begin{array}{rl}\text{rng}(f)& =\{f(x)\in B\mid x\in A\}\\ & =\{y\in B\mid \exists x\in A(f(x)=y)\}\end{array}$$

Definizione: controimmagine

Data una funzione $f:A\to B,x\mapsto f(x)$:

• L’insieme degli $x\in A$ associati a un elemento $y\in B$, denotato con $f^{-1}(y)$, è detto controimmagine di $y$:

$$f^{-1}(y)=\{x\in A\mid f(x)=y\}$$

• Dato un sottoinsieme $D\subseteq B$, l’unione di tutte le controimmagini degli $x\in A$ associati a ogni $f(x)\in D$, denotato con "$f^{-1}(D)$", è detto controimmagine di $D$:

$$f^{-1}(D)=\bigcup _{y\in D}{f}^{-1}(y)$$

Esempio: controimmagine di una funzione costante

Data una funzione costante $f:A\to B,a\mapsto \beta$, se $T⊊B$ è un sottoinsieme del codominio $B$ si ha che:

• Se $\beta \in T$, allora $f^{-1}(T)=A$.
• Se $\beta \notin T$, allora $f^{-1}(T)=\varnothing$.

Esempio: controimmagine di una funzione proiezione

Data una funzione proiezione $f:A\times B\to B,(a,b)\mapsto b$, allora $\forall b\in B(f^{-1}(b)=A\times \{b\})$.

Esempio: controimmagine della funzione $f:[-1,1]\to \mathbb{R},x\mapsto \sin (x)$

Data una funzione $f:[-1,1]\to \mathbb{R},x\mapsto \sin (x)$, la controimmagine dell’insieme $\mathbb{N}⊊\mathbb{R}$ dei numeri naturali è l’insieme:

$$f^{-1}(\mathbb{N})=\left\{\dots ,-\frac{3\pi }{2},-\pi ,-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},\dots \right\}=\left\{\frac{n\pi }{2}|n\in \mathbb{Z}\right\}$$

1.3 - Definizioni e rappresentazioni di una funzione

Ci sono diversi modi per poter definire la struttura di una funzione, alcuni dei quali molto simili a quanto avviene per gli insiemi.

1.3.1 - Definizione per elencazione di una funzione

Definizione per elencazione di una funzione

Una funzione $f:A\to B$ può essere definita per elencazione fornendo un elenco di tutte le coppie $(a,b)\in A\times B$ tali che $(a,b)\in f$, ovvero tali che $b=f(a)$.

Esempio di definizione per elencazione di una funzione

Dati due insiemi $A=\{a,b,c\}$ e $B=\{0,1\}$, allora la lista:

$$\begin{array}{r}f(a)=0\\ f(b)=1\\ f(c)=0\end{array}$$

descrive in maniera univoca una funzione $f:A\to B$.

1.3.2 - Definizione per caratteristica di una funzione

Definizione per caratteristica di una funzione

Una funzione $f:A\to B$ può essere definita per caratteristica fornendo una “regola” che permette di determinare i valori di $f$ su ciascun $x\in A$, ma ciò presuppone che il dominio e il codominio della funzione siano stati specificati precedentemente o facilmente intuibili dal contesto.

Esempio di definizione per caratteristica di una funzione

Facendo finta di star lavorando esclusivamente su numeri reali, la scrittura:

$$f(x)=x^2+3$$

descrive in maniera univoca una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che manda ogni $x\in \mathbb{R}$ in un $y\in \mathbb{R}$ tale che $y=f(x)$ sia uguale a $x^2+3$.

1.3.3 - Rappresentazione col piano cartesiano

Rappresentazione di una funzione col piano cartesiano

Per rappresentare una funzione “visivamente” si usa il piano cartesiano, cioè un piano composto da due rette perpendicolari tra loro, dette assi cartesiani, che hanno alcune caratteristiche particolari:

• Sono disegnate in modo che una di esse sia orizzontale e l’altra verticale.
• Ognuna di loro rappresenta una grandezza: generalmente la retta orizzontale, detta asse delle ascisse, rappresenta i valori che può assumere la $x$, mentre la retta verticale, detta asse delle ordinate, rappresenta i valori che può assumere la $y$.
• Sono orientate, cioè a una delle due estremità presentano una freccia che indica il verso in cui le grandezze aumentano di valore (generalmente verso destra per l’asse delle ascisse e verso l’alto per l’asse delle ordinate).
• Il loro punto di incontro viene detto origine degli assi e viene indicato con $O$.
• Le quattro parti in cui viene diviso il piano dagli assi prendono il nome di quadranti e, partendo da quello in alto a destra e procedendo in senso antiorario, vengono numerati da $1$ a $4$.

2 - Uguaglianza di due funzioni

Definizione: uguaglianza di due funzioni

Date due funzioni $f$ e $g$, esse sono definite uguali se hanno lo stesso dominio e lo stesso codominio e se $f(x)=g(x)$ per ogni elemento $x$ del dominio.

Esempio: uguaglianza di due funzioni apparentemente diverse

Date due funzioni $f(x)=3x^2-1$ e $g(x)=x^3+2x-1$ definite in $\mathbb{R}$ e con dominio $\{0,1,2\}$, ossia $f,g:\{0,1,2\}\to \mathbb{R}$, allora $f=g$ perché:

• $f(0)=g(0)=-1$;
• $f(1)=g(1)=2$;
• $f(2)=g(2)=11$.

3 - Funzioni particolari

Ci sono alcune funzioni che hanno un comportamento particolare.

3.1 - Funzione identità

Definizione: funzione identità

Dato un insieme $X$, la funzione identità ${\text{id}}_X$ su $X$ è la funzione che associa a ogni elemento di $X$ se stesso:

$$\begin{array}{rl}{\text{id}}_X:X& \to X\\ x& \mapsto x\end{array}$$

3.2 - Funzione costante

Definizione: funzione costante

Dati due insiemi $A$ e $B$ non necessariamente distinti e un elemento fissato $\beta \in B$, la funzione costante $f_{\beta }$ con valore $\beta$ è la funzione che associa a ogni elemento di $A$ sempre lo stesso elemento $\beta$ di $B$:

$$\begin{array}{rl}{f}_{\beta }:A& \to B\\ a& \mapsto \beta \end{array}$$

3.3 - Funzione proiezione

Definizione: funzione proiezione

Dati due insiemi $A$ e $B$, le funzioni proiezioni $p_1$ e $p_2$ sui singoli fattori sono le funzioni che associano a ogni coppia di valori $(a,b)\in A\times B$ uno solo dei due valori:

$$\begin{array}{rl}{p}_1:A& \to B\\ (a,b)& \mapsto a\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{p}_2:A& \to B\\ (a,b)& \mapsto b\end{array}$$

3.4 - Funzione restrizione

Definizione: funzione restrizione

Data una funzione $f:A\to B$ e un sottoinsieme $C\subseteq A$, si dice restrizione di $f$ a $C$ la funzione $f_{|C}$ che restringe il dominio di $f$ a $C$:

$$\begin{array}{rl}{f}_{|C}:C& \to B\\ x& \mapsto f_{|C}(x)\end{array}$$

Essa è cioè una funzione che in $C$ si comporta esattamente come la funzione originaria si comporta in $A$, ma che si “dimentica” dei punti al di fuori di quel sottoinsieme.

Esempio: $f{|}_{\mathbb{N}}:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ restrizione di $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, essa si può restringere al sottoinsieme $\mathbb{N}⊊\mathbb{R}$ e diventa la funzione $f{|}_{\mathbb{N}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}x\mapsto x^2$.

4 - Operazioni tra funzioni

4.1 - Somma di funzioni

Definizione: somma di funzioni

Date due funzioni $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}$, si definisce la somma $f+g$ come la funzione:

$$(f+g):\text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)\to \mathbb{R}$$

tale che per ogni $x\in \text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)$:

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$

4.2 - Prodotto di funzioni

Definizione: prodotto di funzioni

Date due funzioni $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}$, si definisce il prodotto $f\cdot g$ (a volte indicato anche come $fg$) come la funzione:

$$(f\cdot g):\text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)\to \mathbb{R}$$

tale che per ogni $x\in \text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)$:

$$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$$

Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Matematica Discreta & Algebra (parte 1) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Proff. Chen Yu e Terracini Lea, lezioni in aula.
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Algebra Lineare & Geometria (parte 2) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Prof. Radeschi Marco, lezioni in aula.
  • Corso di Logica Matematica, A.A. 2022-23 (pagina Moodle):
    • Proff. Andretta Alessandro, Motto Ros Luca e Viale Matteo, slide:
      • 2.3 - Funzioni.
• 📚 Walter Dambrosio, Analisi matematica - Fare e comprendere, Zanichelli, 2018 (ISBN: 9788808220745):
  • Parte I - I concetti dell’analisi matematica:
    • Capitolo 1 - Funzioni e modelli:
      • 1 - Funzioni e grafici:
        • 1.1 - Funzioni e loro rappresentazioni.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 2 - Funzioni:
    • 1 - Nozioni preliminari.