Premessa

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1 - Introduzione alle funzioni

Definizione: funzione

Una relazione binaria $f$ tra due insiemi $A$ e $B$ si dice funzione (o applicazione o trasformazione) da $A$ in $B$ se:

1. Per ogni $a\in A$ c’è un $b\in B$ tale che $(a,b)\in f$.
2. Se $(a,b_1)\in f$ e $(a,b_2)\in f$, allora $b_1=b_2$.

In questo caso scriveremo:

$$\begin{array}{rl}f:A& \to B\\ a& \mapsto b\end{array}$$

oppure:

$$A\stackrel{f}{\to }B$$

Inoltre:

• L’unico $b\in B$ tale che $(a,b)\in f$ si indica con "$f(a)$": $$\exists !b\in B((a,b)\in f\wedge f(a)=b)$$
• L’insieme $A$ è detto dominio della funzione e si indica con "$\text{dom}(f)$": $$\text{dom}(f)=A$$
• L’insieme $B$ è detto codominio della funzione e si indica con "$\text{cod}(f)$": $$\text{cod}(f)=B$$

Esempio: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$

La funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$ o $f(x)=x^2$ è una funzione che associa a ogni numero reale $x$ il suo quadrato $y=x^2$. Essa è una funzione perché per ogni numero il suo quadrato è unico e non può averne altri.

Esempio: $R=\{(1,2),(1,3),(2,4)\}$ non è una funzione

Data una relazione binaria $R=\{(1,2),(1,3),(2,4)\}$, essa non è una funzione in quanto c’è un elemento del dominio (l’elemento $1$) che è associato a più elementi del codominio (gli elementi $2$ e $3$).

Osservazione: funzione come dipendenza tra due grandezze

Il concetto di funzione è il modello matematico che esprime la dipendenza tra due grandezze. Se una certa grandezza $Y$ dipende da un’altra grandezza $X$ e se a ogni valore di $X$ è associato un unico valore di $Y$, allora $Y$ è una funzione di $X$: in questo caso si dice che $X$ è la grandezza indipendente e che $Y$ è la grandezza dipendente.

Un esempio molto semplice è dato dalle grandezze $X$ e $Y$ definite rispettivamente come “lunghezza del lato di un quadrato” e “area del quadrato”: l’insieme dei possibili valori assunti da $X$, cioè il dominio, è $\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}$ e a ogni $x$ si associa l’area corrispondente $y=x^2$ (in opportune unità di misura), che è l’unico valore dell’area del quadrato di lato avente lunghezza $x$.
Possiamo quindi affermare che l’area del quadrato è funzione della lunghezza del suo lato, secondo la relazione:

$$\forall x>0(f(x)=x^2)$$

Osservazione: funzione come concetto non strettamente algebrico

La nozione di “funzione” è molto generale e non si limita a considerare solo quelle funzioni che si possono scrivere esplicitamente usando le quattro operazioni aritmetiche ed altre funzioni note, come quelle trigonometriche.
Per esempio, si può scegliere di definire una funzione del tipo:

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{N}& \to \mathbb{N}\\ n& \mapsto \text{l’n-esimo numero primo}\end{array}$$

oppure una funzione del tipo:

$$\begin{array}{rl}f:\mathbb{R}& \to \mathbb{N}\\ x& \mapsto \text{la 127-esima cifra di x nel suo sviluppo decimale}\end{array}$$

Osservazione: funzione come processo con input e output

Il concetto di funzione può essere facilmente inteso in termini di processo che, dato un certo input, fornisce un determinato output.

Una funzione $f$ è assimilabile a una macchina che prende in ingresso un valore $x$ e restituisce in uscita un unico valore corrispondente $f(x)$:

$$x\to f(x)$$

Il valore in uscita si ottiene spesso mediante una procedura che specifica le operazioni da effettuare sul valore in ingresso: per esempio, per la funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita come $f(x)=2x+1$, la procedura può essere descritta dalle operazioni “moltiplica per 2” e “aggiungi 1”:

$$x\stackrel{\text{moltiplica per }2}{\to }2x\stackrel{\text{aggiungi }1}{\to }2x+1$$

1.1 - Grafico di una funzione

Definizione: grafico di una funzione

Data una funzione $f:A\to B,x\mapsto f(x)$, si definisce grafico di $f$ il sottoinsieme ${\Gamma }_f\subseteq {\mathbb{R}}^2$ definito da:

$$\begin{array}{rl}{\Gamma }_f& =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x\in A,y=f(x)\}\\ & =\{(x,f(x))\mid x\in A\}\end{array}$$

cioè l’insieme delle coppie di elementi in ${\mathbb{R}}^2$ legate tra di loro dalla funzione $f$.

1.2 - Immagine e controimmagine

Definizione: immagine

Data una funzione $f:A\to B,x\mapsto f(x)$:

• L’elemento $f(x)$ è detto immagine di $a$ mediante $f$ (oppure valore di $f$ su $a$).
• Dato un sottoinsieme $C\subseteq A$, l’insieme degli $f(x)\in B$ associati a ogni $x\in C$, denotato con "$f(C)$", è detto immagine di $C$ mediante $f$:

$$\begin{array}{rl}f(C)& =\{f(x)\in B\mid x\in C\}\\ & =\{y\in B\mid \exists x\in C(f(x)=y)\}\end{array}$$

• Se $C=A$, l’insieme degli $f(x)\in B$ associati a ogni $x\in A$, denotato con "$\text{rng}(f)$", è detto immagine della funzione $f$ (o range di $f$):

$$\begin{array}{rl}\text{rng}(f)& =\{f(x)\in B\mid x\in A\}\\ & =\{y\in B\mid \exists x\in A(f(x)=y)\}\end{array}$$

Definizione: controimmagine

Data una funzione $f:A\to B,x\mapsto f(x)$:

• L’insieme degli $x\in A$ associati a un elemento $y\in B$, denotato con $f^{-1}(y)$, è detto controimmagine di $y$:

$$f^{-1}(y)=\{x\in A\mid f(x)=y\}$$

• Dato un sottoinsieme $D\subseteq B$, l’unione di tutte le controimmagini degli $x\in A$ associati a ogni $f(x)\in D$, denotato con "$f^{-1}(D)$", è detto controimmagine di $D$:

$$f^{-1}(D)=\bigcup _{y\in D}{f}^{-1}(y)$$

Esempio: controimmagine di una funzione costante

Data una funzione costante $f_{\beta }:A\to B,a\mapsto \beta$, se $T⊊B$ è un sottoinsieme del codominio $B$ si ha che:

• Se $\beta \in T$, allora $f^{-1}(T)=A$.
• Se $\beta \notin T$, allora $f^{-1}(T)=\varnothing$.

Esempio: controimmagine di una funzione proiezione

Data una funzione proiezione $p_2:A\times B\to B,(a,b)\mapsto b$, allora $\forall b\in B(f^{-1}(b)=A\times \{b\})$.

Esempio: controimmagine della funzione $f:[-1,1]\to \mathbb{R},x\mapsto \sin (x)$

Data una funzione $f:[-1,1]\to \mathbb{R},x\mapsto \sin (x)$, la controimmagine dell’insieme $\mathbb{N}⊊\mathbb{R}$ dei numeri naturali è l’insieme:

$$f^{-1}(\mathbb{N})=\left\{\dots ,-\frac{3\pi }{2},-\pi ,-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},\dots \right\}=\left\{\frac{n\pi }{2}|n\in \mathbb{Z}\right\}$$

1.3 - Definizioni e rappresentazioni di una funzione

Ci sono diversi modi per poter definire la struttura di una funzione, alcuni dei quali molto simili a quanto avviene per gli insiemi.

1.3.1 - Definizione per elencazione di una funzione

Definizione per elencazione di una funzione

Una funzione $f:A\to B$ può essere definita per elencazione fornendo un elenco di tutte le coppie $(a,b)\in A\times B$ tali che $(a,b)\in f$, ovvero tali che $b=f(a)$.

Esempio di definizione per elencazione di una funzione

Dati due insiemi $A=\{a,b,c\}$ e $B=\{0,1\}$, allora la lista:

$$\begin{array}{r}f(a)=0\\ f(b)=1\\ f(c)=0\end{array}$$

descrive in maniera univoca una funzione $f:A\to B$.

1.3.2 - Definizione per caratteristica di una funzione

Definizione per caratteristica di una funzione

Una funzione $f:A\to B$ può essere definita per caratteristica fornendo una “regola” che permette di determinare i valori di $f$ su ciascun $x\in A$, ma ciò presuppone che il dominio e il codominio della funzione siano stati specificati precedentemente o facilmente intuibili dal contesto.

Esempio di definizione per caratteristica di una funzione

Facendo finta di star lavorando esclusivamente su numeri reali, la scrittura:

$$f(x)=x^2+3$$

descrive in maniera univoca una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ che manda ogni $x\in \mathbb{R}$ in un $y\in \mathbb{R}$ tale che $y=f(x)$ sia uguale a $x^2+3$.

1.3.3 - Rappresentazione col piano cartesiano

Rappresentazione di una funzione col piano cartesiano

Per rappresentare una funzione “visivamente” si usa il piano cartesiano, cioè un piano composto da due rette perpendicolari tra loro, dette assi cartesiani, che hanno alcune caratteristiche particolari:

• Sono disegnate in modo che una di esse sia orizzontale e l’altra verticale.
• Ognuna di loro rappresenta una grandezza: generalmente la retta orizzontale, detta asse delle ascisse, rappresenta i valori che può assumere la $x$, mentre la retta verticale, detta asse delle ordinate, rappresenta i valori che può assumere la $y$.
• Sono orientate, cioè a una delle due estremità presentano una freccia che indica il verso in cui le grandezze aumentano di valore (generalmente verso destra per l’asse delle ascisse e verso l’alto per l’asse delle ordinate).
• Il loro punto di incontro viene detto origine degli assi e viene indicato con $O$.
• Le quattro parti in cui viene diviso il piano dagli assi prendono il nome di quadranti e, partendo da quello in alto a destra e procedendo in senso antiorario, vengono numerati da $1$ a $4$.

Esempio: piano cartesiano di $f(x)=3x-1$

Il grafico della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto 3x-1$ è l’insieme ${\Gamma }_f=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y=3x-1\}$ ed è rappresentato dalla seguente retta nel piano cartesiano:

Esempio: ricavare le informazioni dal grafico di una funzione

Si consideri la funzione $f$ che presenta il seguente grafico:

Il dominio $D$ di $f$, ossia l’insieme di tutti i valori $x$ per cui esiste $f(x)$, è dato da $D=[-2;1]\cup (2;5]$.
Si presti attenzione al fatto che $x=2$ non appartiene al dominio di $f$, infatti il pallino vuoto in corrispondenza del punto $(2,-3)$ significa che tale punto non appartiene al grafico di $f$; di conseguenza, non esistono punti sul grafico di $f$ aventi ascissa $x=2$ e, dunque, $2\notin D$.

Per determinare l’immagine $f(D)$ di $f$ si devono trovare tutti i possibili valori $f(x)$ al variare di $x\in D$; essi si leggono sull’asse delle ordinate e sono tutte le quote $y$ alle quali esiste un punto sul grafico di $f$. Si ha quindi $f(D)=(-3;0]\cup [2;5]$.

2 - Uguaglianza di due funzioni

Definizione: uguaglianza di due funzioni

Date due funzioni $f$ e $g$, sono definite uguali se hanno lo stesso dominio e lo stesso codominio e se $f(x)=g(x)$ per ogni elemento $x$ del dominio.

Esempio: uguaglianza di due funzioni apparentemente diverse

Date due funzioni $f(x)=3x^2-1$ e $g(x)=x^3+2x-1$ definite in $\mathbb{R}$ e con dominio $\{0,1,2\}$, ossia $f,g:\{0,1,2\}\to \mathbb{R}$, allora $f=g$ perché:

• $f(0)=g(0)=-1$;
• $f(1)=g(1)=2$;
• $f(2)=g(2)=11$.

3 - Funzioni particolari

Ci sono alcune funzioni che hanno un comportamento particolare.

3.1 - Funzione identità

Definizione: funzione identità

Dato un insieme $X$, la funzione identità ${\text{id}}_X$ su $X$ è la funzione che associa a ogni elemento di $X$ se stesso:

$$\begin{array}{rl}{\text{id}}_X:X& \to X\\ x& \mapsto x\end{array}$$

3.2 - Funzione costante

Definizione: funzione costante

Dati due insiemi $A$ e $B$ non necessariamente distinti e un elemento fissato $\beta \in B$, la funzione costante $f_{\beta }$ con valore $\beta$ è la funzione che associa a ogni elemento di $A$ sempre lo stesso elemento $\beta$ di $B$:

$$\begin{array}{rl}{f}_{\beta }:A& \to B\\ a& \mapsto \beta \end{array}$$

3.3 - Funzione proiezione

Definizione: funzione proiezione

Dati due insiemi $A$ e $B$, le funzioni proiezioni $p_1$ e $p_2$ sui singoli fattori sono le funzioni che associano a ogni coppia di valori $(a,b)\in A\times B$ uno solo dei due valori:

$$\begin{array}{rl}{p}_1:A& \to B\\ (a,b)& \mapsto a\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{p}_2:A& \to B\\ (a,b)& \mapsto b\end{array}$$

3.4 - Funzione restrizione

Definizione: funzione restrizione

Data una funzione $f:A\to B$ e un sottoinsieme $C\subseteq A$, si dice restrizione di $f$ a $C$ la funzione $f_{|C}$ che restringe il dominio di $f$ a $C$:

$$\begin{array}{rl}{f}_{|C}:C& \to B\\ x& \mapsto f_{|C}(x)\end{array}$$

Essa è cioè una funzione che in $C$ si comporta esattamente come la funzione originaria si comporta in $A$, ma che si “dimentica” dei punti al di fuori di quel sottoinsieme.

Esempio: $f{|}_{\mathbb{N}}:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ restrizione di $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, essa si può restringere al sottoinsieme $\mathbb{N}⊊\mathbb{R}$ e diventa la funzione $f{|}_{\mathbb{N}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}x\mapsto x^2$.

3.5 - Funzioni limitate

Definizione: funzioni limitate

Data una funzione $f:D\to \mathbb{R}$ con il dominio $D\subseteq \mathbb{R}$, allora:

• $f$ si dice superiormente limitata su $D$ se esiste un valore $M\in \mathbb{R}$ tale che: $$\exists M\in \mathbb{R},\forall x\in D(f(x)\le M)$$
• $f$ si dice inferiormente limitata su $D$ se esiste un valore $m\in \mathbb{R}$ tale che: $$\exists m\in \mathbb{R},\forall x\in D(f(x)\ge m)$$
• $f$ si dice limitata su $D$ se è sia superiormente sia inferiormente limitata su $D$, ossia se esistono due valori $m,M\in \mathbb{R}$ tali che: $$\exists m,M\in \mathbb{R},\forall x\in D(m\le f(x)\le M)$$

3.6 - Funzioni pari e dispari

Definizione: funzioni pari e dispari

Data una funzione $f:D\to \mathbb{R}$ con il dominio $D\subseteq \mathbb{R}$, allora:

• $f$ si dice pari se: $$\forall x\in D(f(-x)=f(x))$$
• $f$ si dice dispari se: $$\forall x\in D(f(-x)=-f(x))$$

Osservazione: simmetria dei grafici di funzioni pari e dispari

In termini di grafico ${\Gamma }_f$ di $f$ è semplice osservare che, per una funzione pari, vale

$$(x,y)\in {\Gamma }_f⟺(-x,y)\in {\Gamma }_f$$

mentre, per una funzione dispari, vale

$$(x,y)\in {\Gamma }_f⟺(-x,-y)\in {\Gamma }_f$$

Questo significa che il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, mentre il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine.

3.7 - Funzioni periodiche

Definizione: funzione periodica

Data una funzione $f:D\to \mathbb{R}$ con il dominio $D\subseteq \mathbb{R}$, $f$ si dice periodica se esiste un $T>0$, detto periodo di $f$, tale che:

1. l’insieme $D$ soddisfa la proprietà

$$x\in D⟺x+T\in D$$

e
2. vale la relazione

$$\forall x\in D(f(x+T)=f(x))$$

Osservazione: grafico di una funzione periodica

È semplice osservare che il grafico di una funzione periodica $f$ di periodo $T$ è invariante per traslazioni orizzontali di ampiezza $T$: questo significa che è sufficiente tracciare il grafico di $f$ su un intervallo di lunghezza $T$ e ripeterlo infinite volte a destra e a sinistra dell’intervallo considerato.

4 - Iniettività, suriettività e biettività

4.1 - Iniettività

Definizione: iniettività

Una funzione $f:A\to B$ si dice che è iniettiva o che è una iniezione se, per ogni scelta di due numeri $a_1,a_2\in A$ con $a_1\ne a_2$, si ha $f(a_1)\ne f(a_2)$:

$$\forall a_1,a_2\in A(a_1\ne a_2⟹f(a_1)\ne f(a_2))$$

Esempio: esempio grafico dell'iniettività

Un esempio grafico dell’iniettività è il seguente, in cui ogni elemento dell’insieme $A=\{2,4,6\}$ è associato a un solo elemento dell’insieme $B=\{9,7,5,3\}$:

Esempio: iniettività della funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},n\mapsto 2n+1$

Data una funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},n\mapsto 2n+1$, essa è iniettiva. Infatti, dati due interi $m\ne n$ si ha certamente $f(m)=2m+1\ne f(n)=2n+1$.

Esempio: non-iniettività della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, essa non è iniettiva. Infatti, si ha $f(1)=f(-1)=1$ e, più in generale, $\forall x\in \mathbb{R}(f(x)=f(-x))$.

Esempio: iniettività della funzione proiezione $p_1:A\times B\to A,(a,b)\mapsto a$

Data una funzione proiezione $p_1:A\times B\to A,(a,b)\mapsto a$, siccome si ha $p_1((a,b))=a$ per ogni $(a,b)\in A\times B$ la funzione è iniettiva solo se $B$ consiste di un unico elemento: se $B$ contiene due elementi distinti $b_1$ e $b_2$ allora $p_1((a,b_1))=p_1((a,b_2))$.

Osservazione: rendere una funzione iniettiva restringendo il dominio

Una funzione $f:A\to B$ non iniettiva può diventare iniettiva restringendo opportunamente il dominio. Per esempio, la funzione $f(x)=x^2$ che non è iniettiva sul dominio $\mathbb{R}$, può diventarlo se viene ristretto il dominio ai numeri reali non-negativi. Infatti, per ogni coppia di due numeri reali non-negativi distinti $x_1$ e $x_2$, si avrà sicuramente $x_1^2\ne x_2^2$.

4.2 - Suriettività

Definizione: suriettività

Una funzione $f:A\to B$ si dice che è suriettiva o che è una suriezione se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio:

$$\forall y\in B,\exists x\in A(f(x)=y)$$

Esempio: esempio grafico della suriettività

Un esempio grafico della suriettività è il seguente, in cui ogni elemento dell’insieme $B=\{9,7,5\}$ è associato ad almeno un elemento della funzione $A=\{2,4,6,8\}$:

Esempio: non-suriettività della funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},x\mapsto 2x+1$

Data una funzione $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},x\mapsto 2x+1$, le immagini dei singoli elementi sono sempre numeri dispari e ogni numeri intero dispari $m$ può essere scritto nella forma $\forall k\in \mathbb{Z}(m=2k+1)$. Dunque $m=f(k)$ e si può concludere che l’immagine di $f$ è costituita dagli interi dispari ovvero $\text{rng}(f)=2\mathbb{Z}+1$. Poiché $2\mathbb{Z}+1\ne \mathbb{Z}$, la funzione $f$ non è suriettiva.

Esempio: non-suriettività della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, le immagini dei singoli elementi sono sempre numeri reali non negativo e ogni reale non negativo $y$ può essere scritto nella forma $\forall x\in \mathbb{R}(y=x^2)$. Dunque $y=f(x)$ e si può concludere che l’immagine di $f$ è costituita dai numeri reali positivi, ovvero $\text{rng}(f)=\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}$. Poiché $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}\ne \mathbb{R}$, la funzione $f$ non è suriettiva.

Esempio: suriettività della funzione $f:[0,+\infty ]\to \mathbb{R},x\mapsto \log (x)$

Data una funzione $f:[0,+\infty ]\to \mathbb{R},x\mapsto \log (x)$, ogni numero reale $r$ è il logaritmo di un altro qualsiasi numero reale $x$ (basti prendere $x=e^r$). Dunque, dato che $\text{rng}(f)=\mathbb{R}$, la funzione è suriettiva.

Esempio: suriettività della funzione proiezione $p_1:A\times B\to A,(a,b)\mapsto a$

Data una funzione proiezione $p_1:A\times B\to A$, poiché $B\ne \varnothing$ (se $B$ fosse vuoto allora $A\times B=A\times \varnothing =\varnothing$ e non si potrebbe parlare di funzione) e dato un $a\in A$ si può sempre scrivere $\forall b\in B(a=p_1((a,b)))$. Pertanto, ogni $a\in A$ è anche in $\text{rng}(p_1)$, quindi $A=\text{rng}(p_1)$ e $p_1$ è suriettiva.

Osservazione: suriettività intesa come $\text{rng}(f)=B$

Un’altra definizione della suriettività è quella secondo cui la funzione $f$, per essere suriettiva, deve avere l’immagine corrispondente al codominio:

$$\text{rng}(f)=B$$

In questo caso, infatti, si ha che non ci sono elementi del codominio senza una controimmagine in $A$.

4.3 - Biettività

Definizione: biettività

Una funzione $f:A\to B$ si dice che è biettiva o che è una biezione se è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva, ovvero se per ogni elemento del codominio $y\in B$ esiste ed è unico un elemento del dominio $x\in A$ tale che $f(x)=y$:

$$\forall y\in B,\exists !x\in A(f(x)=y)$$

Esempio: esempio grafico della biettività

Un esempio grafico della biettività è il seguente, in cui ogni elemento dell’insieme $B=\{9,7,5,3\}$ è associato a uno e un solo elemento della funzione $A=\{2,4,6,8\}$:

Esempio: biettività della funzione identità

Per ogni insieme $A$, la funzione identità ${\text{id}}_A:A\to A$ è biettiva, in quanto a ogni elemento del codominio è associato un solo elemento del dominio (ossia se stesso).

Esempio: biettività della funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$ con restringimento di dominio

Data una funzione $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^2$, essa non è né iniettiva, né suriettiva, ma può diventare biettiva restringendo il suo dominio ai numeri non-negativi $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}$ e pensandola con codominio $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0\}$ (se il codominio fosse $\mathbb{R}$, allora non potrebbe essere suriettiva, in quanto non ci sono numeri che, elevati alla seconda, danno numeri negativi). In questo modo, per ogni numero reale $x>0$ esiste un solo $y>0$ tale che $y=x^2$.

Esempio: biettività della funzione $f:A\times B\to B\times A,(a,b)\mapsto (b,a)$

La funzione $f:A\times B\to B\times A,(a,b)\mapsto (b,a)$ è una biezione. Infatti, ogni coppia $(b,a)\in B\times A$ è immagine solo di una coppia $(a,b)\in A\times B$.

4.4 - Relazioni con la cardinalità

Proposizione: iniettività, suriettività e biettività dipendono dalla cardinalità

Data una funzione $f:A\to B$, la sua iniettività, suriettività o biettività dipendono dalla sua cardinalità:

1. $f$ è suriettiva se e soltanto se $|f^{-1}(b)|\ge 1$ per ogni $b\in B$.

2. $f$ è iniettiva se e soltanto se $|f^{-1}(b)|\le 1$ per ogni $b\in B$.

3. $f$ è biettiva se e soltanto se è sia suriettiva che iniettiva, cioè se $|f^{-1}(b)|=1$ per ogni $b\in B$.

Dimostrazione

1. La condizione che esista un elemento $a\in f^{-1}(b)$ (cioè che $|f^{-1}(b)|\ge 1$) è equivalente, per la definizione di controimmagine, alla condizione che esista un $a\in A$ tale che $f(a)=b$.

2. Si può dimostrare analogamente che $f$ non è iniettiva se e soltanto se esiste un $b\in B$ tale che $|f^{-1}(b)|\ge 2$, in quanto in questo caso esistono due elementi distinti $a_1\ne a_2$ nel dominio tali che $f(a_1)=f(a_2)=b$.

3. Una funzione per essere biettiva deve essere sia iniettiva che suriettiva, quindi dovendo essere $|f^{-1}(b)|$ sia $\ge 1$ che $\le 1$, l’unico caso che soddisfa entrambe le condizioni è $|f^{-1}(b)\models 1$.

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5 - Composizione di funzioni

Definizione: composizione di due funzioni

Date due funzioni $f:A\to B$ e $g:B\to C$, la composizione di $f$ e $g$, denotata con "$g\circ f$", è la funzione:

$$\begin{array}{rl}g\circ f:A& \to C\\ a& \mapsto g(f(a))\end{array}$$

È importante osservare che la composizione $g\circ f$ è definita solo se il codominio di $f$ coincide col dominio di $g$.

Osservazione: composizione rappresentata con le frecce

La notazione “a frecce” delle funzioni permette di rappresentare semplicemente la composizione $g\circ f$ come:
$A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C,A\stackrel{g\circ f}{\to }C$
dove entrambi i percorsi che può seguire un elemento $a\in A$ per arrivare in $C$ danno lo stesso risultato.

Esempio: composizione di $f(x)=x^2$ con $g(x)=4x+1$

Date due funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x^2$ e $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g(x)=4x+1$, allora la funzione composta $g\circ f$ è definita da

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=4f(x)+1=4x^2+1$$

Invertendo i ruoli di $f$ e $g$, è possibile definire anche la funzione composta $f\circ g$ definita da

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(g(x){)}^2=(4x+1{)}^2$$

Attenzione: composizione non è commutativa!

L’esempio precedente mostra che in generale le funzioni composte $g\circ f$ e $f\circ g$ non coincidono: l’operazione di composizione tra funzioni non è commutativa.

Osservazione: composizione di una funzione costante con altre funzioni

Data una funzione costante

$$\begin{array}{rl}{f}_{\beta }:A& \to B\\ a& \mapsto \beta \end{array}$$

allora per ogni funzione $g:B\to C$ e per ogni funzione $h:D\to A$ si ha:

• $\forall a\in A((g\circ f_{\beta })(a)=g(\beta ))$.
• $\forall d\in D((f_{\beta }\circ h)(d)=f_{\beta }(h(d))=\beta )$.

Quindi $g\circ f_{\beta }:A\to C$ è la funzione costante $f_{\beta }(g(\beta ))$ e $f_{\beta }\circ h:D\to B$ è la funzione costante $f_{\beta }$ con dominio $D$. Dal punto di vista grafico:
$D\stackrel{h}{\to }A\stackrel{f_{\beta }}{\to }B\stackrel{g}{\to }C,D\stackrel{f_{\beta }}{\to }B,A\stackrel{f(g(\beta ))}{\to }C$

Esempio: composizione di funzioni di tempo

In un moto rettilineo, dato il tempo $t$ misurato in secondi e la posizione $y$ al tempo $t$ misurata in metri, supponiamo che $t$ e $y$ siano legate dalla relazione $y=g(t)$ con $g(t)=t^2+t$ per ogni $t\ge 0$.

Supponiamo ora che il tempo sia riscalato in minuti, denotato stavolta con $x$, per cui vale quindi la relazione $t=f(x)$ con $f(x)=60x$.

Ci chiediamo quale sia la relazione che intercorre tra la posizione $y$ e il tempo $x$ misurato in minuti: per rispondere a questa domanda è sufficiente sostituire l’espressione di $t$ in funzione di $x$ nella relazione $y=g(t)$; si ha quindi

$$\forall x\ge 0\left(\begin{array}{rl}y& =t^2+t\\ & =(60x{)}^2+(60x)\\ & =3600x^2+60x\end{array}\right)$$

Abbiamo così introdotto una funzione composta di $g$ ed $f$:

$$g(f(x))=g\circ f$$

Attenzione: necessità di far coincidere dominio e codominio nella composizione

Consideriamo le funzioni $f$ e $g$ definite da

$$f(x)=x-4$$

e

$$g(x)=\sqrt{x}$$

Osserviamo che la funzione $f$ è definita per ogni $x\in \mathbb{R}$, mentre la funzione $g$ è definita per ogni $x\ge 0$.

Un semplice calcolo mostra che

$$\begin{array}{rl}(g\circ f)(13)& =g(f(13))\\ & =\sqrt{f(13)}\\ & =\sqrt{13-4}\\ & =\sqrt{9}\\ & =3\end{array}$$

Se però volessimo calcolare $(g\circ f)(1)$ incontreremmo un problema: infatti $f(1)=-3$ e dunque $g(f(1))$ non esiste perché $\sqrt{-3}$ non è definito in $\mathbb{R}$.

Osserviamo quindi il motivo per cui, nella definizione di funzione composta, viene richiesto che il codominio di $f$ debba coincidere con il dominio di $g$.

6 - Funzioni inverse

I valori della temperatura in gradi Celsius ($C$) e in Kelvin ($K$) sono legati dalla relazione

$$C=K-273.15$$

Questa formula esprime $C$ in funzione di $K$: supponiamo ora di voler determinare $K$ in funzione di $C$, cioè ricavare il valore di $K$ a partire da un dato valore di $C$. Si tratta quindi di determinare una formula del tipo $K=g(C)$: per far questo è sufficiente ricavare $K$ dalla relazione $C=K-273.15$. Si ottiene quindi:

$$K=C+273.15$$

Abbiamo cioè ricavato la funzione inversa di $f$: a partire dalla funzione $f$ che esprimeva la dipendenza di $C$ da $K$, data da

$$f(K)=K-273.15$$

abbiamo ricavato una nuova funzione che esprime $K$ in funzione di $C$; essa si chiama funzione inversa di $f$ e si denota con $f^{-1}$. Con riferimento alla funzione precedente, abbiamo dunque

$$f^{-1}(C)=C+273.15$$

Osserviamo che il procedimento effettuato corrisponde alla risposta al seguente quesito: a partire da una relazione $C=f(K)$ è possibile ricavare in modo unico $K$ quando è nota $C$? Si presti attenzione all’unicità del risultato: in questo caso $K$ è individuata in modo unico da $C$.

Alla luce di quest’ultima osservazione, è facile rendersi conto che la funzione inversa di $f$ non sempre esiste: per esempio se due variabili $x$ e $y$ sono legate dalla relazione $y=f(x)$ con $f(x)=x^2$ per ogni $x\in \mathbb{R}$, allora data una certa $y$ non è possibile risalire in modo unico a $x$ tale che $x^2=y$. Infatti, se per esempio $y=9$, esistono due valori di $x$ tali che $x^2=9$, ossia $+3$ e $-3$.

L’esempio precedente pone quindi il problema di capire quando sia definita la funzione inversa; una semplice riflessione suggerisce che, affinché la funzione inversa sia definita, non devono esistere due valori diversi di $x$ aventi la stessa immagine $f(x)$, ossia $f$ deve essere iniettiva.

Definizione: funzione inversa

Data una funzione iniettiva $f:A\to B$, si chiama funzione inversa di $f$ la funzione

$$f^{-1}:\text{rng}(f)\to A$$

definita dalla relazione

$$\forall x\in A,\forall y\in \text{rng}(f)(x=f^{-1}(y)⟺y=f(x))$$

La funzione $f$ è detta invertibile su $A$.

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Matematica Discreta & Algebra (parte 1) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Lezioni in aula dei Proff. Chen Yu e Terracini Lea.
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Algebra Lineare & Geometria (parte 2) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Lezioni in aula del Prof. Radeschi Marco.
  • Corso di Logica Matematica, A.A. 2022-23 (pagina Moodle):
    • Slide dei Proff. Andretta Alessandro, Motto Ros Luca e Viale Matteo:
      • 2.3 - Funzioni.
• 📚 Analisi matematica - Fare e comprendere di Walter Dambrosio, Zanichelli, 2018 (ISBN: 9788808220745):
  • Parte I - I concetti dell’analisi matematica:
    • 1 - Funzioni e modelli:
      • 1 - Funzioni e grafici:
        • 1.1 - Funzioni e loro rappresentazioni.
        • 1.2 - Funzione composta e funzione inversa.
• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 2 - Funzioni:
    • 1 - Nozioni preliminari.