Composizione di funzioni

Premessa

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Definizione: composizione di due funzioni

Date due funzioni $f:A\to B$ e $g:B\to C$ (dove $\text{cod}(f)=\text{dom}(g)=B$), la composizione di $f$ e $g$, denotata con "$g\circ f$", è la funzione:

$$\begin{array}{rl}g\circ f:A& \to C\\ a& \mapsto g(f(a))\end{array}$$

Osservazione: composizione rappresentata con le frecce

La notazione “a frecce” delle funzioni permette di rappresentare semplicemente la composizione $g\circ f$ come:

$$A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C,A\stackrel{g\circ f}{\to }C$$

dove entrambi i percorsi che può seguire un elemento $a\in A$ per arrivare in $C$ danno lo stesso risultato.

Esempio: composizione di $f(x)=x^2$ con $g(x)=4x+1$

Date due funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x^2$ e $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g(x)=4x+1$, allora la funzione composta $g\circ f$ è definita da

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=4f(x)+1=4x^2+1$$

Invertendo i ruoli di $f$ e $g$, è possibile definire anche la funzione composta $f\circ g$ definita da

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(g(x){)}^2=(4x+1{)}^2$$

Attenzione: composizione non è commutativa!

L’esempio precedente mostra che in generale le funzioni composte $g\circ f$ e $f\circ g$ non coincidono: l’operazione di composizione tra funzioni non è commutativa.

Osservazione: composizione di una funzione costante con altre funzioni

Data una funzione costante

$$\begin{array}{rl}{f}_{\beta }:A& \to B\\ a& \mapsto \beta \end{array}$$

allora per ogni funzione $g:B\to C$ e per ogni funzione $h:D\to A$ si ha:

• $\forall a\in A((g\circ f_{\beta })(a)=g(\beta ))$.
• $\forall d\in D((f_{\beta }\circ h)(d)=f_{\beta }(h(d))=\beta )$.

Quindi $g\circ f_{\beta }:A\to C$ è la funzione costante $f_{\beta }(g(\beta ))$ e $f_{\beta }\circ h:D\to B$ è la funzione costante $f_{\beta }$ con dominio $D$. Dal punto di vista grafico:
$D\stackrel{h}{\to }A\stackrel{f_{\beta }}{\to }B\stackrel{g}{\to }C,D\stackrel{f_{\beta }}{\to }B,A\stackrel{f(g(\beta ))}{\to }C$

Esempio: composizione di funzioni di tempo

In un moto rettilineo, dato il tempo $t$ misurato in secondi e la posizione $y$ al tempo $t$ misurata in metri, supponiamo che $t$ e $y$ siano legate dalla relazione $y=g(t)$ con $g(t)=t^2+t$ per ogni $t\ge 0$.

Supponiamo ora che il tempo sia riscalato in minuti, denotato stavolta con $x$, per cui vale quindi la relazione $t=f(x)$ con $f(x)=60x$.

Ci chiediamo quale sia la relazione che intercorre tra la posizione $y$ e il tempo $x$ misurato in minuti: per rispondere a questa domanda è sufficiente sostituire l’espressione di $t$ in funzione di $x$ nella relazione $y=g(t)$; si ha quindi

$$\forall x\ge 0\left(\begin{array}{rl}y& =t^2+t\\ & =(60x{)}^2+(60x)\\ & =3600x^2+60x\end{array}\right)$$

Abbiamo così introdotto una funzione composta di $g$ ed $f$:

$$g(f(x))=g\circ f$$

Attenzione: necessità di far coincidere dominio e codominio nella composizione

Consideriamo le funzioni $f$ e $g$ definite da

$$f(x)=x-4$$

e

$$g(x)=\sqrt{x}$$

Osserviamo che la funzione $f$ è definita per ogni $x\in \mathbb{R}$, mentre la funzione $g$ è definita per ogni $x\ge 0$.

Un semplice calcolo mostra che

$$\begin{array}{rl}(g\circ f)(13)& =g(f(13))\\ & =\sqrt{f(13)}\\ & =\sqrt{13-4}\\ & =\sqrt{9}\\ & =3\end{array}$$

Se però volessimo calcolare $(g\circ f)(1)$ incontreremmo un problema: infatti $f(1)=-3$ e dunque $g(f(1))$ non esiste perché $\sqrt{-3}$ non è definito in $\mathbb{R}$.

Osserviamo quindi il motivo per cui, nella definizione di funzione composta, viene richiesto che il codominio di $f$ debba coincidere con il dominio di $g$.

1 - Monotonia e composizione di funzioni

Ora vediamo una proposizione che lega la monotonia alla composizione di funzioni.

Regola dei segni per la monotonia della funzione composta

Date due funzioni $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}$ (con $\text{rng}(f)\subseteq \text{dom}(g)$) e due intervalli $I\subseteq \text{dom}(f)$ e $g\subseteq \text{dom}(g)$:

• Se $f$ è (strettamente) crescente su $I$ e $g$ è (strettamente) crescente su $J$, allora la loro composizione $g\circ f$ è (strettamente) crescente su $I$.
• Se $f$ è (strettamente) decrescente su $I$ e $g$ è (strettamente) crescente su $J$, allora la loro composizione $g\circ f$ è (strettamente) decrescente su $I$.
• Se $f$ è (strettamente) crescente su $I$ e $g$ è (strettamente) decrescente su $J$, allora la loro composizione $g\circ f$ è (strettamente) decrescente su $I$.
• Se $f$ è (strettamente) decrescente su $I$ e $g$ è (strettamente) decrescente su $J$, allora la loro composizione $g\circ f$ è (strettamente) decrescente su $I$.

	$f$ è (strettamente) crescente su $I$	$f$ è (strettamente) decrescente su $I$
$g$ è (strettamente) crescente su $J$	$g\circ f$ è (strettamente) crescente su $I$	$g\circ f$ è (strettamente) decrescente su $I$
**$g$ è (strettamente) decrescente su $J$	$g\circ f$ è (strettamente) decrescente su $I$	$g\circ f$ è (strettamente) crescente su $I$

Trucco per ricordare la regola dei segni per la monotonia della funzione composta

La regola dei segni per la monotonia della funzione composta si chiama così proprio perché ricorda la regola dei segni per il prodotto di due numeri reali:

• Se le due funzioni sono “concordi”, cioè entrambe o (strettamente) crescenti o (strettamente) decrescenti, allora la loro composizione è (strettamente) crescente.
• Se le due funzioni sono “discordi”, cioè una è (strettamente) crescente e l’altra è (strettamente) decrescente, allora la loro composizione è (strettamente) decrescente.

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Matematica Discreta & Algebra (parte 1) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Proff. Chen Yu e Terracini Lea, lezioni in aula.
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Algebra Lineare & Geometria (parte 2) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Prof. Radeschi Marco, lezioni in aula.
  • Corso di Logica Matematica, A.A. 2022-23 (pagina Moodle):
    • Proff. Andretta Alessandro, Motto Ros Luca e Viale Matteo, slide:
      • 2.3 - Funzioni.
• 📚 Walter Dambrosio, Analisi matematica - Fare e comprendere, Zanichelli, 2018 (ISBN: 9788808220745):
  • Parte I - I concetti dell’analisi matematica:
    • Capitolo 1 - Funzioni e modelli:
      • 1 - Funzioni e grafici:
        • 1.2 - Funzione composta e funzione inversa.
        • 1.3 - Proprietà globali di una funzione su un intervallo.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 2 - Funzioni:
    • 1 - Nozioni preliminari.