Composizione di funzioni

Premessa

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Definizione: composizione di due funzioni

Date due funzioni $f:A\to B$ e $g:B\to C$ (dove $\text{cod}(f)=\text{dom}(g)=B$), la composizione di $f$ e $g$, denotata con "$g\circ f$", è la funzione:

$$\begin{array}{rl}g\circ f:A& \to C\\ a& \mapsto g(f(a))\end{array}$$

Osservazione: composizione rappresentata con le frecce

La notazione “a frecce” delle funzioni permette di rappresentare semplicemente la composizione $g\circ f$ come:

$$A\stackrel{f}{\to }B\stackrel{g}{\to }C,A\stackrel{g\circ f}{\to }C$$

dove entrambi i percorsi che può seguire un elemento $a\in A$ per arrivare in $C$ danno lo stesso risultato.

Esempio: composizione di $f(x)=x^2$ con $g(x)=4x+1$

Date due funzioni $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x^2$ e $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},g(x)=4x+1$, allora la funzione composta $g\circ f$ è definita da

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=4f(x)+1=4x^2+1$$

Invertendo i ruoli di $f$ e $g$, è possibile definire anche la funzione composta $f\circ g$ definita da

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(g(x){)}^2=(4x+1{)}^2$$

Attenzione: composizione non è commutativa!

L’esempio precedente mostra che in generale le funzioni composte $g\circ f$ e $f\circ g$ non coincidono: l’operazione di composizione tra funzioni non è commutativa.

Osservazione: composizione di una funzione costante con altre funzioni

Data una funzione costante

$$\begin{array}{rl}{f}_{\beta }:A& \to B\\ a& \mapsto \beta \end{array}$$

allora per ogni funzione $g:B\to C$ e per ogni funzione $h:D\to A$ si ha:

• $\forall a\in A((g\circ f_{\beta })(a)=g(\beta ))$.
• $\forall d\in D((f_{\beta }\circ h)(d)=f_{\beta }(h(d))=\beta )$.

Quindi $g\circ f_{\beta }:A\to C$ è la funzione costante $f_{\beta }(g(\beta ))$ e $f_{\beta }\circ h:D\to B$ è la funzione costante $f_{\beta }$ con dominio $D$. Dal punto di vista grafico:
$D\stackrel{h}{\to }A\stackrel{f_{\beta }}{\to }B\stackrel{g}{\to }C,D\stackrel{f_{\beta }}{\to }B,A\stackrel{f(g(\beta ))}{\to }C$

Esempio: composizione di funzioni di tempo

In un moto rettilineo, dato il tempo $t$ misurato in secondi e la posizione $y$ al tempo $t$ misurata in metri, supponiamo che $t$ e $y$ siano legate dalla relazione $y=g(t)$ con $g(t)=t^2+t$ per ogni $t\ge 0$.

Supponiamo ora che il tempo sia riscalato in minuti, denotato stavolta con $x$, per cui vale quindi la relazione $t=f(x)$ con $f(x)=60x$.

Ci chiediamo quale sia la relazione che intercorre tra la posizione $y$ e il tempo $x$ misurato in minuti: per rispondere a questa domanda è sufficiente sostituire l’espressione di $t$ in funzione di $x$ nella relazione $y=g(t)$; si ha quindi

$$\forall x\ge 0\left(\begin{array}{rl}y& =t^2+t\\ & =(60x{)}^2+(60x)\\ & =3600x^2+60x\end{array}\right)$$

Abbiamo così introdotto una funzione composta di $g$ ed $f$:

$$g(f(x))=g\circ f$$

Attenzione: necessità di far coincidere dominio e codominio nella composizione

Consideriamo le funzioni $f$ e $g$ definite da

$$f(x)=x-4$$

e

$$g(x)=\sqrt{x}$$

Osserviamo che la funzione $f$ è definita per ogni $x\in \mathbb{R}$, mentre la funzione $g$ è definita per ogni $x\ge 0$.

Un semplice calcolo mostra che

$$\begin{array}{rl}(g\circ f)(13)& =g(f(13))\\ & =\sqrt{f(13)}\\ & =\sqrt{13-4}\\ & =\sqrt{9}\\ & =3\end{array}$$

Se però volessimo calcolare $(g\circ f)(1)$ incontreremmo un problema: infatti $f(1)=-3$ e dunque $g(f(1))$ non esiste perché $\sqrt{-3}$ non è definito in $\mathbb{R}$.

Osserviamo quindi il motivo per cui, nella definizione di funzione composta, viene richiesto che il codominio di $f$ debba coincidere con il dominio di $g$.

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Matematica Discreta & Algebra (parte 1) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Proff. Chen Yu e Terracini Lea, lezioni in aula.
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Algebra Lineare & Geometria (parte 2) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Prof. Radeschi Marco, lezioni in aula.
  • Corso di Logica Matematica, A.A. 2022-23 (pagina Moodle):
    • Proff. Andretta Alessandro, Motto Ros Luca e Viale Matteo, slide:
      • 2.3 - Funzioni.
• 📚 Walter Dambrosio, Analisi matematica - Fare e comprendere, Zanichelli, 2018 (ISBN: 9788808220745):
  • Parte I - I concetti dell’analisi matematica:
    • Capitolo 1 - Funzioni e modelli:
      • 1 - Funzioni e grafici:
        • 1.2 - Funzione composta e funzione inversa.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 2 - Funzioni:
    • 1 - Nozioni preliminari.