Funzioni elementari

Premessa

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1 - Funzioni lineari

Definizione: funzione lineare

Una funzione lineare è una funzione del tipo

$$f(x)=mx+q$$

con $m,q\in \mathbb{R}$.

Esempio: funzione lineare passante per un punto assegnato e con pendenza assegnata

Determiniamo l’unica funzione lineare $f$ di pendenza $m_0\in \mathbb{R}$ assegnata e il cui grafico passa per un punto $(x_0,y_0)$ assegnato.

Dato un generico punto $(x,f(x))$ sulla retta grafico di $f$, in accordo con la relazione della pendenza della retta abbiamo

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=m_0$$

Da cui si ricava la relazione

$$f(x)-y_0=m_0(x-x_0)$$

e quindi

$$f(x)=m_0(x-x_0)+y_0$$

Per esempio, la funzione lineare avente pendenza $m_0=-2$ e il cui grafico passa per $(1,4)$ è:

$$f(x)=-2(x-1)+4=-2x+6$$

Esempio: funzione lineare passante per due punti assegnati

Determiniamo l’unica funzione lineare $f$ il cui grafico passa per due punti $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ assegnati (con $x_1\ne x_2$). Osserviamo che la pendenza di $f$, in accordo con la relazione della pendenza della retta, abbiamo

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=m$$

Applicando la formula di prima della retta passante per un dato punto ($f(x)=m_0(x-x_0)+y_0$), abbiamo

$$\begin{array}{rl}f(x)& =m(x-x_1)+y_1\\ & =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1\end{array}$$

Per esempio, la funzione lineare il cui grafico passa per $(1,4)$ e per $(3,-2)$ è

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{-2-4}{3-1}(x-1)+4\\ & =-3(x-1)+4\\ & =-3x+3+4\\ & =-3x+7\end{array}$$

Osservazione: $m$ indica la pendenza di una funzione lineare

Analizziamo il comportamento di $f$ al variare di $m$:

	Dominio	Immagine	Monotonia	Comportamento asintotico al’infinito
$m>0$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$f$ crescente su $\mathbb{R}$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$
$m<0$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$f$ decrescente su $\mathbb{R}$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\mp \infty$
$m=0$	$\mathbb{R}$	$\{q\}$	$f$ costante su $\mathbb{R}$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=q$

Si può quindi evincere che la pendenza della retta dipende dal coefficiente $m$ e, in particolare, quando $m=0$ la retta è orizzontale e parallela al piano delle ascisse.

Proprio perché $m$ indica la pendenza di una funzione lineare, viene spesso chiamato coefficiente angolare.

Definizione: coefficiente angolare

In una funzione lineare $y=mx+q$ il coefficiente $m$ viene detto coefficiente angolare o pendenza della retta o coefficiente di proporzionalità tra la variazione di $f$ e quella di $x$.

Osservazione: funzione lineare rappresenta (quasi) ogni retta del piano cartesiano

Ogni retta del piano cartesiano può essere rappresentata da una funzione lineare, eccetto una retta particolare: quella verticale, cioè la retta che ha pendenza infinita. Dal momento che, per avere pendenza infinita, $m$ dovrebbe essere uguale a $\pm \infty$ ma le funzioni lineari accettano solo valori reali di $m$ (perché $m\in \mathbb{R}$), con le funzioni lineari non si possono rappresentare le rette verticali.

Osservazione: $q$ indica la distanza dall'origine

Analizziamo ora il comportamento di $f$ al variare di $q$. Possiamo osservare che una funzione lineare interseca l’asse delle ordinate sempre nel punto $(0,q)$, quindi quando $q=0$ la retta passa per l’origine $O(0,0)$.

Teorema della pendenza costante della funzione lineare

Data una funzione lineare $f(x)=mx+q$ con $x\in \mathbb{R}$ e $m,q\in \mathbb{R}$ fissati, allora per ogni coppia di punti distinti $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ si ha che il quoziente di Newton è sempre pari a $m$:

$$\forall x_1,x_2\in \mathbb{R}.\left(x_1\ne x_2⟹\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m\right)$$

Cioè, in una funzione lineare, il coefficiente angolare $m$ (che rappresenta la pendenza) è costante.

Dimostrazione del teorema della pendenza costante della funzione lineare

Dimostriamo il teorema della pendenza costante della funzione lineare.

Tramite una serie di passaggi, dimostriamo che vale l’equivalenza:

$$\begin{array}{rl}\frac{\Delta f}{\Delta x}& =\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\ & =\frac{(m{x}_2+q)-(m{x}_1+q)}{x_2-x_1}\\ & =\frac{m(x_2\cancel{+q}-x_1\cancel{-q})}{x_2-x_1}\\ & =\frac{m\cancel{(x_2-x_1)}}{\cancel{x_2-x_1}}\\ & =m\end{array}$$

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2 - Funzioni potenza

Definizione: funzione potenza

Una funzione potenza è una funzione del tipo

$$f(x)=x^n$$

con $n\in \mathbb{R}$.

Il comportamento delle funzioni potenza dipende dall’esponente $n$:

	$f(x)=x^n$ con $n>0$ pari	$f(x)=x^n$ con $n>0$ dispari
Dominio	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Immagine	$[0;+\infty )$	$\mathbb{R}$
Simmetrie	$f$ è pari	$f$ è dispari
Monotonia	$f$ decrescente su $(-\infty ;0]$ e crescente su $[0;+\infty )$	$f$ crescente su $\mathbb{R}$
Comportamento	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=+\infty$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$

	$f(x)=x^n$ con $n<0$ pari	$f(x)=x^n$ con $n<0$ dispari
Dominio	$\mathbb{R}\setminus \{0\}$	$\mathbb{R}\setminus \{0\}$
Immagine	$(0;+\infty )$	$\mathbb{R}\setminus \{0\}$
Simmetrie	$f$ è pari	$f$ è dispari
Monotonia	$f$ decrescente su $(-\infty ;0)$ e crescente su $(0;+\infty )$	$f$ decrescente su $(-\infty ;0)$ e decrescente su $(0;+\infty )$
Comportamento	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$

	$f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ con $n>0$ pari	$f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ con $n>0$ dispari
Dominio	$[0;+\infty )$	$\mathbb{R}$
Immagine	$[0;+\infty )$	$\mathbb{R}$
Monotonia	$f$ crescente su $[0;+\infty )$	$f$ crescente su $\mathbb{R}$
Comportamento	$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$
Inversa	$f$ è l’inversa della restrizione di $x^n$ su $[0;+\infty )$	$f$ è l’inversa di $x^n$

3 - Funzioni esponenziali

Definizione: funzione esponenziale

Una funzione esponenziale è una funzione del tipo

$$f(x)=a^x$$

con $a>0\wedge a\ne 1$.

Il comportamento delle funzioni potenza dipende dalla base $a$:

	$f(x)=a^x$ con $a>1$	$f(x)=a^x$ con $0<a<1$
Dominio	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Immagine	$(0;+\infty )$	$(0;+\infty )$
Monotonia	$f$ crescente su $\mathbb{R}$	$f$ decrescente su $\mathbb{R}$
Comportamento	$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$ e $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$	$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ e $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$

4 - Funzioni logaritmiche

Definizione: funzione logaritmica

Una funzione logaritmica è una funzione del tipo

$$f(x)={\log }_{a}x$$

con $a>0\wedge a\ne 1$.

Il comportamento delle funzioni potenza dipende dalla base del logaritmo $a$:

	$f(x)={\log }_{a}x$ con $a>1$	$f(x)={\log }_{a}x$ con $0<a<1$
Dominio	$(0;+\infty )$	$(0;+\infty )$
Immagine	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Monotonia	$f$ crescente su $(0;+\infty )$	$f$ decrescente su $(0;+\infty )$
Comportamento	$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$ e $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$	$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ e $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$
Inversa	$f$ è l’inversa di $a^x$	$f$ è l’inversa di $a^x$

5 - Funzioni goniometriche

Definizione: funzione goniometrica

Una funzione goniometrica è una funzione del tipo

$$f(x)=\sin x$$

o

$$f(x)=\cos x$$

o

$$f(x)=\tan x$$

	$f(x)=\sin x$	$f(x)=\cos x$	$f(x)=\tan x$
Dominio	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$\left\{x\in \mathbb{R}\mid \forall k\in \mathbb{Z}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \right)\right\}$
Immagine	$[-1;+1]$	$[-1;+1]$	$\mathbb{R}$
Periodicità	$f$ periodica di periodo $2\pi$	$f$ periodica di periodo $2\pi$	$f$ periodica di periodo $\pi$
Simmetrie	$f$ dispari	$f$ pari	$f$ dispari
Monotonia			$f$ crescente su $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;+\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$

5.1 - Funzioni goniometriche inverse

	$f(x)=\arcsin x$	$f(x)=\arctan x$
Dominio	$[-1;+1]$	$\mathbb{R}$
Immagine	$\left[-\frac{\pi }{2};+\frac{\pi }{2}\right]$	$\left(-\frac{\pi }{2};+\frac{\pi }{2}\right)$
Simmetrie	$f$ dispari	$f$ dispari
Monotonia	$f$ crescente su $[-1;+1]$	$f$ crescente su $\mathbb{R}$
Inversa	$f$ è l’inversa della restrizione di $\sin x$ a $\left[-\frac{\pi }{2};+\frac{\pi }{2}\right]$	$f$ è l’inversa della restrizione di $\tan x$ a $\left(-\frac{\pi }{2};+\frac{\pi }{2}\right)$

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L1a, L1b.
• 📚 Walter Dambrosio, Analisi matematica - Fare e comprendere, Zanichelli, 2018 (ISBN: 9788808220745):
  • Parte I - I concetti dell’analisi matematica:
    • Capitolo 1 - Funzioni e modelli:
      • 2 - Grafici delle funzioni elementari:
        • 2.1 - Funzioni lineari e funzioni potenza.
        • 2.2 - Funzioni esponenziali e logaritmiche.