Funzioni elementari

Premessa

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Funzioni lineari

Definizione: funzione lineare

Una funzione lineare è una funzione del tipo

$$f(x)=mx+q$$

con $m,q\in \mathbb{R}$.

Il grafico di una funzione lineare è la retta di equazione

$$y=mx+q$$

Analizziamo il comportamento di $f$ al variare di $m$:

	Dominio	Immagine	Monotonia	Comportamento asintotico al’infinito
$m>0$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$f$ crescente su $\mathbb{R}$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$
$m<0$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$f$ decrescente su $\mathbb{R}$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\mp \infty$
$m=<=0$	$\mathbb{R}$	$\{q\}$	$f$ costante su $\mathbb{R}$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=q$

Si può quindi evincere che il coefficiente $m$ assume due significati fondamentali:

• È la pendenza della retta $y=mx+q$: per ogni coppia di punti $x_1\ne x_2$ abbiamo: $$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m$$
• È il tasso medio di variazione di $f$ in ogni intervallo.

Esempio: funzione lineare passante per un punto assegnato e con pendenza assegnata

Determiniamo l’unica funzione lineare $f$ di pendenza $m_0\in \mathbb{R}$ assegnata e il cui grafico passa per un punto $(x_0,y_0)$ assegnato.

Dato un generico punto $(x,f(x))$ sulla retta grafico di $f$, in accordo con la relazione della pendenza della retta abbiamo

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=m_0$$

Da cui si ricava la relazione

$$f(x)-y_0=m_0(x-x_0)$$

e quindi

$$f(x)=m_0(x-x_0)+y_0$$

Per esempio, la funzione lineare avente pendenza $m_0=-2$ e il cui grafico passa per $(1,4)$ è:

$$f(x)=-2(x-1)+4=-2x+6$$

[!esempio] Esempio: funzione lineare passante per due punti assegnati

Determiniamo l’unica funzione lineare $f$ il cui grafico passa per due punti $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ assegnati (con $x_1\ne x_2$). Osserviamo che la pendenza di $f$, in accordo con la relazione della pendenza della retta, abbiamo

$$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=m$$

Applicando la formula di prima della retta passante per un dato punto ($f(x)=m_0(x-x_0)+y_0$), abbiamo

$$\begin{array}{rl}f(x)& =m(x-x_1)+y_1\\ & =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1\end{array}$$

Per esempio, la funzione lineare il cui grafico passa per $(1,4)$ e per $(3,-2)$ è

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{-2-4}{3-1}(x-1)+4\\ & =-3(x-1)+4\\ & =-3x+3+4\\ & =-3x+7\end{array}$$

Funzioni potenza

Definizione: funzione potenza

Una funzione potenza è una funzione del tipo

$$f(x)=x^n$$

con $n\in \mathbb{R}$.

Il comportamento delle funzioni potenza dipende dall’esponente $n$:

	$f(x)=x^n$ con $n>0$ pari	$f(x)=x^n$ con $n>0$ dispari
Dominio	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Immagine	$[0;+\infty )$	$\mathbb{R}$
Simmetrie	$f$ è pari	$f$ è dispari
Monotonia	$f$ decrescente su $(-\infty ;0]$ e crescente su $[0;+\infty )$	$f$ crescente su $\mathbb{R}$
Comportamento	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=+\infty$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$

	$f(x)=x^n$ con $n<0$ pari	$f(x)=x^n$ con $n<0$ dispari
Dominio	$\mathbb{R}\setminus \{0\}$	$\mathbb{R}\setminus \{0\}$
Immagine	$(0;+\infty )$	$\mathbb{R}\setminus \{0\}$
Simmetrie	$f$ è pari	$f$ è dispari
Monotonia	$f$ decrescente su $(-\infty ;0)$ e crescente su $(0;+\infty )$	$f$ decrescente su $(-\infty ;0)$ e decrescente su $(0;+\infty )$
Comportamento	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$

	$f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ con $n>0$ pari	$f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ con $n>0$ dispari
Dominio	$[0;+\infty )$	$\mathbb{R}$
Immagine	$[0;+\infty )$	$\mathbb{R}$
Monotonia	$f$ crescente su $[0;+\infty )$	$f$ crescente su $\mathbb{R}$
Comportamento	$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$	$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$
Inversa	$f$ è l’inversa della restrizione di $x^n$ su $[0;+\infty )$	$f$ è l’inversa di $x^n$

Funzioni esponenziali

Definizione: funzione esponenziale

Una funzione esponenziale è una funzione del tipo

$$f(x)=a^x$$

con $a>0\wedge a\ne 1$.

Il comportamento delle funzioni potenza dipende dalla base $a$:

	$f(x)=a^x$ con $a>1$	$f(x)=a^x$ con $0<a<1$
Dominio	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Immagine	$(0;+\infty )$	$(0;+\infty )$
Monotonia	$f$ crescente su $\mathbb{R}$	$f$ decrescente su $\mathbb{R}$
Comportamento	$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$ e $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$	$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ e $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$

Funzioni logaritmiche

Definizione: funzione logaritmica

Una funzione logaritmica è una funzione del tipo

$$f(x)={\log }_{a}x$$

con $a>0\wedge a\ne 1$.

Il comportamento delle funzioni potenza dipende dalla base del logaritmo $a$:

	$f(x)={\log }_{a}x$ con $a>1$	$f(x)={\log }_{a}x$ con $0<a<1$
Dominio	$(0;+\infty )$	$(0;+\infty )$
Immagine	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Monotonia	$f$ crescente su $(0;+\infty )$	$f$ decrescente su $(0;+\infty )$
Comportamento	$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$ e $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$	$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ e $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$
Inversa	$f$ è l’inversa di $a^x$	$f$ è l’inversa di $a^x$

Funzioni goniometriche

Definizione: funzione goniometrica

Una funzione goniometrica è una funzione del tipo

$$f(x)=\sin x$$

o

$$f(x)=\cos x$$

o

$$f(x)=\tan x$$

	$f(x)=\sin x$	$f(x)=\cos x$	$f(x)=\tan x$
Dominio	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	$\left\{x\in \mathbb{R}\mid \forall k\in \mathbb{Z}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \right)\right\}$
Immagine	$[-1;+1]$	$[-1;+1]$	$\mathbb{R}$
Periodicità	$f$ periodica di periodo $2\pi$	$f$ periodica di periodo $2\pi$	$f$ periodica di periodo $\pi$
Simmetrie	$f$ dispari	$f$ pari	$f$ dispari
Monotonia			$f$ crescente su $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;+\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$

Funzioni goniometriche inverse

	$f(x)=\arcsin x$	$f(x)=\arctan x$
Dominio	$[-1;+1]$	$\mathbb{R}$
Immagine	$\left[-\frac{\pi }{2};+\frac{\pi }{2}\right]$	$\left(-\frac{\pi }{2};+\frac{\pi }{2}\right)$
Simmetrie	$f$ dispari	$f$ dispari
Monotonia	$f$ crescente su $[-1;+1]$	$f$ crescente su $\mathbb{R}$
Inversa	$f$ è l’inversa della restrizione di $\sin x$ a $\left[-\frac{\pi }{2};+\frac{\pi }{2}\right]$	$f$ è l’inversa della restrizione di $\tan x$ a $\left(-\frac{\pi }{2};+\frac{\pi }{2}\right)$

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Fonti

• 📚 Analisi matematica - Fare e comprendere di Walter Dambrosio, Zanichelli, 2018 (ISBN: 9788808220745):
  • 1 - Funzioni e modelli:
    • 2 - Grafici delle funzioni elementari:
      • 2.1 - Funzioni lineari e funzioni potenza.
      • 2.2 - Funzioni esponenziali e logaritmiche.