Invertibilità di funzioni

Premessa

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I valori della temperatura in gradi Celsius ($C$) e in Kelvin ($K$) sono legati dalla relazione

$$C=K-273.15$$

Questa formula esprime $C$ in funzione di $K$: supponiamo ora di voler determinare $K$ in funzione di $C$, cioè ricavare il valore di $K$ a partire da un dato valore di $C$. Si tratta quindi di determinare una formula del tipo $K=g(C)$: per far questo è sufficiente ricavare $K$ dalla relazione $C=K-273.15$. Si ottiene quindi:

$$K=C+273.15$$

Abbiamo cioè ricavato la funzione inversa di $f$: a partire dalla funzione $f$ che esprimeva la dipendenza di $C$ da $K$, data da

$$f(K)=K-273.15$$

abbiamo ricavato una nuova funzione che esprime $K$ in funzione di $C$; essa si chiama funzione inversa di $f$ e si denota con $f^{-1}$. Con riferimento alla funzione precedente, abbiamo dunque

$$f^{-1}(C)=C+273.15$$

Osserviamo che il procedimento effettuato corrisponde alla risposta al seguente quesito: a partire da una relazione $C=f(K)$ è possibile ricavare in modo unico $K$ quando è nota $C$? Si presti attenzione all’unicità del risultato: in questo caso $K$ è individuata in modo unico da $C$.

Alla luce di quest’ultima osservazione, è facile rendersi conto che la funzione inversa di $f$ non sempre esiste: per esempio se due variabili $x$ e $y$ sono legate dalla relazione $y=f(x)$ con $f(x)=x^2$ per ogni $x\in \mathbb{R}$, allora data una certa $y$ non è possibile risalire in modo unico a $x$ tale che $x^2=y$. Infatti, se per esempio $y=9$, esistono due valori di $x$ tali che $x^2=9$, ossia $+3$ e $-3$.

L’esempio precedente pone quindi il problema di capire quando sia definita la funzione inversa; una semplice riflessione suggerisce che, affinché la funzione inversa sia definita, non devono esistere due valori diversi di $x$ aventi la stessa immagine $f(x)$, ossia $f$ deve essere iniettiva.

Definizione: funzione inversa

Data una funzione iniettiva $f:A\to B$, si chiama funzione inversa di $f$ la funzione

$$f^{-1}:\text{rng}(f)\to A$$

definita dalla relazione

$$\forall x\in A,\forall y\in \text{rng}(f)(x=f^{-1}(y)⟺y=f(x))$$

La funzione $f$ è detta invertibile su $A$.

1 - Monotonia e invertibilità di funzioni

Proposizione sulla monotonia e invertibilità di funzioni

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un intervallo $I\subseteq \text{dom}(f)$:

• Se $f$ è strettamente crescente su $I$, allora $f$ è invertibile su $I$ e la sua inversa $f^{-1}$ è strettamente crescente su $f(I)$.
• Se $f$ è strettamente decrescente su $I$, allora $f$ è invertibile su $I$ e la sua inversa $f^{-1}$ è strettamente decrescente su $f(I)$.

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Matematica Discreta & Algebra (parte 1) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Proff. Chen Yu e Terracini Lea, lezioni in aula.
  • Corso di Matematica Discreta, Algebra e Geometria - parte di Algebra Lineare & Geometria (parte 2) - canale C, A.A. 2023-24 (pagina Moodle):
    • Prof. Radeschi Marco, lezioni in aula.
  • Corso di Logica Matematica, A.A. 2022-23 (pagina Moodle):
    • Proff. Andretta Alessandro, Motto Ros Luca e Viale Matteo, slide:
      • 2.3 - Funzioni.
• 📚 Walter Dambrosio, Analisi matematica - Fare e comprendere, Zanichelli, 2018 (ISBN: 9788808220745):
  • Parte I - I concetti dell’analisi matematica:
    • Capitolo 1 - Funzioni e modelli:
      • 1 - Funzioni e grafici:
        • 1.2 - Funzione composta e funzione inversa.
        • 1.3 - Proprietà globali di una funzione su un intervallo.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 2 - Funzioni:
    • 1 - Nozioni preliminari.