Topologia dei reali

Premessa

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1 - Intorni

Definizione: intorno di un punto

Dato un punto $x_0\in \mathbb{R}$ e un $r>0$, si chiama intorno di centro $x_0$ e raggio $r$ l’intervallo aperto

$$\begin{array}{rl}(x_0-r,x_0+r)& =\{x\in \mathbb{R}\mid x_0-r<x<x_0+r\}\\ & =\{x\in \mathbb{R}\mid -r<x-x_0<r\}\\ & =\{x\in \mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\}\end{array}$$

ossia l’insieme di tutti e soli i punti di $\mathbb{R}$ aventi distanza da $x_0$ minore di $r$.

Si chiama intorno destro di $x_0$ di raggio $r$ l’intervallo aperto $(x_0,x_0+r)$.

Si chiama intorno sinistro di $x_0$ di raggio $r$ l’intervallo aperto $(x_0-r,x_0)$.

Definizione: intorno di un infinito

Dato un $a\in \mathbb{R}$:

• L’intorno di $+\infty$ è l’intervallo aperto $(a,+\infty )$.
• L’intorno di $-\infty$ è l’intervallo aperto $(-\infty ,a)$.
  

Definizione: punto interno

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in A$, quest’ultimo è un punto interno ad $A$ se esite un intorno $I$ di $x_0$ tale che $I\subseteq A$.

Definizione: parte interna di un insieme

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$, l’insieme dei suoi punti interni viene detto parte interna di $A$ e si indica con "$\text{int}(A)$".

Proposizione: punti interni di $[a,b]$ sono $(a,b)$

Dato un intervallo chiuso $A=[a,b]$, i punti interni di $A$ sono tutti e soli i punti dell’intervallo aperto $(a,b)$.

Dimostrazione

Dato un $x_0\in (a,b)$, cioè $a<x_0<b$, consideriamo $0<r<\min \{x_0-a,b-x_0\}$ e l’intorno $I_r=(x_0-r,x_0+r)$. Dobbiamo dimostrare che $I_r\subseteq A$.

Essendo $r<\min \{x_0-a,b-x_0\}$ si ha che

$$r<x_0-a\wedge r<b-x_0$$

Quindi se $x\in I_r$, cioè $x_0-r<x<x_0+r$, si ha che:

$$\{\begin{array}{l}x>x_0-r>x_0-x_0+a=a\\ x<x_0+r<x_0+b-x_0=b\end{array}⟹a<x<b⟹x\in A$$

Evidentemente né $a$ né $b$ sono punti interni ad $A$. Infatti, ogni intorno $I_{\delta }=(a-\delta ,a+\delta )$ di $a$, con $\delta >0$, contiene punti di $\mathbb{R}$ non appartenenti ad $A$ (ossia i punti $a-\delta <x<a$). Analogamente, ogni intorno $I_{ϵ}=(b-ϵ,b+ϵ)$ di $b$, con $ϵ>0$, contiene punti di $\mathbb{R}$ non appartenenti ad $A$ (ossia i punti $b<x<b+ϵ$).

Definizione: insieme aperto o chiuso di $\mathbb{R}$

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ abbiamo che:

• $A$ si dice aperto se ogni punto di $A$ è interno ad $A$, cioè se $\text{int}(A)=A$.
• $A$ si dice chiuso se il complementare ${\complement }_{\mathbb{R}}(A)$ di $A$ è aperto.

Per convenzione, l’insieme vuoto $\varnothing$ e l’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$ sono contemporaneamente sia aperti che chiusi.

2 - Punti isolati

Definizione: punto isolato

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in A$, diciamo che $x_0$ è un punto isolato di $A$ se esiste un intorno $I$ di $x_0$ tale che $A\cap I=\{x_0\}$.

In altri termini, $x_0$ è isolato in $A$ se l’unico punto di $A$ contenuto in un suo opportuno intorno è $x_0$ stesso.

Definizione: insieme discreto

Un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ si dice discreto se è costituito solo da punti isolati.

Esempio di punto isolato

Consideriamo l’insieme

$$A=\{x\in \mathbb{R}\mid x^4-x^2\ge 0\}$$

Il punto $x_0=0$ è un punto isolato in $A$ perché

$$\begin{array}{rl}A& =\{x\in \mathbb{R}\mid x^4-x^2\ge 0\}\\ & =(-\infty ,-1]\cup \{0\}\cup [1,+\infty )\end{array}$$

e se consideriamo l’intorno $I=(-1,1)$ di $x_0=0$ abbiamo che $A\cap I=\{0\}$.

3 - Punti di accumulazione

Definizione: punto di accumulazione

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, abbiamo che $x_0$ è un punto di accumulazione per $A$ se ogni intorno di $x_0$ contiene punti di $A$ diversi da $x_0$.

Esempio di punto di accumulazione

Dato un intervallo $A=[a,b)$, i punti di accumulazione di $A$ sono tutti e soli i punti di $[a,b]$. Infatti, consideriamo inizialmente i punti interni ad $A$, cioè i punti $x_0\in (a,b)$. Poiché $x_0$ è interno ad $A$, allora esiste un intorno $I_r=(x_0-r,x_0+r)$ tale che $I_r\subseteq A$.

Consideriamo quindi un qualunque intorno $I_{\delta }=(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ i $x_0$:

• Se $\delta \le r$, allora $I_{\delta }\subseteq I_r\subseteq A$. Poiché $I_{\delta }$ contiene punti diversi da $x_0$, allora è verificato che contiene punti di $A$ diversi da $x_0$.
• Se $\delta >r$, allora $I_r\subseteq I_{\delta }$ ed essendo $I_r\subseteq A$ si ha che $I_r\subseteq A\cap I_{\delta }$. Poiché $I_r$ contiene punti diversi da $x_0$, allora è verificato che $I_{\delta }$ contiene punti di $A$ diversi da $x_0$.

Pertanto, $x_0$ è un punto di accumulazione per $A$.

Inoltre, anche $a$ e $b$ sono punti di accumulazione per $A$: consideriamo $a$ e sia $I_r=(a-r,a+r)$ un qualunque intorno di $a$. Si ha che:

• Se $r\le b-a$, allora $A\cap I_r=[a,a+r)$.
• Se $r>b-a$, allora $A\cap I_r=[a,b)$.

In ogni caso, $I_r$ contiene punti di $A$ diversi da $a$, pertanto $a$ è un punto di accumulazione per $A$. Analogamente per $b$.

Infine dimostriamo che i punti $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ non appartenenti ad $[a,b]$ non sono di accumulazione per $A$: consideriamo inizialmente $x_0\in \mathbb{R}$ con $x_0<a$ (analogamente se $x_0>b$).

Consideriamo $r=a-x_0$ e l’intorno

$$\begin{array}{rl}{I}_r& =(x_0-r,x_0+r)\\ & =(2x_0-a,a)\end{array}$$

di $x_0$. Allora $A\cap I_r=\varnothing$, quindi $x_0$ non è un punto di accumulazione per $A$.

Se $x_0=-\infty$ (analogamente se $x_0=+\infty$) e consideriamo l’intorno $I=(-\infty ,a-1)$ di $-\infty$, allora $A\cap I=\varnothing$ e quindi $x_0=-\infty$ non è un punto di accumulazione per $A$.

Analoghe conclusioni se $A$ contiene l’altro estremo oppure non ne contiene alcuno.

Esempio

Consideriamo l’insieme

$$A=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{n}& n\in \mathbb{N},n\ge 1\end{array}\right\}$$

Determiniamo i punti di accumulazione di $A$: osserviamo che i punti di $A$ sono tutti isolati, cioè che $A$ è discreto. Infatti, se consideriamo $\frac{1}{n}\in A$, abbiamo che

$$r=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

e

$$I_r=\left(\frac{1}{n}-r,\frac{1}{n}+r\right)\subseteq \left(\frac{1}{n+1}.\frac{1}{n-1}\right)$$

L’insieme $I_r$ è un intorno di $\frac{1}{n}$ e si ha che $A\cap I_r=\left\{\frac{1}{n}\right\}$. Quindi $\frac{1}{n}$ è un punto isolato in $A$.

Evidentemente i punti isolati non sono di accumulazione.

Osserviamo che i punti $\frac{1}{n}\in A$ sono tali che

$$0<\frac{1}{n}\le 1$$

e, man mano che $n$ aumenta, questi punti sono sempre più prossimi a $0$, dato che il quoziente fra $1$ ed $n$ diventa sempre più vicino allo zero. Anche graficamente, fin dove è possibile fare il disegno, si vede che i punti $\frac{1}{n}\in A$ all’aumentare di $n$ sono sempre più vicini a $0$ e, anzi, si accumulano in un intorno destro di $0$.

da finire

Proposizione

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in A$, allora abbiamo che se $x_0$ è un punto interno ad $A$, allora $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$ ma non viceversa:

$$x_0\text{ punto interno ad }A⟹x_0\text{ punto di accumulazione di }A$$

Proposizione

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in A$, allora abbiamo che $x_0$ è un punto isolato di $A$ se e solo se non è un punto di accumulazione di $A$:

$$x_0\text{ punto isolato di }A⟺x_0\text{ non punto di accumulazione di }A$$

Proposizione

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in A$, se $x_0$ è un punto isolato di $A$ allora non è un punto interno ad $A$:

$$x_0\text{ punto isolato di }A⟹x_0\text{ non punto interno ad }A$$

4 - Frontiere

Definizione: punto di frontiera

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in \mathbb{R}$, diciamo che $x_0$ è un punto di frontiera per $A$ se per ogni intorno $I$ di $x_0$ si ha che $A\cap I\ne \varnothing$ e ${\complement }_{\mathbb{R}}(A)\cap I\ne \varnothing$.

Definizione: frontiera di un insieme

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$, la frontiera (o bordo) di $A$ è l’insieme dei punti di frontiera di $A$ e si denota con "$\text{Fr}(A)$" o "$\partial A$".

I punti di frontiera sono quei punti che “separano” l’insieme dal suo complementare. Eviden-
temente la frontiera di A coincide con quella del suo complementare.

Proposizione

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in \mathbb{R}$, allora si ha che se $x_0$ è anche in $A$ ed è un punto isolato di $A$, allora è anche un punto di frontiera di $A$:

$$x_0\in A\wedge x_0\text{ punto isolato di }A⟹x_0\text{ punto di frontiera di }A$$

Proposizione

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in \mathbb{R}$, allora si ha che se $x_0$ non è in $A$ ed è un punto di frontiera di $A$, allora è un punto di accumulazione di $A$:

$$x_0\notin A\wedge x_0\text{ punto di frontiera di }A⟹x_0\text{ punto di accumulazione di }A$$

Proposizione

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$, $A$ è un sottoinsieme dell’unione tra la parte interna e la frontiera di $A$:

$$A\subseteq \text{int}(A)\cup \partial A$$

Ossia, ogni punto $x_0\in A$ è o un punto interno o un punto di frontiera di $A$:

$$\forall x_0\in A(x_0\in \text{int}(A)\vee x_0\in \partial A)$$

Proposizione

Dato un insieme $A\subseteq \mathbb{R}$, $A$ è chiuso se e solo se $\partial A\subseteq A$:

$$A\text{ chiuso}⟺\partial A\subseteq A$$

In tal caso, si ha che $A$ è dato dall’unione tra la parte interna e la frontiera di $A$:

$$A=\text{int}(A)\cup \partial A$$

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Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 1 - Topologia di $\mathbb{R}$.