Forme indeterminate

Premessa

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Definizione: forma indeterminata

Una forma indeterminata è un’espressione in cui i valori dei limiti dipendono dalle funzioni di cui è composta. Essa possono essere algebriche o esponenziali.

1 - Forme indeterminate algebriche

Definizione: forma indeterminata algebrica

Una forma indeterminata si dice algebrica se è data dal contrasto tra infiniti o infinitesimi legati da un’operazione algebrica.

Le forme indeterminate algebrica sono del tipo $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$ e $0\cdot \infty$.

1.1 - Tipo $\frac{0}{0}$

Definizione: forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{0}{0}$

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $g(x)\ne 0$ su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$, si dice che il limite

${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$

presenta una forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{0}{0}$ se

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0\wedge {\lim }_{x\to x_0}g(x)=0$

Il limite non ha un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ determinabile dalla sola conoscenza dei limiti di $f$ e $g$, poiché il risultato dipende dal comportamento specifico delle due funzioni su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.

1.2 - Tipo $\frac{\infty }{\infty }$

Definizione: forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{\infty }{\infty }$

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $g(x)\ne 0$ su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$, si dice che il limite

${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$

presenta una forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{\infty }{\infty }$ se

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\pm \infty \wedge {\lim }_{x\to x_0}g(x)=\pm \infty$

Il limite non ha un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ determinabile dalla sola conoscenza dei limiti di $f$ e $g$, poiché il risultato dipende dal comportamento specifico delle due funzioni su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.

1.3 - \infty$

Definizione: forma indeterminata algebrica del tipo $\infty -\infty$

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, si dice che il limite

${\lim }_{x\to x_0}(f(x)-g(x))$

presenta una forma indeterminata algebrica del tipo $\infty -\infty$ se

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\pm \infty \wedge {\lim }_{x\to x_0}g(x)=\pm \infty$

Il limite non ha un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ determinabile dalla sola conoscenza dei limiti di $f$ e $g$, poiché il risultato dipende dal comportamento specifico delle due funzioni su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.

1.4 - Tipo $0\cdot \infty$

Definizione: forma indeterminata algebrica del tipo $0\cdot \infty$

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, si dice che il limite

${\lim }_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))$

presenta una forma indeterminata algebrica del tipo $0\cdot \infty$ se

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0\wedge {\lim }_{x\to x_0}g(x)=\pm \infty$

Il limite non ha un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ determinabile dalla sola conoscenza dei limiti di $f$ e $g$, poiché il risultato dipende dal comportamento specifico delle due funzioni su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.

2 - Forme indeterminate esponenziali

Definizione: forma indeterminata esponenziale

Una forma indeterminata si dice esponenziale se è data dal contrasto tra basi ed esponenti i cui limiti tendono a valori critici che generano un conflitto di tendenze.

Le forme indeterminate esponenziali sono del tipo $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ e $0^0$.

2.1 - Tipo $1^{\infty }$

Definizione: forma indeterminata esponenziale del tipo $1^{\infty }$

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, si dice che il limite

${\lim }_{x\to x_0}(f(x{)}^{g(x)})$

presenta una forma indeterminata esponenziale del tipo $1^{\infty }$ se

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=1\wedge {\lim }_{x\to x_0}g(x)=\pm \infty$

Il limite non ha un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ determinabile dalla sola conoscenza dei limiti di $f$ e $g$, poiché il risultato dipende dal comportamento specifico delle due funzioni su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.

Osservazione: condizioni di esistenza della base di $1^{\infty }$ e di ${\infty }^0$

Di solito, per l’esistenza stessa della funzione potenza $f(x{)}^{g(x)}$ nel campo reale, si richiede implicitamente che $f(x)>0$ in un intorno di $x_0$.

Nel caso delle forme indeterminate esponenziali del tipo $1^{\infty }$ e ${\infty }^0$, poiché il limite di $f(x)$ è rispettivamente $1$ e $+\infty$, il teorema della permanenza del segno e il suo corollario ci garantiscono matematicamente che $f(x)>0$ per tutte le $x$ abbastanza vicine a $x_0$. In questi casi, quindi, non c’è bisogno di specificare questa condizione nelle ipotesi iniziali.

2.2 - Tipo ${\infty }^0$

Definizione: forma indeterminata esponenziale del tipo ${\infty }^0$

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, si dice che il limite

${\lim }_{x\to x_0}(f(x){)}^{g(x)}$

presenta una forma indeterminata esponenziale del tipo ${\infty }^0$ se

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=+\infty \wedge {\lim }_{x\to x_0}g(x)=0$

Il limite non ha un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ determinabile dalla sola conoscenza dei limiti di $f$ e $g$, poiché il risultato dipende dal comportamento specifico delle due funzioni su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.

2.3 - Tipo $0^0$

Definizione: forma indeterminata esponenziale del tipo $0^0$

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, si dice che il limite

${\lim }_{x\to x_0}(f(x){)}^{g(x)}$

presenta una forma indeterminata esponenziale del tipo $0^0$ se

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0^{+}\wedge {\lim }_{x\to x_0}g(x)=0$

Il limite non ha un valore $l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ determinabile dalla sola conoscenza dei limiti di $f$ e $g$, poiché il risultato dipende dal comportamento specifico delle due funzioni su $(A\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.

Osservazione: condizioni di esistenza della base di $0^0$

A differenza di quanto avviene per le forme indeterminate esponenziali del tipo $1^{\infty }$ e ${\infty }^0$, nel caso della forma indeterminata esponenziale del tipo $0^0$, poiché il limite della base è $0$, il teorema della permanenza del segno non è applicabile e non assicura che $f(x)$ sia positiva. Pertanto, per questa specifica forma, è strettamente necessario imporre per ipotesi che $f(x)>0$ in un intorno di $x_0$, oppure scrivere esplicitamente che $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0^{+}$ (cioè come abbiamo fatto noi nella definizione).

3 - Limiti con forme indeterminate

3.1 - Limiti all’infinito di un polinomio

Teorema dei limiti all'infinito di un polinomio

Dato un polinomio $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ di grado $n\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$, allora

$$\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }P(x)=\{\begin{array}{ll}+\infty & \text{se }{a}_n>0\\ -\infty & \text{se }{a}_n<0\end{array}\\ \underset{x\to -\infty }{\lim }P(x)=\{\begin{array}{ll}+\infty & \text{se }{a}_n>0\wedge n\text{ eˋ pari}\\ -\infty & \text{se }{a}_n>0\wedge n\text{ eˋ dispari}\\ -\infty & \text{se }{a}_n<0\wedge n\text{ eˋ pari}\\ +\infty & \text{se }{a}_n<0\wedge n\text{ eˋ dispari}\end{array}\end{array}$$

Questi limiti presentano forme indeterminate algebriche del tipo $\infty -\infty$.

Trucco: è sufficiente osservare il termine di grado massimo

Osservando il teorema si può evincere che i limiti all’infinito di un polinomio dipendono esclusivamente dal termine di grado massimo e sono $+\infty$ o $-\infty$, quindi è sufficiente solo determinare a cosa tende il termine di grado massimo.

3.2 - Limiti all’infinito di una funzione razionale fratta

Teorema dei limiti all'infinito di una funzione razionale fratta

Dati due polinomi $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ e $Q(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_0$ di grado rispettivamente $n\in \mathbb{N}$ e $m\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$, allora

$$\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}=\{\begin{array}{ll}+\infty & \text{se }n>m\wedge \frac{a_n}{b_m}>0\\ -\infty & \text{se }n>m\wedge \frac{a_n}{b_m}<0\\ \frac{a_n}{b_m}& \text{se }n=m\\ 0& \text{se }n<m\end{array}\\ \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}=\{\begin{array}{ll}+\infty & \text{se }n>m\wedge n-m\text{ eˋ pari }\wedge \frac{a_n}{b_m}>0\\ -\infty & \text{se }n>m\wedge n-m\text{ eˋ dispari }\wedge \frac{a_n}{b_m}>0\\ -\infty & \text{se }n>m\wedge n-m\text{ eˋ pari }\wedge \frac{a_n}{b_m}<0\\ +\infty & \text{se }n>m\wedge n-m\text{ eˋ dispari }\wedge \frac{a_n}{b_m}<0\\ \frac{a_n}{b_m}& \text{se }n=m\\ 0& \text{se }n<m\end{array}\end{array}$$

Questi limiti presentano forme indeterminate algebriche del tipo $\frac{\infty }{\infty }$.

Trucco per i limiti all'infinito di una funzione razionale fratta

Osservando il teorema si può evincere che i limiti all’infinito di una funzione razionale fratta dipendono esclusivamente dal termine di grado massimo di numeratore e denominatore. In particolare:

• $\text{grado num.}>\text{grado den.}⟹\text{limite}=\pm \infty$,
• $\text{grado num.}<\text{grado den.}⟹\text{limite}=0$ e
• $\text{grado num.}=\text{grado den.}⟹\text{limite = quoziente termini di grado massimo}$.

3.3 - Limiti in un punto finito di una funzione razionale fratta

Teorema dei limiti in un punto finito di una funzione razionale fratta

Dati un punto $x_0\in \mathbb{R}$ e due polinomi $P(x)=(x-x_0{)}^{n}R(x)$ e $Q(x)=(x-x_0{)}^{m}S(x)$ con $n,m\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$ e $R(x),S(x)$ due polinomi tali che $R(x_0),S(x_0)\ne 0$, allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{(x-x_0{)}^{n}R(x)}{(x-x_0{)}^{m}S(x)}=\{\begin{array}{ll}0& \text{se }n>m\\ \frac{R(x_0)}{S(x_0)}& \text{se }n=m\\ +\infty & \text{se }n<m\wedge m-n\text{ eˋ pari }\wedge \frac{R(x_0)}{S(x_0)}>0\\ -\infty & \text{se }n<m\wedge m-n\text{ eˋ pari }\wedge \frac{R(x_0)}{S(x_0)}<0\\ \nexists & \text{se }n<m\wedge m-n\text{ eˋ dispari}\end{array}$$

Questo limite presenta una forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{0}{0}$.

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Fonti

• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 3 - Teoremi su limiti e continuità:
      • 3.4 - Forme indeterminate di tipo algebrico.
      • 3.8 - Limiti notevoli.