Proprietà locali delle funzioni continue

Premessa

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Teorema di limitatezza locale

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, se esiste un limite

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}$$

allora esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f$ è limitata su $(\text{dom}(f)\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.

Teorema della permanenza del segno

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, se esiste un limite

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$$

allora:

• Se $l>0$ oppure $l=+\infty$ allora $f(x)>0$ vale definitivamente per $x\to x_0$.
• Se $l<0$ oppure $l=-\infty$ allora $f(x)<0$ vale definitivamente per $x\to x_0$.
  

Osservazione: significato del teorema della permanenza del segno

Il teorema della permanenza del segno ci dice che, dato un certo limite con valore, se $l$ è positivo allora ci sarà sicuramente un qualche intorno per cui $f(x)$ assume valori strettamente positivi, mentre se $l$ è negativo allora ci sarà sicuramente un qualche intorno per cui $f(x)$ assume valori strettamente negativi.

Per esempio, il limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }(x+3)$$

vale $3$ che è positivo. Ciò significa che, nelle vicinanze di $x=0$, per esempio nell’intorno $(-1,1)$, avremo che $f(x)$ assumerà valori strettamente positivi: ciò è vero perché nell’intorno $(-1,1)$ il valore di $f(x)$ varierà tra $(-1+3,1+3)=(2,4)$, ossia assumerà sempre valori strettamente positivi.

Però attenzione: non è detto che la funzione sia positiva ovunque, magari per $x$ molto lontano da $x_0$ cambia segno (es. nell’intorno $(-5,5)$ quando $x=-4$ avremo che $f(x)=-1$), cioè il teorema garantisce il segno solo vicino al punto $x_0$.

Dimostrazione del teorema della permanenza del segno

Dimostriamo il teorema della permanenza del segno.

Prendiamo il caso in cui $l>0$: per ipotesi abbiamo che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$$

ossia, sfruttando la definizione alternativa di limite finito al finito,

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.(0<|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-l|<\epsilon )$$

Dato che $l>0$, possiamo porre $\epsilon =\frac{l}{2}$. Possiamo quindi riscrivere la formula di sopra come

$$\begin{array}{c}\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(0<|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-l|<\frac{l}{2}\right)\\ \Updownarrow \\ \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(0<|x-x_0|<\delta ⟹-\frac{l}{2}<f(x)-l<\frac{l}{2}\right)\\ \Updownarrow \\ \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in \mathbb{R}.\left(0<|x-x_0|<\delta ⟹\frac{l}{2}<f(x)<\frac{3}{2}l\right)\end{array}$$

Possiamo notare che $f(x)$ allora assumerà sempre valori strettamente positivi (perché è compresa tra $\frac{l}{2}$ e $\frac{3}{2}l$ con $l>0$), quindi ciò sarò vero definitivamente per $x\to x_0$.

Corollario del teorema della permanenza del segno

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, se esiste un limite

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}$$

allora:

• Se $f(x)\ge 0$ allora $l\ge 0$ vale definitivamente per $x\to x_0$.
• Se $f(x)\le 0$ allora $l\le 0$ vale definitivamente per $x\to x_0$.
  

Osservazione: significato del corollario del teorema della permanenza del segno

Questo corollario è in un certo senso il “contrario” del teorema della permanenza del segno, perché qua anziché partire dal segno del limite $l$ per dedurre il segno della funzione $f(x)$ facciamo il contrario.

In parole povere, se una funzione è sempre (almeno nei dintorni di $x_0$) positiva, allora anche il limite sarà positivo. Viceversa, se una funzione è sempre (almeno nei dintorni di $x_0$) negativa, allora anche il limite sarà negativo.

Per esempio, il limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }(x+5)$$

vale $5$ che è positivo. Ciò significa che, nelle vicinanze di $x=0$, per esempio nell’intorno $(-1,1)$, dato che $f(x)$ assume sempre valori positivi (perché oscilla tra $4$ e $6$), allora anche il limite sarà positivo (e infatti vale $5$ che è positivo).

Anche qui non è detto che il limite sia positivo ovunque, magari per $x$ molto lontano da $x_0$ cambia segno (es. nell’intorno $(-15,15)$ quando $x=-10$ avremo che $f(x)=-5$, quindi osservando solo questo intorno e non altri più “piccoli” non possiamo dedurre con certezza che segno avrà il limite), cioè il corollario garantisce il segno solo vicino al punto $x_0$.

Osservazione: funzione strettamente positiva o negativa

Se modificassimo l’enunciato del corollario del teorema della permanenza del segno ipotizzando che $f(x)$ sia strettamente positiva o strettamente negativa, allora la tesi rimarrebbe comunque che il limite è positivo o negativo:

$$\begin{array}{c}f(x)>0⟹l\ge 0\text{ vero definitivamente per }x\to x_0\\ f(x)<0⟹l\le 0\text{ vero definitivamente per }x\to x_0\end{array}$$

Per esempio, il limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2$$

vale $0$ anche se $f(x)$ assumerà sempre e solo valori strettamente positivi e mai $0$ (eccetto per $x=0$ stesso).

Dimostrazione del corollario del teorema della permanenza del segno

Dimostriamo il corollario del teorema della permanenza del segno.

Prendiamo il caso in cui $f(x)\ge 0$: dobbiamo dimostrare che $l\ge 0$ vale definitivamente per $x\to x_0$:

$$f(x)\ge 0⟹l\ge 0$$

Per contrapposizione, possiamo riscrivere questa proposizione logica come

$$l<0⟹f(x)<0$$

Per il teorema della permanenza del segno abbiamo che vale questa implicazione.

Stesso discorso per il caso $f(x)\le 0$: dobbiamo dimostrare che $l\le 0$ vale definitivamente per $x\to x_0$:

$$f(x)\le 0⟹l\le 0$$

Per contrapposizione, possiamo riscrivere questa proposizione logica come

$$l>0⟹f(x)>0$$

e anche questo vale per il teorema della permanenza del segno.

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L8a.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 3 - Teoremi su limiti e continuità:
      • 3.1 - Proprietà locali.