Limiti delle funzioni composte

Premessa

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Teorema del limite della funzione composta

Date due funzioni

$$\begin{array}{c}f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}\\ g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}\end{array}$$

con $\text{rng}(f)\subseteq \text{dom}(g)$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$:

1. se esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ e $y_0$ è un punto di accumulazione per $\text{dom}(g)$,
2. se $y_0\in \mathbb{R}$, supponiamo che $y_0\in \text{dom}(g)$ e che $g$ sia continua in $y_0$ con $g(y_0)=l\in \mathbb{R}$ e
3. se $y_0=\pm \infty$, supponiamo che esista il limite $\underset{y\to y_0}{\lim }g(y)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$,

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(g\circ f)(x)=l$$

Teorema del limite della funzione composta continua

Date due funzioni

$$\begin{array}{c}f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}\\ g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}\end{array}$$

con $\text{rng}(f)\subseteq \text{dom}(g)$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$:

1. se esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ e $y_0$ è un punto di accumulazione per $\text{dom}(g)$,
2. se esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }g(y)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ e
3. se esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f(x)\ne y_0$ per ogni $x\in (\text{dom}(f)\cap I(x_0)=\setminus \{x_0\}$,

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(g\circ f)(x)=l$$

Proposizione: limiti di funzioni pari o dispari

Data una funzione pari (o dispari) $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di acucmulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, allora si ha che

$$\begin{array}{c}f\text{ pari}⟹\underset{x\to -x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\\ f\text{ dispari}⟹\underset{x\to -x_0}{\lim }f(x)=-\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\end{array}$$

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Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 2 - Limiti di funzioni:
      • 2.2 - Limiti laterali.
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 3 - Teoremi su limiti e continuità:
      • 3.7 - Limiti delle funzioni composte.