Limiti delle funzioni composte

Premessa

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Teorema del limite della funzione composta

Date due funzioni $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}$ con $\text{rng}(f)\subseteq \text{dom}(g)$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$:

1. se esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ e $y_0$ è un punto di accumulazione per $\text{dom}(g)$,
2. se $y_0\in \mathbb{R}$, supponiamo che $y_0\in \text{dom}(g)$ e che $g$ sia continua in $y_0$ con $g(y_0)=l\in \mathbb{R}$ e
3. se $y_0=\pm \infty$, supponiamo che esista il limite $\underset{y\to y_0}{\lim }g(y)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$,

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(g\circ f)(x)=l$$

Teorema del limite della funzione composta continua

Date due funzioni

$$\begin{array}{c}f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}\\ g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}\end{array}$$

con $\text{rng}(f)\subseteq \text{dom}(g)$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$:

1. se esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ e $y_0$ è un punto di accumulazione per $\text{dom}(g)$,
2. se esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }g(y)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ e
3. se esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f(x)\ne y_0$ per ogni $x\in (\text{dom}(f)\cap I(x_0)=\setminus \{x_0\}$,

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(g\circ f)(x)=l$$

Proposizione: limiti di funzioni pari o dispari

Data una funzione pari (o dispari) $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, allora si ha che

$$\begin{array}{c}f\text{ pari}⟹\underset{x\to -x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\\ f\text{ dispari}⟹\underset{x\to -x_0}{\lim }f(x)=-\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\end{array}$$

Proposizione: continuità della funzione composta

Date due funzioni $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}$ con $\text{rng}(f)\subseteq \text{dom}(g)$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, se $f$ è continua in $x_0$ e $g$ è continua in $f(x_0)$, allora la loro composizione $f\circ g$ è anch’essa continua in $x_0$.

Esempio di continuità della funzione composta

• $\sin x^2=\sin x\circ x^2$ è continua su $\mathbb{R}$ perché sia $\sin x$ che $x^2$ sono continue in $\mathbb{R}$
• $\sqrt{\cos x}=\sqrt{x}\circ \cos x$ è continua su $\bigcup _{k\in \mathbb{N}}\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ perché $\sqrt{x}$ è continua su $[0,+\infty )$ e $\cos x$ su $\bigcup _{k\in \mathbb{N}}\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$:
  • $[0,+\infty )\cap \mathbb{R}=[0,+\infty )$
• $\sin (e^{x^2}+\sqrt{\cos x})$:
  • $\sqrt{\cos x}$ è continua su $\bigcup _{k\in \mathbb{N}}\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$
  • $e^{x^2}$ è continua su $\mathbb{R}$
  • $\sin x$ è continua su $\mathbb{R}$
  • la funzione è continua su $\bigcup _{k\in \mathbb{N}}\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L9a.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 2 - Limiti di funzioni:
      • 2.2 - Limiti laterali.
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 3 - Teoremi su limiti e continuità:
      • 3.7 - Limiti delle funzioni composte.