Proprietà globali delle funzioni continue

Premessa

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Dopo aver studiato le proprietà locali delle funzioni continue, ora ci occupiamo delle proprietà globali, cioè di quelle proprietà che coinvolgono tutto il dominio e non solo l’intorno di un punto.

Teorema degli zeri

Data una funzione continua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tale che $f(a)\cdot f(b)<0$ (cioè $f(a)$ e $f(b)$ sono discordi), allora esiste un punto $x_0\in (a,b)$ tale che $f(x_0)=0$.

Inoltre, se $f$ è strettamente monotona, allora questo punto $x_0$ è unico.

Osservazione: significato del teorema degli zeri

Il teorema degli zeri asserisce che se $f$ è continua sull’intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ e negli estremi assume valori discordi allora ammette almeno uno zero, cioè un punto in cui si annulla (ossia in cui $f(x)$ vale $0$). Il teorema non dice quanti ce ne sono (a meno che $f$ non sia strettamente monotona, in quel caso sicuramente ce n’è uno e uno solo) enon ci dice chi sono.

Corollario del teorema degli zeri

Dato un intervallo $I\subseteq \mathbb{R}$ e una funzione continua $f:I\to \mathbb{R}$, se $f$ ammette limiti per $x$ che tende agli estremi dell’intervallo $I$ e questi limiti hanno segni opposti, allora esiste un punto $x_0\in I$ tale che $f(x_0)=0$.

Inoltre, se $f$ è strettamente monotona, allora questo punto $x_0$ è unico.

Teorema dei valori intermedi

Una funzione continua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$, non necessariamente in questo ordine.

In altri termini, l’intervallo chiuso avente per estremi $f(a)$ e $f(b)$ è contenuto in $\text{rng}(f)$.

Corollario 1 del teorema dei valori intermedi

Dato un intervallo $I\subseteq \mathbb{R}$ e una funzione continua $f:I\to \mathbb{R}$, allora $f(I)=\text{rng}(f)$ è un intervallo.

Corollario 2 del teorema dei valori intermedi

Data una funzione continua e monotona $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, si ha che:

• se $f$ è crescente, allora $\text{rng}(f)=[f(a),f(b)]$ e
• se $f$ è decrescente, allora $\text{rng}(f)=[f(b),f(a)]$.
  

Corollario 3 del teorema dei valori intermedi

Data una funzione continua e monotona $f:[a,b)\to \mathbb{R}$, si ha che:

• se $f$ è crescente, allora $\text{rng}(f)=\left[f(a),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)\right)$ e
• se $f$ è decrescente, allora $\text{rng}(f)=\left(\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x),f(a)\right]$.
  

Lemma delle successioni minimizzanti e massimizzanti

Dato un sottoinsieme non vuoto $A\subseteq \mathbb{R}$, esistono due successioni $(x_n)$ e $(y_n)$ in $A$ tali che

$$\underset{n}{\lim }{x}_n=\inf A\wedge \underset{n}{\lim }{y}_n=\sup A$$

La successione $(x_n)$ è detta successione minimizzante e la successione $(y_n)$ è detta successione massimizzante.

Teorema di Weierstrass

Una funzione continua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ assume minimo e massimo, cioè esistono due valori

$$m=\underset{[a,b]}{\min }f\wedge M=\underset{[a,b]}{\max }f$$

In particolare, esistono due punti $x_m,x_M\in [a,b]$ tali che

$$\begin{array}{c}f(x_m)=m=\underset{[a,b]}{\min }f\\ f(x_M)=M=\underset{[a,b]}{\max }f\end{array}$$

Inoltre, chiaramente, $\text{rng}(f)=[m,M]$.

Teorema di monotonia per funzioni continue iniettive

Dato un intervallo $I\subseteq R$ e una funzione continua $f:I\to \mathbb{R}$, quest’ultima è iniettiva se e solo se è strettamente monotona.

Teorema sulla continuità della funzione inversa

Dati due intervalli $I,J\subseteq \mathbb{R}$ e una funzione continua e invertibile $f:I\to J$, la sua inversa $f^{-1}:J\to I$ è anch’essa continua.

1 - Funzioni uniformemente continue

Definizione: funzione uniformemente continua

Data una funzione $f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$), diciamo che $f$ è uniformemente continua in $A$ se, per ogni $\epsilon >0$, esiste un $\delta >0$ tale che, per ogni $x,x_0\in A$ con $|x-x_0|<\delta$, si ha che $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$:

$$\begin{array}{c}\text{f eˋ uniformemente continua in A}\\ \Updownarrow \\ \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x,x_0\in A(|x-x_0|<\delta ⟹|f(x)-f(x_0)|<\epsilon )\end{array}$$

Osservazione: affinità e divergenze tra continuità uniforme e continuità

La nozione di funzione uniformemente continua è simile a quella di funzione continua, ma si differenziano per i seguenti motivi:

• La continuità uniforme è una proprietà globale, mentre la continuità è una proprietà locale.
• Nella continuità uniforme $\delta$ dipende solo da $\epsilon$.

Teorema di regolarità della continuità uniforme

Se una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ è uniformemente continua, allora è anche continua.

Teorema di Heine-Cantor

Se una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ è continua, allora è anche uniformemente continua in $[a,b]$.

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Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 6 - Proprietà globali delle funzioni continue:
      • 6.1 - Funzioni uniformemente continue.