Asintoti obliqui

Premessa

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Dopo aver definito gli asintoti verticali e quelli orizzontali, ora vediamo quelli obliqui.

Definizione: asintoto obliquo

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ con $\text{dom}(f)$ illimitato superiormente (o inferiormente) e dati $m,q\in \mathbb{R}$ con $m\ne 0$, diciamo che la retta $y=mx+q$ è un asintoto obliquo destro per $x\to +\infty$ (o sinistro per $x\to -\infty$) per $f$ se

$$f(x)=mx+q+o(1)$$

Se la retta $y=mx+q$ è contemporaneamente sia un asintoto obliquo destro, sia un asintoto obliquo sinistro, diciamo che più semplicemente la retta $y=mx+q$ è un asintoto obliquo per $f$.

Teorema di caratterizzazione degli asintoti obliqui

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ con $\text{dom}(f)$ illimitato superiormente (o inferiormente) e dati $m,q\in \mathbb{R}$ con $m\ne 0$, la retta $y=mx+q$ è un asintoto obliquo destro (o sinistro) se e solo se

1. $f$ è un infinito per $x\to +\infty$ (o per $x\to -\infty$):

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$$

2. $f$ è un infinito di ordine $1$ rispetto all’infinito campione $u(x)=|x|$ per $x\to +\infty$ (o per $x\to -\infty$):

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{|x|}=m$$

3. Vale il seguente limite:

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(f(x)-mx\right)=q$$

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Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 4 - Confronto locale fra funzioni:
      • 4.4 - Asintoti obliqui.