Infiniti e infinitesimi

Premessa

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Definizione: infinito e infinitesimo

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, diciamo che:

• $f$ è un infinitesimo in $x_0$ (o per $x$ che tende a $x_0$) se $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$$
• $f$ è un infinito in $x_0$ (o per $x$ che tende a $x_0$) se $$\underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)|=+\infty$$

Esempi di infiniti e infinitesimi

Ecco alcuni esempi di infiniti e infinitesimi:

• La funzione $f(x)=x^n$ con $n\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$ è un infinitesimo per $x\to 0$ e un infinitesimo per $x\to \pm \infty$.
• La funzione $f(x)=\frac{1}{x^n}$ con $n\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$ è un infinito per $x\to 0$ e un infinitesimo per $x\to \pm \infty$.
• La funzione $f(x)=e^x$ è un infinitesimo per $x\to -\infty$ e un infinito per $x\to +\infty$.
• La funzione $f(x)=\ln x$ è un infinito per $x\to 0^{+}$ e per $x\to +\infty$ e un infinitesimo per $x\to 1$.

Proposizione: rapporto tra infiniti e infinitesimi

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, se in ogni intorno $I(x_0)$ di $x_0$ esiste un $x\in \text{dom}(f)\setminus \{x_0\}$ tale che $f(x)\ne 0$, allora $f$ è un infinitesimo in $x_0$ se e solo se $\frac{1}{f}$ è un infinito in $x_0$:

$$f\text{ infinitesimo in }{x}_0⟺\frac{1}{f}\text{ infinito in }{x}_0$$

1 - Simboli di Landau

Introduciamo ora delle nozioni che ci permettono di confrontare localmente le funzioni, cioè in un intorno di un punto. Poiché la nozione locale più generale che conosciamo è quella del limite, tutte queste nozioni che introdurremo si baseranno su di essa, anzi non saranno altro che un modo diverso di scrivere l’operazione di limite. Faremo ciò attraverso quelli che vengono chiamati simboli di Landau.

Definizione: simboli di Landau

I simboli di Landau (o notazione asintotica) sono un linguaggio formale per confrontare il comportamento di due funzioni in prossimità di un punto (finito o infinito). Non descrivono il valore di una funzione, ma la sua velocità di crescita relativa rispetto a un’altra.

I simboli di Landau sono l’$o$-piccolo, l’$O$-grande, il $\Theta$-grande e l’equivalenza asintotica $\sim$ e prendono il nome dal matematico tedesco Edmund Landau che li ha ideati e formalizzati.

1.1 - $o$-piccolo

Definizione: $o$-piccolo

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, diciamo che $f$ è $o$-piccolo di $g$ per $x$ che tende a $x_0$ se

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$$

e in tal caso scriviamo ”$f=o(g)$ per $x\to x_0$” (oppure ”$f(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0$”).

L’$o$-piccolo è uno dei simboli di Landau.

Osservazione: nell' $o$-piccolo $g$ non identicamente nulla

Affinché l’$o$-piccolo sia ben definito (e cioè, affinché possa esistere il limite), è necessario che la funzione $g$ non sia identicamente nulla in alcun intorno bucato $I(x_0)$ di $x_0$ intersecato con $A$:

$$\begin{array}{c}f=o(g)\text{ per }x\to x_0\\ \Downarrow \\ g\text{ non identicamente nulla per ogni }(I(x_0)\cap A)\setminus \{x_0\}\end{array}$$

Ciò garantisce che il rapporto $\frac{f}{g}$ sia definito in un insieme di punti che si accumula su $x_0$, permettendoci così di fare affermazioni sensate sul suo comportamento asintotico.

Esempio: $x^2=o(x)$ per $x\to 0$ e $x=o(x^2)$ per $x\to \pm \infty$

Si ha che $x^2$ è $o$-piccolo di $x$ per $x\to 0$, infatti

$$\begin{array}{c}{x}^2=o(x)\text{ per }x\to 0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }x=0\end{array}$$

E si ha anche che $x$ è $o$-piccolo di $x^2$ per $x\to \pm \infty$, infatti

$$\begin{array}{c}x=o(x^2)\text{ per }x\to \pm \infty \\ \Updownarrow \\ \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x}{x^2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0\end{array}$$

Esempio: $\sin x=o(\sqrt{x})$ per $x\to 0^{+}$

Si ha che $\sin x$ è $o$-piccolo di $\sqrt{x}$ per $x\to 0^{+}$, infatti

$$\begin{array}{c}\sin x=o(\sqrt{x})\text{ per }x\to 0^{+}\\ \Updownarrow \\ \begin{array}{rl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{\sqrt{x}}& =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\cdot \frac{x}{x}\right)\\ & =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\underset{=1}{\underbrace{\frac{\sin x}{x}}}\cdot \underset{=0}{\underbrace{\sqrt{x}}}\right)\\ & =0\end{array}\end{array}$$

Quel $\underset{=1}{\underbrace{\frac{\sin x}{x}}}$ è dovuto al limite notevole del seno tendente a $0$.

Si ha anche che $\sin x$ è $o$-piccolo di $\sqrt{x}$ per $x\to +\infty$ perché

$$\begin{array}{c}\sin x=o(\sqrt{x})\text{ per }x\to +\infty \\ \Updownarrow \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\underset{\text{eˋ limitata}}{\underbrace{\sin x}}\cdot \underset{=0}{\underbrace{\frac{1}{\sqrt{x}}}}\right)=0\end{array}$$

Esempio: $o$-piccolo tra $x^p$ e $x^q$

Si ha che $x^p$ è $o$-piccolo di $x^q$ per $x\to +\infty$ se $0<p<q$:

$$\forall 0<p<q.(x^p=o(x^q)\text{ per }x\to +\infty )$$

Si ha anche che $x^p$ è $o$-piccolo di $x^q$ per $x\to 0^{+}$ se $0<q<p$

$$\forall 0<q<p.(x^p=o(x^q)\text{ per }x\to 0^{+})$$

1.1.1 - Proprietà dell’$o$-piccolo

Proprietà: transitività di $o$-piccolo

Vale la proprietà transitiva per $o$-piccolo: se $f=o(g)$ e $g=o(h)$ per un certo $x\to x_0$, allora vale anche $f=o(h)$ per $x\to x_0$, infatti

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{h(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{f(x)}{h(x)}\cdot \frac{g(x)}{g(x)}\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\underset{=0}{\underbrace{\frac{f(x)}{g(x)}}}\cdot \underset{=0}{\underbrace{\frac{g(x)}{h(x)}}}\right)=0$$

Attenzione: abuso di notazione nei simboli di Landau

Nella notazione di $o$-piccolo $f=o(g)$, il simbolo $=$ NON è un’uguaglianza di fatto tra funzioni, ma sta solo ad indicare una proprietà qualitativa di $f$ rispetto a $g$.

Non è quindi applicabile la proprietà transitiva dell’uguaglianza, cioè

$$f=o(g)\wedge h=o(g)/⟹f=h$$

Infatti, $x^2=o(x)$ e $x^3=o(x)$ ma $x^2\ne x^3$.

Proposizione: $o$-piccolo di se stesso

Data una funzione $f$, l’$o$-piccolo di $f$ è $o$-piccolo di $f$ per $x\to x_0$ (che può sembrare uno scioglilingua, ma non lo è), cioè vale

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{o(f(x))}{f(x)}=0$$

Dimostrazione

Per definizione di $o$-piccolo, abbiamo che

$$\begin{array}{c}f=o(g)\text{ per }x\to x_0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0\end{array}$$

Quindi si ha che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\stackrel{=o(g(x))}{\overbrace{f(x)}}}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{o(g(x))}{g(x)}=0$$

(Nella proposizione viene usato $f$ al posto di $g$, ma è la stessa cosa.)

Notiamo che l’uguaglianza $f(x)=o(g(x))$ è da intendersi come un semplice collegamento “qualitativo” tra $f$ e $g$, cioè indica che $f$ è una qualsiasi funzione che è $o$-piccolo di $g$ per $x\to x_0$, quindi perfettamente in accordo con quanto detto prima sull’abuso di notazione.

$■$

Proposizione: $o$-piccolo, infiniti e infinitesimi

Data una funzione $f$ che è $o$-piccolo di $1$ per $x\to x_0$, si ha che $f$ è un infinitesimo in $x_0$ e, al contrario, se $1$ è $o$-piccolo di $f$ per $x\to x_0$, allora $f$ è un infinito in $x_0$:

$$\begin{array}{rl}f=o(1)\text{ per }x\to x_0⟺& f\text{ eˋ un infinitesimo in }{x}_0\\ 1=o(f)\text{ per }x\to x_0⟺& f\text{ eˋ un infinito in }{x}_0\end{array}$$

Dimostrazione

Dimostriamo prima che se $f$ è $o$-piccolo di $1$ per $x\to x_0$ si ha che $f$ è un infinitesimo in $x_0$. Per definizione di $o$-piccolo, abbiamo che

$$\begin{array}{c}f=o(1)\text{ per }x\to x_0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{1}=0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0\end{array}$$

che corrisponde proprio alla definizione di infinitesimo.

Ora dimostriamo che se $1$ è $o$-piccolo di $f$ per $x\to x_0$ si ha che $f$ è un infinito in $x_0$. Per definizione di $o$-piccolo, abbiamo che

$$\begin{array}{c}1=o(f)\text{ per }x\to x_0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{f(x)}=0\end{array}$$

cioè $\frac{1}{f(x)}$ è un infinitesimo in $x_0$, ma dal rapporto tra infiniti e infinitesimi abbiamo che se $\frac{1}{f(x)}$ è un infinitesimo in $x_0$, allora $\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}=f(x)$ è un infinito in $x_0$.

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1.1.2 - Trascurabilità di una funzione

Definizione: trascurabilità di una funzione

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se $f$ è $o$-piccolo di $g$ per $x\to x_0$, allora diciamo che $f$ è trascurabile rispetto a $g$ per $x\to x_0$.

Osservazione: significato di trascurabilità

Cerchiamo di comprendere meglio il significato di questa denominazione, anche al fine di evitare equivoci.

La dicitura ”$f$ è trascurabile rispetto a $g$ per $x\to x_0$” indica che il limite

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))$$

dipende solo da $g$ e non da $f$, cioè nel calcolare questo limite l’addendo $f(x)$ può essere trascurato rispetto a $g(x)$. Quindi si ha che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$$

Infatti, raccogliendo $g(x)$, si ha che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(g(x)\left(\frac{f(x)}{g(x)}+1\right)\right)$$

Essendo $f$ $o$-piccolo di $g(x)$ per $x\to x_0$, si ha che $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$. Se esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, allora per l’algebra dei limiti si ha che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\underset{=l}{\underbrace{g(x)}}\left(\underset{=0}{\underbrace{\frac{f(x)}{g(x)}}}+1\right)\right)=l=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$$

Se invece non esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$, allora anche il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))$ non esiste. Infatti, se per assurdo esistesse questo limite e fosse $\underset{x\to x_0}{\lim }(f(x)+g(x))=l^{\prime }\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, poiché

$$\begin{array}{rl}g(x)& =g(x)\frac{f(x)+g(x)}{f(x)+g(x)}\\ & =\frac{f(x)+g(x)}{\frac{f(x)+g(x)}{g(x)}}\\ & =\frac{f(x)+g(x)}{\frac{f(x)}{g(x)}+1}\end{array}$$

e, sempre per l’algebra dei limiti, avremmo che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\stackrel{=l^{\prime }}{\overbrace{f(x)+g(x)}}}{\underset{=1}{\underbrace{\frac{f(x)}{g(x)}+1}}}=l^{\prime }$$

e otterremmo l’assurda affermazione che $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l^{\prime }$ che va in contrasto con l’ipotesi iniziale per cui il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)$ non esiste.

1.1.3 - Principio di eliminazione dei termini trascurabili (PETT)

Principio di eliminazione dei termini trascurabili (PETT)

Date quattro funzioni $f,g,f^{\prime },g^{\prime }:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, abbiamo che se $f^{\prime }$ è $o$-piccolo di $f$ per $x\to x_0$ e $g^{\prime }$ è $o$-piccolo di $g$ per $x\to x_0$, allora $f^{\prime }$ e $g^{\prime }$ sono trascurabili nella rispettiva somma con $f$ e $g$:

$$\begin{array}{c}{f}^{\prime }=o(f)\text{ per }x\to x_0\wedge g^{\prime }=o(f)\text{ per }x\to x_0\\ \Downarrow \\ \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)+f^{\prime }(x)}{g(x)+g^{\prime }(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}\end{array}$$

Osservazione: riformulazione del PETT

Il principio di eliminazione dei termini trascurabili (PETT) può essere riformulato anche come

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)+o(f(x))}{g(x)+o(g(x))}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$$

Osservazione: PETT per solo numeratore o denominatore

Il principio di eliminazione dei termini trascurabili (PETT) può essere utilizzato anche se la funzione trascurabile è presente solo al numeratore o al denominatore. Più precisamente,

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)+o(f(x))}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)+o(g(x))}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$$

Intuizione: mentre $f=O(g)$ dice che $f$ non cresce “più velocemente” di $g$, $f=\Theta (g)$ dice che $f$ e $g$ hanno lo stesso ordine di grandezza vicino a $x_0$ — cioè il rapporto $f(x)/g(x)$ resta “sandwiched” tra due costanti positive, senza mai avvicinarsi troppo a $0$ né esplodere.

Se il limite del rapporto esiste, questa condizione si traduce semplicemente in

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L\text{con }L\in \mathbb{R},L\ne 0$$

Esempio: $f(x)=3x^2+x$ e $g(x)=x^2$ per $x\to \infty$: si ha $f=\Theta (g)$, perché $f(x)/g(x)\to 3\ne 0$.

Relazione con gli altri simboli:

$$f=\Theta (g)⟺(f=O(g)\wedge g=O(f))$$

Nota che $\Theta$-grande è una relazione simmetrica (se $f=\Theta (g)$ allora anche $g=\Theta (f)$), a differenza di $o$-piccolo e $O$-grande.

Esempio di uso del PETT

Calcoliamo il limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+\sin x}{x^2-\sin x}$$

Possiamo osservare che $x^2$ è $o$-piccolo di $\sin x$ per $x\to 0$, infatti

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\underset{=0}{\underbrace{x}}\cdot \frac{x}{\underset{=1}{\underbrace{\sin x}}}\right)=0$$

Allora, per il PETT, possiamo dire che

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+\sin x}{x^2-\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{o(\sin x)+\sin x}{o(\sin x)-\sin x}\stackrel{\text{PETT}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\stackrel{=1}{\overbrace{\sin x}}}{\underset{=-1}{\underbrace{-\sin x}}}=-1$$

1.2 - $O$-grande

Definizione: $O$-grande

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, diciamo che $f$ è $O$-grande di $g$ per $x$ che tende a $x_0$ se esistono un intorno $U$ di $x_0$ e una costante $M>0$ tali che

$$\forall x\in A\cap U.(|f(x)|\le M\cdot |g(x)|)$$

e in tal caso scriviamo ”$f=O(g)$ per $x\to x_0$” (oppure ”$f(x)=O(g(x))$ per $x\to x_0$”).

L’$O$-grande è uno dei simboli di Landau.

Esempi di $O$-grande

• $x^2=O(x^3)$ per $x>+\infty$

Esempio di applicazione di $O$-grande alla complessità degli algoritmi

Stimiamo la complessità dell’algoritmo nel caso peggiore (perché è quello più importante in termini di prestazioni)

Algoritmo di ricerca di un numero dato (es. $m=42$) in un array ordinato di lunghezza $m$, calcoliamo la complessità $f(n)$:

• Metodo 1: ricerca esaustiva (o lineare o sequenziale): scorro il vettore in modo sequenziale confrontando ogni elemento con $42$ finché non lo trovo
  • Caso peggiore: $42$ non c’è nell’array ed è pù grande di tutti i valori di input. Quindi es. con un array di $9$ elementi abbiamo $9$ confronti: nel caso peggiore, $f(n)=n$, quindi la complessità dell’algoritmo è dunque $O(n)$
• Metodo 2, ricerca binaria (o dicotomica): faccio al massimo ${\log }_2(n)$ ricerche, quindi $O({\log }_{2}n)$

1.3 - $\Theta$-grande

Definizione: $\Theta$-grande

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, diciamo che $f$ è $\Theta$-grande di $g$ per $x$ che tende a $x_0$ se esistono un intorno $U$ di $x_0$ e due costanti $m,M>0$ tali che

$$m\cdot |g(x)|\le |f(x)|\le M\cdot |g(x)|\forall x\in A\cap U$$

e in tal caso scriviamo ”$f=\Theta (g)$ per $x\to x_0$” (oppure ”$f(x)=\Theta (g(x))$ per $x\to x_0$”).

Il $\Theta$-grande è uno dei simboli di Landau.

1.4 - Equivalenza asintotica

Definizione: equivalenza asintotica

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, diciamo che $f$ è equivalente a $g$ per $x$ che tende a $x_0$ (o che $f$ e $g$ sono asintotiche per $x$ che tende a $x_0$) se

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$$

e in tal caso scriviamo ”$f\sim g$ per $x\to x_0$” (oppure ”$f(x)\sim g(x)$ per $x\to x_0$”).

Osservazione: nell'equivalenza asintotica $g$ non identicamente nulla

Esattamente come avviene per l’$o$-piccolo, anche per l’equivalenza asintotica serve che la funzione $g$ non sia identicamente nulla in ogni intorno bucato $I(x_0)$ di $x_0$ intersecato con $A$ affinché il limite dell’equivalenza asintotica sia ben definito:

$$\begin{array}{c}f\sim g\text{ per }x\to x_0\\ \Downarrow \\ g\text{ non identicamente nulla per ogni }(I(x_0)\cap A)\setminus \{x_0\}\end{array}$$

Proposizione: nell'equivalenza asintotica $f$ non identicamente nulla

Se una funzione $f$ è equivalente a un’altra funzione $g$ per $x\to x_0$, allora anche $f$ non è identicamente nulla in ogni intorno bucato $I(x_0)$ di $x_0$ intersecato con $A$:

$$\begin{array}{c}f\sim g\text{ per }x\to x_0\\ \Downarrow \\ f\text{ non identicamente nulla per ogni }(I(x_0)\cap A)\setminus \{x_0\}\end{array}$$

Dimostrazione

Per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che

$$\forall x\in (I(x_0)\cap A)\setminus \{x_0\}.\left(\frac{f(x)}{g(x)}>0\right)$$

Poiché $g$ non è identicamente nulla nell’intorno bucato $I(x_0)$ intersecato con $A$, allora in ogni intorno di $x_0$ contenuto in $I(x_0)$ esiste un $x\in A\setminus \{x_0\}$ tale che

$$\begin{array}{c}\frac{f(x)}{g(x)}>0\wedge g(x)\ne 0\\ \Downarrow \\ f(x)=\underset{>0}{\underbrace{\frac{f(x)}{g(x)}}}\cdot \underset{\ne 0}{\underbrace{g(x)}}\ne 0\end{array}$$

Avendo $f(x)\ne 0$, possiamo assumere che ovunque $g$ non è identicamente nulla, non lo sarà neanche $f$.

$■$

Esempio: $\sin x\sim x$ per $x\to 0$

Si ha che $\sin x$ è equivalente a $x$ per $x\to 0$, infatti

$$\begin{array}{c}\sin x\sim x\text{ per }x\to 0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1\end{array}$$

per il limite notevole del seno tendente a $0$.

Esempio: $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$ per $x\to 0$

Si ha che $1-\cos x$ è equivalente a $\frac{1}{2}{x}^2$ per $x\to 0$, infatti

$$\begin{array}{c}1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2\text{ per }x\to 0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\frac{1}{2}{x}^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(2\cdot \underset{=\frac{1}{2}}{\underbrace{\frac{1-\cos x}{x^2}}}\right)=1\end{array}$$

Ricordo che $\frac{1-\cos x}{x^2}$ è uguale a $\frac{1}{2}$ per il limite notevole del coseno tendente a $0$.

Esempio: $P(x)\sim a_n{x}^n$ per $x\to \pm \infty$

Dato un polinomio non nullo $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ di grado $n\in \mathbb{N}$, allora si ha che $P(x)$ è equivalente a $a_n{x}^n$ per $x\to \pm \infty$, infatti

$$\begin{array}{c}P(x)\sim a_n{x}^n\text{ per }x\to \pm \infty \\ \Updownarrow \\ \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{P(x)}{a_n{x}^n}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0}{a_n{x}^n}=1\end{array}$$

1.4.1 - Proprietà dell’equivalenza asintotica

Proprietà: riflessività dell'equivalenza asintotica

Una funzione $f$ è sempre equivalente a se stessa per $x\to x_0$, cioè l’equivalenza asintotica gode della proprietà riflessiva:

$$f\sim f\text{ per }x\to x_0$$

Dimostrazione

Per definizione di equivalenza asintotica, dobbiamo dimostrare che

$$\begin{array}{c}f\sim f\text{ per }x\to x_0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{f(x)}=1\end{array}$$

Il rapporto $\frac{f(x)}{f(x)}=1$ è costantemente uguale a $1$ per ogni $x$ in cui $f(x)\ne 0$. Pertanto:

${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{f(x)}={\lim }_{x\to x_0}1=1$

Dunque $f\sim f$ per $x\to x_0$.

$■$

Proprietà: simmetria dell'equivalenza asintotica

Date due funzioni $f$ e $g$, si ha che se $f$ è equivalente a $g$ per $x\to x_0$, allora anche $g$ è equivalente a $f$ per $x\to x_0$, cioè l’equivalenza asintotica gode della proprietà simmetrica:

$$\begin{array}{c}f\sim g\text{ per }x\to x_0\\ \Updownarrow \\ g\sim f\text{ per }x\to x_0\end{array}$$

Dimostrazione

Per definizione di equivalenza asintotica, dobbiamo dimostrare che

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g(x)}{f(x)}=1\end{array}$$

Possiamo facilmente notare che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g(x)}{f(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{\underset{=1}{\underbrace{\frac{f(x)}{g(x)}}}}=1$$

Proposizione: limiti di due funzioni equivalenti

Se una funzione $f$ è equivalente a un’altra funzione $g$ per $x\to x_0$ e se esiste il limite di $f(x)$ per $x\to x_0$, allora esiste il limite di $g(x)$ per $x\to x_0$ ed è uguale a $l$:

$$\begin{array}{c}f\sim g\text{ per }x\to x_0\\ \wedge \\ \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}\end{array}⟹\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=l$$

Proposizione: relazione tra l'equivalenza asintotica e l' $o$-piccolo

Si ha che una funzione $f$ è equivalente a un’altra funzione $g$ per $x\to x_0$ se e solo se $f$ è $o$-piccolo di $g+o(g)$ per $x\to x_0$:

$$\begin{array}{c}f\sim g\text{ per }x\to x_0\\ \Updownarrow \\ f=g+o(g)\text{ per }x\to x_0\end{array}$$

Osservazione: come interpretare $f=g+o(g)$

La notazione $f=g+o(g)$ non è da intendersi come un’uguaglianza ma, esattamente come già detto prima, è un abuso di notazione che ci permette di indicare una proprietà qualitativa di $f$ rispetto a $g$: questa notazione indica che $f$ differisce da $g$ solo per un termine trascurabile rispetto a $g$ stesso.

In altre parole, per $x\to x_0$, possiamo approssimare $f$ con $g$ e l’errore che commettiamo (cioè $f-g$) è uguale a $o(g)$, cioè $o(g)$ va intesa come una quantità minuscola.

2 - Confronto fra infiniti e infinitesimi

Introduciamo una terminologia per confrontare fra loro gli infiniti e fra loro gli infinitesimi, utilizzando le nozioni di $o$-piccolo e di equivalenza asintotica.

Definizione: ordine di infinito

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, con $f$ e $g$ infiniti in $x_0$, se $f$ è $o$-piccolo di $g$ per $x\to x_0$, allora diciamo che

• $f$ ha un ordine di infinito inferiore a $g$ per $x\to x_0$ (o che $f$ è un infinito di ordine inferiore a $g$ per $x\to x_0$) e
• $g$ ha un ordine di infinito superiore a $f$ per $x\to x_0$ (o che $g$ è un infinito di ordine superiore a $f$ per $x\to x_0$):

$$\begin{array}{c}f=o(g)\text{ per }x\to x_0\\ \Updownarrow \\ f\text{ ha un ordine di infinito inferiore a }g\text{ per }x\to x_0\\ \wedge g\text{ ha un ordine di infinito superiore a }f\text{ per }x\to x_0\end{array}$$

Se invece $f$ è equivalente a $l\cdot g$ per $x\to x_0$ (con $l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$), allora diciamo che $f$ e $g$ hanno lo stesso ordine di infinito per $x\to x_0$:

$$\forall l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}.\left(\begin{array}{c}f\sim l\cdot g\text{ per }x\to x_0\\ \Updownarrow \\ f\text{ e }g\text{ hanno lo stesso ordine di infinito per }x\to x_0\end{array}\right)$$

Definizione: ordine di infinitesimo

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, con $f$ e $g$ infinitesimi in $x_0$, se $f$ è $o$-piccolo di $g$ per $x\to x_0$, allora diciamo che

• $f$ ha un ordine di infinitesimo superiore a $g$ per $x\to x_0$ (o che $f$ è un infinitesimo di ordine superiore a $g$ per $x\to x_0$) e
• $g$ ha un ordine di infinitesimo inferiore a $f$ per $x\to x_0$ (o che $g$ è un infinitesimo di ordine inferiore a $f$ per $x\to x_0$):

$$\begin{array}{c}f=o(g)\text{ per }x\to x_0\\ \Updownarrow \\ f\text{ ha un ordine di infinitesimo superiore a }g\text{ per }x\to x_0\\ \wedge g\text{ ha un ordine di infinitesimo inferiore a }f\text{ per }x\to x_0\end{array}$$

Se invece $f$ è equivalente a $l\cdot g$ per $x\to x_0$ (con $l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$), allora diciamo che $f$ e $g$ hanno lo stesso ordine di infinitesimo per $x\to x_0$:

$$\forall l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}.\left(\begin{array}{c}f\sim l\cdot g\text{ per }x\to x_0\\ \Updownarrow \\ f\text{ e }g\text{ hanno lo stesso ordine di infinitesimoo per }x\to x_0\end{array}\right)$$

Osservazione: differenza di significato di $f=o(g)$ tra infiniti e infinitesimi

Dalle definizioni sull’ordine di infinito e l’ordine di infinitesimo possiamo evincere che la scrittura $f=o(g)$ ha un significato diverso a seconda che $f$ e $g$ siano entrambi infiniti o infinitesimi. In particolare:

	$f$ e $g$ infiniti	$f$ e $g$ infinitesimi
$f=o(g)$ per $x\to x_0$	$f$ ha un ordine di infinito inferiore a $g$	$f$ ha un ordine di infinitesimo superiore a $g$

2.1 - Infiniti e infinitesimi campione

Sin qui abbiamo introdotto una terminologia per confrontare fra loro gli infiniti e gli infinitesimi. Poiché la casistica è vasta, per poterli confrontare in modo rapido è necessario avere a disposizione delle funzioni che svolgano il ruolo di “sistemi di riferimento” con cui confrontarli. Queste funzioni sono gli infiniti e gli infinitesimi campione.

Poiché le funzioni più “semplici” sono quelle razionali, questi infiniti e gli infinitesimi campione sono proprio funzioni razionali.

Definizione: infiniti e infinitesimi campione

Dato un punto $x_0$:

• Se $x_0\in \mathbb{R}$, allora l’infinito campione è la funzione $u(x)=\frac{1}{|x-x_0|}$.
• Se $x_0=\pm \infty$, allora l’infinito campione è la funzione $u(x)=|x|$.
• Se $x_0\in \mathbb{R}$, allora l’infinitesimo campione è la funzione $u(x)=|x-x_0|$.
• Se $x_0=\pm \infty$, allora l’infinitesimo campione è la funzione $u(x)=\frac{1}{|x|}$.

	Infinito campione	Infinitesimo campione
$x_0\in \mathbb{R}$	$u(x)=\frac{1}{|x-x_0|}$	$u(x)=|x-x_0|$
$x_0=\pm \infty$	$u(x)=|x|$	$u(x)=\frac{1}{|x|}$

La presenza del valore assoluto negli infiniti e infinitesimi campione è giustificata dalla seguente definizione.

Definizione: infinit(esim)o di ordine $\alpha$ rispetto all'infinit(esim)o campione $u$

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$ con $f$ infinito (o infinitesimo) in $x_0$, diciamo che $f$ è un infinito (o infinitesimo) di ordine $\alpha >0$ rispetto all’infinito (o infinitesimo) campione $u$ per $x\to x_0$ se

$$\begin{array}{c}\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{[u(x){]}^{\alpha }}=l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\\ \Updownarrow \\ f(x)\sim l[u(x){]}^{\alpha }\text{ per }x\to x_0\text{ con }l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\\ \Updownarrow \\ f(x)=l[u(x){]}^{\alpha }+o([u(x){]}^{\alpha })\text{ per }x\to x_0\text{ con }l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}\end{array}$$

In tal caso diciamo che $l[u(x){]}^{\alpha }$ è la parte principale dell’infinito (o infinitesimo) $f$ rispetto all’infinito (o infinitesimo) campione $u$ per $x\to x_0$.

Osservazione: come va inteso un infinit(esim)o di ordine $\alpha$ rispetto all'infinit(esim)o campione $u$

Quando diciamo che $f$ è un infinito (o infinitesimo) di ordine $\alpha$ rispetto all’infinito (o infinitesimo) campione $u(x)$ per $x\to x_0$, stiamo dicendo che $f$ si comporta come $u^{\alpha }$, a meno di una costante.

In pratica, l’ordine $\alpha$ misura la velocità di avvicinamento a $0$ (o di fuga verso $\pm \infty$) usando l’infinito (o infinitesimo) campione $u$ come “righello”: più è alto l’ordine, più rapidamente la funzione va verso $0$ o verso $\pm \infty$.

Per esempio, prendendo per $x\to 0$ l’infinitesimo campione $u(x)=|x-x_0|=|x|$, si ha una gerarchia naturale:

Ordine $\alpha$	Infinitesimi di esempio	Comportamento
$\alpha =\frac{1}{2}$	$\sqrt{x}$	Tendono a $0$ più lentamente di $|x|$
$\alpha =1$	$\sin x$, $\tan x$, $3x$	Tendono a $0$ come $|x|$
$\alpha =2$	$x^2-x^4$, $1-\cos x$	Tendono a $0$ più velocemente di $|x|$
$\alpha =3$	$x-\sin x$, $x^3$	Tendono a $0$ ancora più velocemente

Osservazione: perché serve che $l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$?

Il limite di $\frac{f(x)}{[u(x){]}^{\alpha }}$ deve essere finito e non nullo perché:

• Se fosse $0$, significherebbe che $[u(x){]}^{\alpha }$ cresce (o decresce) molto più velocemente di $f$, quindi l’ordine $\alpha$ va abbassato.
• Se fosse $\pm \infty$, significherebbe che $[u(x){]}^{\alpha }$ cresce (o decresce) molto più lentamente di $f$, quindi l’ordine $\alpha$ va alzato.

L’ordine $\alpha$ è dunque il valore “giusto” che risponde alla domanda: “alzando $u$ alla potenza $\alpha$, riesco a tenere il passo con $f$?”. Quando il limite dà un $l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$, la risposta è sì: $\alpha$ è quello corretto, e $l[u(x){]}^{\alpha }$ è la parte principale, cioè l’approssimazione più semplice di $f$ vicino a $x_0$.

Esempio: $\sin x$ infinitesimo di ordine $1$ rispetto all'infinitesimo campione $u(x)=|x|$

Supponiamo che valga il limite

$$\underset{x\to 0}{\lim }\sin x=0$$

Ciò significa che $\sin x$ è un infinitesimo in $0$. Essendo un infinitesimo con $l=0\in \mathbb{R}$, il suo infinitesimo campione è

$$u(x)=|x-x_0|=|x-0|=|x|$$

Dal momento che vale il limite (con $\alpha =1$)

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{|x{|}^1}=1$$

possiamo concludere che $\sin x$ è un infinitesimo di ordine $1$ rispetto all’infinitesimo campione $u(x)=|x|$ per $x\to 0$, con parte principale $1\cdot |x{|}^1=x$.

Definizione: infinit(esim)o di ordine superiore o inferiore a qualsiasi potenza di $u(x)$

Data una funzione $f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$ con $f$ infinito (o infinitesimo) in $x_0$, diciamo che $f(x)$ è un infinito di ordine superiore o infinitesimo di ordine inferiore a qualsiasi potenza di un infinito o infinitesimo campione $u(x)$ per $x\to x_0$ se:

$$\forall k\in {\mathbb{R}}^{>0}.([u(x){]}^k=o(f(x)))$$

cioè se $f(x)$ è un infinito tende a $\pm \infty$ più velocemente di $|u(x){|}^k$ per ogni $k$, mentre se è un infinitesimo tende a $0$ più lentamente di $|u(x){|}^k$ per ogni $k$.

Al contrario, $f(x)$ è un infinito di ordine inferiore o infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza di un infinito o infinitesimo campione $u(x)$ per $x\to x_0$ se:

$$\forall k\in {\mathbb{R}}^{>0}.(f(x)=o([u(x){]}^k))$$

cioè se $f(x)$ è un infinito tende a $\pm \infty$ più lentamente di $|u(x){|}^k$ per ogni $k$, mentre se è un infinitesimo tende a $0$ più velocemente di $|u(x){|}^k$ per ogni $k$.

	$f(x)$ è un infinito	$f(x)$ è un infinitesimo
$\forall k\in {\mathbb{R}}^{>0}.([u(x){]}^k=o(f(x)))$	$f(x)$ è un infinito di ordine superiore, tende a $\pm \infty$ più velocemente di $|u(x){|}^k$	$f(x)$ è un infinitesimo di ordine inferiore, tende a $0$ più lentamente di $|u(x){|}^k$
$\forall k\in {\mathbb{R}}^{>0}.(f(x)=o([u(x){]}^k))$	$f(x)$ è un infinito di ordine inferiore, tende a $\pm \infty$ più lentamente di $|u(x){|}^k$	$f(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore, tende a $0$ più velocemente di $|u(x){|}^k$

Esempio: $f(x)=a^x$ con $a>1$

La funzione $f(x)=a^x$ (con $a>1$) è un infinito per $x\to +\infty$ e il suo infinito campione è $u(x)=|x|$. Poiché si ha che

$$\forall k\in {\mathbb{R}}^{>0}.(|x{|}^k=o(a^x))$$

allora $a^x$ è un infinito di ordine superiore a qualsiasi potenza di $|x|$ per $x\to +\infty$, cioè $a^x$ tende a $x\to +\infty$ più velocemente di $|x{|}^k$, qualsiasi sia la potenza $k$.

Inoltre, è un infinitesimo per $x\to -\infty$ e il suo infinito campione è $u(x)=\frac{1}{|x|}$. Poiché si ha che

$$\forall k\in {\mathbb{R}}^{>0}.\left(a^x=o\left({\left(\frac{1}{|x|}\right)}^k\right)\right)$$

allora $a^x$ è un infinitesimo di ordine superiore a qualsiasi potenza di $\frac{1}{|x|}$ per $x\to -\infty$, cioè $a^x$ tende a $x\to -\infty$ più velocemente di ${\left(\frac{1}{|x|}\right)}^k$, qualsiasi sia la potenza $k$.

Esempio: $f(x)={\log }_{a}x$ con $a\in {\mathbb{R}}^{>0}\setminus \{1\}$

La funzione $f(x)={\log }_{a}x$ (con $a\in {\mathbb{R}}^{>0}\setminus \{1\}$) è un infinito per $x\to +\infty$ e il suo infinito campione è $u(x)=|x|$. Poiché si ha che

$$\forall k\in {\mathbb{R}}^{>0}.\left({\log }_{a}x=o\left(|x{|}^k\right)\right)$$

allora ${\log }_{a}x$ è un infinito di ordine inferiore a qualsiasi potenza di $|x|$ per $x\to +\infty$, cioè ${\log }_{a}x$ tende a $x\to +\infty$ più velocemente di $|x{|}^k$, qualsiasi sia la potenza $k$.

Inoltre, è un infinito anche per $x\to 0^{+}$ e il suo infinito campione è $u(x)=\frac{1}{|x-x_0|}=\frac{1}{|x-0|}=\frac{1}{|x|}$. Poiché si ha che

$$\forall k\in {\mathbb{R}}^{>0}.\left({\log }_{a}x=o\left({\left(\frac{1}{|x|}\right)}^k\right)\right)$$

allora ${\log }_{a}x$ è un infinito di ordine inferiore a qualsiasi potenza di $\frac{1}{|x|}$ per $x\to 0^{+}$, cioè ${\log }_{a}x$ tende a $x\to 0^{+}$ più velocemente di ${\left(\frac{1}{|x|}\right)}^k$, qualsiasi sia la potenza $k$.

Ci sono casi però in cui un infinito o un infinitesimo non sono di un ordine $\alpha$ preciso, ma non sono neanche superiori o inferiori a qualsiasi potenza rispetto all’infinito o infinitesimo campione $u(x)$, bensì il loro ordine $\alpha$ si trova in un intervallo.

Definizione: infinit(esim)o di ordine superiore o inferiore all'ordine $\alpha$ rispetto all'infinit(esim)o campione $u$

Data una funzione $f:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$ con $f$ infinito (o infinitesimo) in $x_0$, diciamo che $f(x)$ è un infinito di ordine superiore o infinitesimo di ordine inferiore all’ordine $\alpha$ rispetto all’infinito o infinitesimo campione $u(x)$ per $x\to x_0$ se

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{[u(x){]}^{\alpha }}=\pm \infty$$

Al contrario, $f(x)$ è un infinito di ordine inferiore o infinitesimo di ordine superiore all’ordine $\alpha$ rispetto all’infinito o infinitesimo campione $u(x)$ per $x\to x_0$ se

$$\begin{array}{c}f(x)=o([u(x){]}^{\alpha })\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{[u(x){]}^{\alpha }}=0\end{array}$$

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L9b.
    • Prof. Boscaggin Alberto, videolezioni:
      • L14a, L14b, L14c.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 4 - Confronto locale fra funzioni:
      • 4.1 - Infiniti e infinitesimi.
      • 4.2 - Simboli di Landau.
      • 4.3 - Confronto fra infiniti e infinitesimi.