Infiniti e infinitesimi

Premessa

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Definizione: infinito e infinitesimo

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, diciamo che:

• $f$ è un infinitesimo in $x_0$ (o per $x$ che tende a $x_0$) se $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$$
• $f$ è un infinito in $x_0$ (o per $x$ che tende a $x_0$) se $$\underset{x\to x_0}{\lim }|f(x)|=+\infty$$

Esempi di infiniti e infinitesimi

Ecco alcuni esempi di infiniti e infinitesimi:

• La funzione $f(x)=x^n$ con $n\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$ è un infinitesimo per $x\to 0$ e un infinitesimo per $x\to \pm \infty$.
• La funzione $f(x)=\frac{1}{x^n}$ con $n\in {\mathbb{N}}^{\ge 1}$ è un infinito per $x\to 0$ e un infinitesimo per $x\to \pm \infty$.
• La funzione $f(x)=e^x$ è un infinitesimo per $x\to -\infty$ e un infinito per $x\to +\infty$.
• La funzione $f(x)=\ln x$ è un infinito per $x\to 0^{+}$ e per $x\to +\infty$ e un infinitesimo per $x\to 1$.

Proposizione: rapporto tra infiniti e infinitesimi

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, se in ogni intorno $I(x_0)$ di $x_0$ esiste un $x\in \text{dom}(f)\setminus \{x_0\}$ tale che $f(x)\ne 0$, allora $f$ è un infinitesimo in $x_0$ se e solo se $\frac{1}{f}$ è un infinito in $x_0$.

Simboli di Landau

Introduciamo ora delle nozioni che ci permettono di confrontare localmente le funzioni, cioè in un intorno di un punto. Poiché la nozione locale più generale che conosciamo è quella del limite, tutte queste nozioni che introdurremo si baseranno su di essa, anzi non saranno altro che un modo diverso di scrivere l’operazione di limite.

Definizione: $o$-piccolo

Date due funzioni $f,g:A\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (con $A\ne \varnothing$) e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, diciamo che $f$ è $o$-piccolo di $g$ per $x$ che tende a $x_0$ se

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$$

e in tal caso scriviamo $f=o(g)$ per $x\to x_0$ (oppure $f(x)=o(g(x))$ per $x\to x_0$).

Esempio di $o$-piccolo con $x$ e $x^2$

Si ha che $x^2$ è $o$-piccolo di $x$ per $x\to 0$, infatti

$$\begin{array}{c}{x}^2=o(x)\text{ per }x\to 0\\ \Updownarrow \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }x=0\end{array}$$

E si ha anche che $x$ è $o$-piccolo di $x^2$ per $x\to \pm \infty$, infatti

$$\begin{array}{c}x=o(x^2)\text{ per }x\to \pm \infty \\ \Updownarrow \\ \underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x}{x^2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0\end{array}$$

Esempio di $o$-piccolo con $\sin x$ e $\sqrt{x}$

Si ha che $\sin x$ è $o$-piccolo di $\sqrt{x}$ per $x\to 0^{+}$, infatti

$$\begin{array}{c}\sin x=o(\sqrt{x})\text{ per }x\to 0^{+}\\ \Updownarrow \\ \begin{array}{rl}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{\sqrt{x}}& =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\cdot \frac{x}{x}\right)\\ & =\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\underset{=1}{\underbrace{\frac{\sin x}{x}}}\cdot \underset{=0}{\underbrace{\sqrt{x}}}\right)\\ & =0\end{array}\end{array}$$

Quel $\underset{=1}{\underbrace{\frac{\sin x}{x}}}$ è dovuto al limite notevole del seno tendente a $0$.

Si ha anche che $\sin x$ è $o$-piccolo di $\sqrt{x}$ per $x\to +\infty$ perché

$$\begin{array}{c}\sin x=o(\sqrt{x})\text{ per }x\to +\infty \\ \Updownarrow \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sin x}{\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\underset{\text{eˋ limitata}}{\underbrace{\sin x}}\cdot \underset{=0}{\underbrace{\frac{1}{\sqrt{x}}}}\right)=0\end{array}$$

Esempio di $o$-piccolo con $x^p$ e $x^q$ con $0<p<q$

Si ha che $x^p$ è $o$-piccolo di $x^q$ per $x\to +\infty$ se $0<p<q$:

$$\forall 0<p<q.(x^p=o(x^q)\text{ per }x\to +\infty )$$

Si ha anche che $x^p$ è $o$-piccolo di $x^q$ per $x\to 0^{+}$ se $0<q<p$

$$\forall 0<q<p.(x^p=o(x^q)\text{ per }x\to 0^{+})$$

Proprietà: transitività di $o$-piccolo

Vale la proprietà transitiva per $o$-piccolo: se $f=o(g)$ e $g=o(h)$ per un certo $x\to x_0$, allora vale anche $f=o(h)$ per $x\to x_0$, infatti

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{h(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{f(x)}{h(x)}\cdot \frac{g(x)}{g(x)}\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\underset{=0}{\underbrace{\frac{f(x)}{g(x)}}}\cdot \underset{=0}{\underbrace{\frac{g(x)}{h(x)}}}\right)=0$$

Attenzione: abuso di notazione nei simboli di Landau

Nella notazione di $o$-piccolo $f=o(g)$, il simbolo $=$ NON è un’uguaglianza di fatto tra funzioni, ma sta solo ad indicare una proprietà qualitativa di $f$ rispetto a $g$.

Non è quindi applicabile la proprietà transitiva dell’uguaglianza, cioè

$$f=o(g)\wedge h=o(g)/⟹f=h$$

Infatti, $x^2=o(x)$ e $x^3=o(x)$ ma $x^2\ne x^3$.

Proposizione: $o$-piccolo di se stesso

Data una funzione $f$, l’$o$-piccolo di $f$ è $o$-piccolo di $f$ per $x\to x_0$ (che può sembrare uno scioglilingua, ma non lo è), cioè vale

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{o(f(x))}{f(x)}=0$$

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Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 4 - Confronto locale fra funzioni:
      • 4.1 - Infiniti e infinitesimi.
      • 4.2 - Simboli di Landau.