Asintoti

Premessa

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Asintoti verticali

Definizione: asintoto verticale

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)\cap (x_0,+\infty )$, se

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=\pm \infty$$

allora la retta $x=x_0$ è un asintoto verticale destro per $f$.

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}$ per $\text{dom}(f)\cap (-\infty ,x_0)$, se

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\pm \infty$$

allora la retta $x=x_0$ è un asintoto verticale sinistro per $f$.

Se la retta $x=x_0$ è contemporaneamente un asintoto verticale destro e sinistro per $f$, allora è un asintoto verticale per $f$.

Osservazione: asintoti verticali dal punto di vista grafico

Graficamente, se la retta $x=x_0$ è un sinistro per $f$, allora il grafico di $f$ si avvicina sempre più a questa retta per $x$ che tende a $x_0$ da destra/sinistra, senza però mai attraversarlo (cioè senza poter andare “dall’altro lato” rispetto a $x=x_0$).

Nonostante ciò, il grafico di $f$ e l’asintoto possono avere uno e un solo punto in comune, ossia $x_0$.

Osservazione: multipli asintoti verticali per una stessa funzione

Una stessa funzione $f$ può avere anche più di un asintoto verticale: per esempio, la funzione $f(x)=\tan x$ ammette infiniti asintoti verticali di equazione

$$\forall k\in \mathbb{Z}\left(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$$

Attenzione: si può parlare di asintoti verticali solo con valori reali

Data una funzione $f$, se

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$$

allora non si può parlare di asintoti verticali perché, per definizione, un asintoto verticale si presenta al tendersi di $x$ verso un determinato punto $x_0\in \mathbb{R}$, mentre $\pm \infty \notin \mathbb{R}$.

Asintoti orizzontali

Definizione: asintoto orizzontale

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ con $\text{dom}(f)$ illimitato superiormente, se

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}$$

allora la retta $y=l$ è un asintoto orizzontale destro per $f$.

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ con $\text{dom}(f)$ illimitato superiormente, se

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}$$

allora la retta $y=l$ è un asintoto orizzontale sinistro per $f$.

Se la retta $y=l$ è contemporaneamente un asintoto orizzontale destro e sinistro per $f$, allora è un asintoto orizzontale per $f$.

Osservazione: asintoti orizzontali dal punto di vista grafico

Graficamente, se la retta $y=l$ è un sinistro per $f$, allora il grafico di $f$ si avvicina sempre più a questa retta per $x$ che tende a $\pm \infty$ e può anche attraversarlo (cioè può andare “dall’altro lato” rispetto a $y=l$, l’importante è che, per $x\to \pm \infty$, si abbia che $f(x)\to l$).

Osservazione: un asintoto orizzontale destro/sinistro per funzione

Una funzione $f$ può avere al massimo un asintoto orizzontale destro e al massimo un asintoto orizzontale sinistro.

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Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 2 - Limiti di funzioni:
      • 2.3 - Asintoti verticali e orizzontali.