Proprietà locali dei limiti

Premessa

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Teorema di limitatezza locale

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, se esiste un limite

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}$$

allora esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f$ è limitata su $(\text{dom}(f)\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.

Teorema della permanenza del segno

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, se esiste un limite

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$$

allora:

• Se $l>0$ oppure $l=+\infty$ allora esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f(x)>0$ per ogni $x\in (\text{dom}(f)\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.
• Se $l<0$ oppure $l=-\infty$ allora esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f(x)<0$ per ogni $x\in (\text{dom}(f)\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$.
  

Corollario del teorema della permanenza del segno

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $\text{dom}(f)$, se esiste un limite

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l\in \mathbb{R}$$

e un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f(x)\ge 0$ (alternativamente $f(x)\le 0$) per ogni $x\in (\text{dom}(f)\cap I(x_0))\setminus \{x_0\}$, allora $l\ge 0$ (alternativamente $l\le 0$).

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Fonti

• 📚 Lezioni di Analisi Matematica I di Sergio Lancelotti, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 3 - Limiti e continuità:
    • 3 - Teoremi su limiti e continuità:
      • 3.1 - Proprietà locali.