Approssimazione locale di funzioni

Premessa

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Dato un intorno $I_r(c)\subseteq \mathbb{R}$ di centro $c\in \mathbb{R}$ e raggio $r\in \mathbb{R}$ e una funzione $f:I_r(c)\to \mathbb{R}$ derivabile in $c$ e continua su $I_r(c)$, allora abbiamo visto che se $f^{\prime }(c)\ne 0$ si ha che

$$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)-f(c)}{(x-c)\cdot f^{\prime }(c)}=1$$

ovvero che $f(x)$ è equivalente a $f(c)+f^{\prime }(c)\cdot (x-c)$ per $x\to c$:

$$f(x)\sim f(c)+f^{\prime }(c)\cdot (x-c)\text{ per }x\to c$$

Quindi $f(x)$ è approssimabile alla retta tangente quando $x\to c$.

Definizione: polinomio di Taylor di ordine $1$ di $f$ centrato in $c$

Dato un intorno $I_r(c)\subseteq \mathbb{R}$ di centro $c\in \mathbb{R}$ e raggio $r\in \mathbb{R}$ e una funzione $f:I_r(c)\to \mathbb{R}$ derivabile in $c$ e continua su $I_r(c)$, definiamo il polinomio di Taylor di ordine $1$ di $f$ centrato in $c$ e denotiamo con $T_{1,c}(x)$ il seguente polinomio:

$$T_{1,c}(x)\stackrel{\text{def}}{=}f(c)+f^{\prime }(c)\cdot (x-c)$$

Esempio di polinomio di Taylor per $f(x)=e^x$

Calcoliamo il polinomio di Taylor di ordine 1 della funzione $f(x)=e^x$ centrato in $c=0$:

$$\begin{array}{rl}{T}_{1,0}(x)& =f(0)+f^{\prime }(0)\cdot (x-0)\\ & =1+1\cdot x\\ & =1+x\end{array}$$

cioè

$$e^x\sim \underset{T_{1,0}}{\underbrace{1+x}}\text{ per }x\to 0$$

Osservazione: quantificare l'errore del polinomio di Taylor

Che errore commetto prendendo il valore di $T_{1,c}(x)$ al posto di $f(x)$?

Distinguiamo in due casi:

• In $x=c$, abbiamo che $T_{1,c}(c)=f(c)$, quindi non commetto alcun errore.
• Quando $x\ne c$, calcolo l’errore facendo la differenza tra i due: $$E_1(x)=|f(x)-T_{1,c}(x)|$$ Dato che $f$ e $T_{1,c}$ sono continue e anche la funzione valore assoluto è continua, allora anche $E_1(x)$ è continua.
  Sfruttando la definizione di funzione continua, abbiamo che il limite di $E_1(c)$ per $x\to c$ ha lo stesso valore di $E_1(c)$, cioè $0$: $$\underset{x\to c}{\lim }{E}_1(x)=E_1(x)=0$$ Quindi, per definizione di limite, $$\forall \epsilon \in \mathbb{R},\exists \delta \in \mathbb{R},\forall x\in \mathbb{R}.\left(0<|x-c|<\delta ⟹E_1(x)<\epsilon \right)$$ Quindi posso fare un errore piccolo a piacere, pur di prendere $x$ sufficientemente vicino a $c$.

[!osservazione]+ Osservazione: migliorare l’approssimazione del polinomio di Taylor

Riusciamo a migliorare l’approssimazione del valore di $f(x)$ in prossimità di $x=c$ prendendo, invece di una retta, un polinomio di ordine $2$, o magari di ordine $n$?

Per capire come fare, notiamo che $T_{1,c}(x)$ ha queste caratteristiche:

$$T_{1,c}(c)=f(c)⟺T_{1,c}^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)$$

Pare quindi naturale cercare $T_{2,c}(x)$ tale che

$$T_{1,c}^{\prime \prime }(c)=f^{\prime \prime }(c)$$

Ma siamo sicuri che esista un polinomio di ordine $2$ che soddisfi questa condizione? E se esiste, è unico?

Il polinomio di Taylor di $\text{II°}$ ordine che in $x=c$ vale $f(c)$ è

$$T_{2,c}(x)=a(x-c{)}^2+b(x-c)+d$$

e possiamo notare che è simile alla forma di un polinomio di $\text{II°}$ ordine generico che è $a{x}^2+bx+c$ (o, in questo caso, $a{x}^2+bx+d$ per evitare la confusione col punto $c$).

In particolare:

• $T_{2,c}(c)=d$
• $T_{2,c}^{\prime }(x)=2a(x-c)+b$
• $T_{2,c}^{\prime }(c)=b$ ma, dato che ci eravamo prefissati di volere $T_{1,c}^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)$, allora $f^{\prime }(c)=b$.
• $T_{2,c}^{\prime \prime }(x)=2a$ ma, dato che ci eravamo prefissati di volere $T_{1,c}^{\prime \prime }(c)=f^{\prime \prime }(c)$, allora $f^{\prime \prime }(c)=2a$

In particolare, possiamo notare che

• $d=f(c)$
• $b=f^{\prime }(c)$
• $a=\frac{f^{\prime \prime }(c)}{2}$

e sono determinati tutti in modo univoco.

L’unico polinomio di $\text{II°}$ ordine che soddisfa le condizioni iniziali è quindi quello della prossima definizione.

Definizione: polinomio di Taylor di $\text{II°}$ ordine di una funzione in un punto

$$T_{2,c}(x)\stackrel{\text{def}}{=}f(c)+f^{\prime }(c)\cdot (x-c)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(c)\cdot (x-c{)}^2$$

Ora reiteriamo questo ragionamento per i prossimi ordini.

Teorema del polinomio di Taylor di ordine $n$ per $f$ centrato in $x=c$

Dato un intorno $I_r(c)\subseteq \mathbb{R}$ di centro $c\in \mathbb{R}$ e raggio $r\in \mathbb{R}$ e una funzione $f:I_r(c)\to \mathbb{R}$ derivabile $n$ volte in $x=c$, esiste un unico polinomio di ordine $n$, denotato con $T_{n,c}(x)$, tale che

$$\forall k\in \{0,\dots ,n\}.\left(T_{n,c}^{(k)}(c)=f^{(k)}(c)\right)$$

Tale polinomio si chiama polinomio di Taylor di ordine $n$ per $f$ centrato in $x=c$ ed è

$$\begin{array}{rl}{T}_{n,c}(x)& \stackrel{\text{def}}{=}\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c{)}^k\\ & \stackrel{\text{def}}{=}f(c)+f^{\prime }(c)\cdot (x-c)+\dots +\frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c{)}^n\end{array}$$

Definizione: polinomio di McLaurin di ordine $n$

Quando $c=0$, il polinomio di Taylor viene chiamato polinomio di McLaurin.

Esempi di polinomi di Taylor di $f(x)=e^x$

• $f(x)=e^x$
• $f^{(k)}(x)=e^x$ per ogni $k\ge 0$
• $f^{(k)}(0)=1$ per ogni $k\ge 0$

quindi

$$T_{n,0}(x)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{x}^k$$

Osservazione: quantificare l'errore del polinomio di Taylor di ordine $n$

Cosa possiamo dire dell’errore commesso prendendo $T_{n,c}(x)$ al posto di $f(x)$?

Mi aspetto che $E_n(x)\le E_{n-1}(x)$ per ogni $n\ge 1$, dove

$$E_k(x)=|f(x)-T_{k,c}(x)|$$

Possiamo anche scrivere come $f(x)$ da approssimare = $T_{n,c}(x)$ + RESTO (dove $E_n(x)=|RESTO|$)

quale comportamento mi aspetto dal RESTO?

• ${\lim }_{x\to c}$ RESTO = 0
• fissato $x$, RESTO decresce al crescere di $n$

Rileggiamo quindi il teorema di Lagrange in questi termini:
sotto opportune ipotesi su $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ si ha che

$$\exists c\in (a,b).\left(f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)$$

ovvero che

$$\exists c\in (a,b).(f(b)=f(a)+f^{\prime }(c)\cdot (b-a))$$

Cambiamo nome ai punti: $b$ -> $x$, $a$ -> $c$, $c$ -> $\xi$
e leggiamo il Teorema di Lagrange:

$$\exists \xi \in [c,x].(f(x)=f(c)+f^{\prime }(\xi )\cdot (x-c))$$

Ma dato che $f(c)=T_{0,c}(x)$, allora RESTO = $f^{\prime }(\xi )\cdot (x-c)$ è il resto di ordine 0

Definizione: formula di Taylor con il resto di Lagrange

Data una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ derivabile $(n+1)$ volte, allora

$$\forall c,x\in (a,b),\exists \xi \in (c,x).\left(f(x)=T_{n,c}(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-c{)}^{n+1}\right)$$

Osservazione: calcolo dell'errore commesso

Con questa scrittura esplicita del RESTO possiamo calcolare l’errore commesso, infatti

$$\begin{array}{rl}{E}_n(x)& =|f(x)-T_{n,c}(x)|\\ & =\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-c{)}^{n+1}\right|\\ & =\frac{|f^{(n+1)}(\xi )|}{(n+1)!}|x-c{|}^{n+1}\end{array}$$

Inoltre

$$E_n(x)\le \frac{M}{(n+1)!}|x-c{|}^{n+1}$$

dove

$$M=\underset{\xi \in [c,x]}{\max }|f^{(n+1)}(\xi )|$$

ammesso che $f^{(n+1)}$ sia continua (si usa il Teorema di Weierstrass).

Esempio: calcolo dell'errore dell'approssimazione di $e^x$

Che errore commetto approssimando $\sqrt{e}$ con il polinomio di McLaurin di $e^x$ di ordine $3$? E con quello di ordine $5$? E di ordine $n$?

• Il polinomio di McLaurin è Taylor con $c=0$
• $\sqrt{e}$ si riscrive come $e^{\frac{1}{2}}$, quindi ci interessa il punto $x=\frac{1}{2}$
• Calcoliamo con quello di ordine 3 => $n=3$

quindi usiamo la formula dell’osservazione

$$e^{\frac{1}{2}}-T_{3,0}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}{\left(\frac{1}{2}-0\right)}^4$$

per qualche $\xi \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$.

Abbiamo che $f^{(4)}(\xi )=e^{\xi }$ (perché $f^{(n)}(x)=(e^x{)}^{(n)}=e^x$)

Dato che $e^{\xi }$ è continua, possiamo fare una stima dell’errore:

$$M=\underset{\xi \in \left[0,\frac{1}{2}\right]}{\max }{e}^{\xi }=e^{\frac{1}{2}}$$

(scegliamo $\xi =\frac{1}{2}$ perché $e^x$ è crescente e il valore massimo nell’intervallo $\left[0,\frac{1}{2}\right]$ sarà $f\left(\frac{1}{2}\right)$)

Ora vogliamo provare a stimare più o meno il valore di $e^{\frac{1}{2}}$ e per farlo sappiamo che $2<e<3$, quindi $e^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{2}}$, quindi

$$\left|\sqrt{e}-T_{3,0}\left(\frac{1}{2}\right)\right|=\frac{f^{(4)}(\xi )}{4!}{\left(\frac{1}{2}-0\right)}^4\le \frac{\sqrt{3}}{4!}\cdot \frac{1}{2^4}$$

Se io prendo quindi $T_{3,0}\left(x\right)=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3$ con $x=\frac{1}{2}$ commetterò un errore minore di $\frac{\sqrt{3}}{4!}\cdot \frac{1}{2^4}$.

Approssimiamo con $T_{5,0}\left(\frac{1}{2}\right)$:

$$e^{\frac{1}{2}}-T_{5,0}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{f^{(6)}(\xi )}{6!}{\left(\frac{1}{2}-0\right)}^6$$

per qualche $\xi \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$, ergo

$$E_5\left(\frac{1}{2}\right)\le \frac{\sqrt{3}}{6!\cdot 2^6}$$

Approssimazione con $T_{n,0}\left(\frac{1}{2}\right)$:

$$E_n\left(\frac{1}{2}\right)\le \frac{\sqrt{3}}{n!\cdot 2^n}$$

e notiamo che al crescere di $n$ il valore con cui si stima

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L12a, L12b.