Premessa

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Proviamo a introdurre il concetto di derivata, uno dei concetti fondamentali dell’analisi matematica, partendo da un concetto molto semplice: la pendenza di un grafico.

1 - Pendenza di un grafico e introduzione alle derivate

Se prendiamo il quoziente di Newton e sfruttiamo la nozione di limite per far tendere un punto verso l’altro, in modo da diminuire quanto più possibile la distanza tra i due fino a farli combaciare in un unico punto, la retta secante i due punti diventerà tangente a quell’unico punto e diventerà proprio il valore della pendenza in quel punto.

Definizione: pendenza di una funzione in un punto

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in \text{dom}(f)$, la pendenza di $f$ in $x_0$, indicata con $p_f(x_0)$, è il limite per $x\to x_0$ del quoziente di Newton:

$$p_f(x_0)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Esempio di pendenza non definita

Prendiamo la funzione del valore assoluto di $x$, definità così:

$$f(x)=|x|=\{\begin{array}{ll}x& \text{se }x\ge 0\\ -x& \text{se }x<0\end{array}$$

Proviamo a calcolare la pendenza $p_f(0)$:

• Se proviamo a prendere il limite destro (cioè $x>0$): $$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=1$$
• Se proviamo a prendere il limite sinistro (cioè $x<0$): $$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{\Delta f}{\Delta x}=-1$$

Dal momento che i due limiti laterali differiscono e non sapremmo quale dei due scegliere, possiamo concludere che la pendenza in questo punto non è definita.

Definizione: funzione localmente dritta in un punto

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in \text{dom}(f)$, diciamo che $f$ è localmente dritta in $x_0$ se è possibile definire la pendenza in $x_0$ (cioè $p_f(x_0)$).

Esempio di funzione non localmente dritta in un punto

Riprendendo l’esempio della funzione $f(x)=|x|$, dato che la pendenza in $x_0$ non è definita, possiamo dire che $f$ non è localmente dritta in $0$.

Definizione: retta tangente a una funzione in un punto

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto $x_0\in \text{dom}(f)$, diciamo che la retta tangente a $f$ in $x_0$ è la retta passante per il punto $P(x_0,f(x_0))$ e con pendenza $p_f(x_0)$.

1.1 - Derivata di una funzione

Definizione: derivata (prima) di una funzione in un punto

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0\in \text{dom}(f)$ a $\text{dom}(f)$, diciamo che $f$ è derivabile in $x_0$ se esiste finito il limite

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

In tal caso denotiamo questo limite con $f^{\prime }(x_0)$ e lo chiamiamo derivata (prima) di $f$ in $x_0$.

Osservazione: derivata ed equivalenza asintotica

Se una funzione $f$ è derivabile in un punto $x_0$ e la derivata $f^{\prime }(x_0)$ è diversa da $0$, allora il limite

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

si può riscrivere come

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)\cdot h}=1$$

Ciò significa che $f(x_0+h)-f(x_0)$ e $f^{\prime }(x_0)\cdot h$ sono equivalenti per $h$ che tende a $0$:

$$f(x_0+h)-f(x_0)\sim f^{\prime }(x_0)\cdot h\text{ per }h\to 0$$

che si può riscrivere come

$$f(x_0+h)\sim f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot h\text{ per }h\to 0$$

Ponendo $x_0+h=x$, otteniamo

$$f(x)\sim f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\text{ per }x\to x_0$$

Ossia, quando $x\to x_0$, abbiamo che $f(x)$ è asintotica alla rette tangente al grafico di $f$ in $(x_0,f(x_0))$.

Definizione: derivata (prima) di una funzione in un intervallo

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un intervallo $I\subseteq \text{dom}(f)$, diciamo che $f$ è derivabile in $I$ se è derivabile in ogni punto di $I$.

Se il limite è $\pm \infty$ o non esiste, allora $f$ non è derivabile in $x_0$.

Talvolta il limite del rapporto incrementale è scritto nel seguente modo:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

con $h=x-x_0$.

Teorema del legame fra la continuità e la derivabilità

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0\in \text{dom}(f)$ a $\text{dom}(f)$, se $f$ è derivabile in $x_0$ allora $f$ è continua in $x_0$.

Dimostrazione del teorema del legame fra la continuità e la derivabilità

Dimostriamo il teorema del legame fra la continuità e la derivabilità.

Vogliamo dimostrare che, per definizione di continuità in un punto,

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$

ovvero che

$$\underset{h\to 0}{\lim }f(x_0+h)=f(x_0)$$

Possiamo ulteriormente trasformare questa formula:

$$\underset{h\to 0}{\lim }f(x_0+h)-f(x_0)=0$$

ovvero

$$\underset{h\to 0}{\lim }\underset{=f^{\prime }(x_0)}{\underbrace{\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}}\cdot \underset{=0}{\underbrace{h}}=0$$

Dato che il limite di $h$ per $h\to 0$ vale $0$, il prodotto tra i limiti di $f^{\prime }(x_0)$ e $h$ è $0$, di conseguenza abbiamo verificato che vale $0$ come scritto nella parte destra dell’uguaglianza.

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Osservazione: derivabilità implica continuità ma non il contrario

Per il teorema del legame fra la continuità e la derivabilità, la derivabilità implica automaticamente la continuità, ma non è vero il contrario: per esempio, la funzione $f(x)=|x|$ è continua ma non derivabile in $0$.

In particolare, abbiamo che per contrapposizione se una funzione non è continua allora non è neanche derivabile: riprendendo l’esempio precedente della funzione $f(x)=\text{sgn}(x)$, poiché $f$ non è continua in $0$, allora possiamo immediatamente concludere che $f$ non è derivabile in $0$.

Proposizione: in una derivata la variazione è un infinitesimo

Se una funzione $f$ è derivabile in $x_0$, ossia

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)\in \mathbb{R}$$

allora la variazione di $f$ nel passaggio da $x_0$ a $x$

• è un infinitesimo del primo ordine se $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ o
• è un infinitesimo di ordine superiore al primo se $f^{\prime }(x_0)=0$
  rispetto all’infinitesimo campione $u(x)=|x-x_0|$ per $x\to x_0$ con parte principale $f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$:

$$f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o(|x-x_0|)\text{ per }x\to x_0$$

Dimostrazione: in una derivata la variazione è un infinitesimo

Dimostriamo che in una funzione derivabile la variazione di $f$ nel passaggio da $x_0$ a $x$ è un infinitesimo.

Analizziamo prima il caso in cui $f^{\prime }(x_0)\ne 0$: se osserviamo la definizione di infinitesimo di ordine $\alpha$ rispetto all’infinitesimo campione $u(x)$, abbiamo che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{[u(x){]}^{\alpha }}=l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$$

Nel nostro caso:

• $f(x)$ corrisponde a $f(x)-f(x_0)$,
• $[u(x){]}^{\alpha }$ è l’infinitesimo campione $|x-x_0|$ con ordine $\alpha =1$ e
• $l$ è $f^{\prime }(x_0)$ che, in questo caso, è diverso da $0$, quindi rispettiamo la condizione $l\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Sostituendo quindi i termini della definizione (e, in particolare, utilizzando la terza formula, quella con l’$o$-piccolo), otteniamo

$$f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(|x-x_0|{)}^1+o((|x-x_0|{)}^1)\text{ per }x\to x_0$$

Possiamo quindi concludere che in questo caso la variazione di $f$ nel passaggio da $x_0$ a $x$ è un infinitesimo del primo ordine se $f^{\prime }(x_0)\ne 0$.

Nel caso in cui $f^{\prime }(x_0)=0$, abbiamo che

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$$

Cioè $f(x)-f(x_0)$ è $o$-piccolo di $x-x_0$:

$$f(x)-f(x_0)=o(x-x_0)$$

Ciò implica che $f(x)-f(x_0)$ è un infinitesimo di ordine superiore al primo rispetto all’infinitesimo campione $u(x)=|x-x_0|$ per $x->x_0$.

In entrambi i casi, è corretto riassumere il tutto nella formula

$$f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+o(|x-x_0|)\text{ per }x\to x_0$$

perché:

• Se $f^{\prime }(x_0)\ne 0$, questa formula è letteralmente la terza formula della definizione di infinitesimo di ordine $\alpha$ rispetto all’infinitesimo campione $u(x)$ che abbiamo scritto poco fa.
• Se $f^{\prime }(x_0)=0$, otteniamo la terza formula della definizione di infinitesimo di ordine superiore al primo rispetto all’infinitesimo campione $u(x)$.

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2 - Differenziale

Definizione: differenziale di una funzione

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0\in \text{dom}(f)$ a $\text{dom}(f)$, diciamo che $f$ è differenziabile in $x_0$ se $f$ è derivabile in $x_0$ e in tal caso chiamiamo differenziale di $f$ in $x_0$ la funzione lineare $df(x_0):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita da

$$df(x_0)(x)=f^{\prime }(x_0)x$$

Quindi il differenziale di $f$ in $x_0$ è una funzione il cui grafico è una retta passante per l’origine $O(0;0)$ con coefficiente angolare $f^{\prime }(x_0)$.

Posto $dx:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la funzione lineare identica, cioè la funzione tale che $dx(x)=x$ per ogni $x\in \mathbb{R}$, allora il differenziale di $f$ in $x_0$ diventa

$$df(x_0)=f^{\prime }(x_0)dx$$

Infatti

$$\forall x\in \mathbb{R}.\left(df(x_0)(x)=f^{\prime }(x_0)\cdot \underset{=x}{\underbrace{dx(x)}}=f^{\prime }(x_0)x\right)$$

Esempi di differenziali

• $f(x)=x^2⟹df(x)=f^{\prime }(x)dx=2xdx$
• $f(x)=\sin x⟹df(x)=f^{\prime }(x)dx=\cos xdx$
• $f(x)=e^x⟹df(x)=f^{\prime }(x)dx=e^{x}dx$
• $f(x)=\log x⟹df(x)=f^{\prime }(x)dx=\frac{1}{x}dx$

3 - Derivate laterali

Definizione: derivate laterali di una funzione

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, un punto interno $x_0\in \text{dom}(f)$ a $\text{dom}(f)$ e un $\delta >0$ tale che $[x_0;x_0+\delta )\subseteq \text{dom}(f)$, diciamo che $f$ è derivabile da destra in $x_0$ se esiste il limite

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=l\in \mathbb{R}$$

e in tal caso denotiamo questo limite con $D^{+}f(x_0)$ e lo chiamiamo derivata destra di $f$ in $x_0$.

Se esiste un $\delta >0$ tale che $(x_0-\delta ,x_0]\subseteq \text{dom}(f)$, diciamo che $f$ è derivabile da sinistra in $x_0$ se esiste il limite

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=l\in \mathbb{R}$$

e in tal caso denotiamo questo limite con $D^{-}f(x_0)$ e lo chiamiamo derivata sinistra di $f$ in $x_0$.

Le derivate destra e sinistra sono anche dette derivate laterali.

Esempio di derivate laterali di una funzione

Consideriamo la funzione $f(x)=|x|$, abbiamo visto che è derivabile in ogni $x\ne 0$ e che non è derivabile in $0$. Inoltre si ha che

$$\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{|x|}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{x}=1⟹D^{+}f(0)=1\\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{|x|}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x}{x}=-1⟹D^{-}f(0)=-1\end{array}$$

Teorema del legame fra la derivata e le derivate laterali

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0\in \text{dom}(f)$ a $\text{dom}(f)$. Se esistono le derivate laterali $D^{+}f(x_0)$ e $D^{-}f(x_0)$, allora $f$ è continua in $x_0$ e inoltre $f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se $D^{+}f(x_0)=D^{-}f(x_0)$ e, in tal caso,

$$f^{\prime }(x_0)=D^{+}f(x_0)=D^{-}f(x_0)$$

Definizione: derivabilità e derivata (prima) di una funzione

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, diciamo che $f$ è derivabile se è derivabile in ogni punto del dominio $\text{dom}(f)$ e, nei punti di frontiera appartenenti al dominio, se sono derivabili lateralmente.

In tal caso è definita una funzione, detta derivata (prima) di $f$, denotata con $f^{\prime }$ (oppure $Df$, $\frac{df}{dx}$ p $\dot{f}$) e definita come

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }:\text{dom}(f)& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto f^{\prime }(x)\end{array}$$

Esempio di derivabiità di una funzione

Consideriamo la funzione $f(x)=x^q$ con $q\in {\mathbb{Q}}^{>0}\setminus \mathbb{N}$. Abbiamo che $\text{dom}(f)=[0,+\infty )$ e, per ogni $x>0$, si ha che $f$ è derivabile in $x$ con $f^{\prime }(x)=q{x}^{q-1}$. In $x=0$ si ha che

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^q}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{q-1}=\{\begin{array}{ll}+\infty & \text{se }q<1\\ 0& \text{se }q>1\end{array}$$

Quindi $f$ è derivabile da destra in $0$ solo se $q>1$ e in tal caso $D^{+}f(0)=0$.

4 - Punti di non derivabilità

Introduciamo una classificazione per i punti di non derivabilità di una funzione, ossia per i punti in cui $f$ è continua ma non derivabile.

Definizione: punto angoloso

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0\in \text{dom}(f)$ a $\text{dom}(f)$, diciamo che $x_0$ è un punto angoloso per $f$ se esistono le derivate laterali $D^{+}f(x_0)$ e $D^{-}f(x_0)$ ma sono diverse.

Esempio di punto angoloso per $f(x)=|x|$

Consideriamo la funzione $f(x)=|x|$: il punto $x_0=0$ è angoloso per $f$, infatti le derivate laterali non coincidono:

$$D^{+}f(0)=1\ne -1=D^{-}f(0)$$

Osservazione: perché punto angoloso?

Osservando l’esempio del punto angoloso per $f(x)=|x|$, possiamo notare che le semirette tangenti al grafico nell’origine $O(0,0)$ sono rispettivamente $y=-x$ e $y=x$ e formano tra loro un angolo retto: risulta quindi giustificata la denominazione punto angoloso.

Definizione: cuspide

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0\in \text{dom}(f)$ a $\text{dom}(f)$, diciamo che $x_0$ è una cuspide per $f$ se $f$ è continua in $x_0$ e

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\pm \infty \ne \mp \infty =\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

cioè i limiti laterali sono entrambi uguali a $\infty$ ma di segno opposto: se uno vale $+\infty$, l’altro deve valere $-\infty$.

Definizione: punto di flesso a tangente verticale

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0\in \text{dom}(f)$ a $\text{dom}(f)$, diciamo che $x_0$ è un punto di flesso a tangente verticale per $f$ se $f$ è continua in $x_0$ e

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\pm \infty$$

cioè i limiti laterali sono entrambi uguali o a $+\infty$ o a $-\infty$.

5 - Algebra delle derivate

Teorema della derivata della somma

Date due funzioni $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}$ derivabili in un punto $x_0$ interno a $\text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)$, allora la loro somma $f+g$ è derivabile in $x_0$ e

$$(f+g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(x_0)$$

Teorema della derivata del prodotto

Date due funzioni $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}$ derivabili in un punto $x_0$ interno a $\text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)$, allora il loro prodotto $f\cdot g$ è derivabile in $x_0$ e

$$(f\cdot g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g^{\prime }(x_0)$$

Teorema della derivata del reciproco

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ derivabile in un punto $x_0$ interno a $\text{dom}(f)$, se $f(x_0)\ne 0$ allora il reciproco $\frac{1}{f}$ è derivabile in $x_0$ e

$${\left(\frac{1}{f}\right)}^{\prime }(x_0)=-\frac{f^{\prime }(x_0)}{[f(x_0){]}^2}$$

Teorema della derivata del quoziente

Date due funzioni $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}$ derivabili in un punto $x_0$ interno a $\text{dom}(f)\cap \text{dom}(g)$, se $g(x_0)\ne 0$ allora il loro quoziente $\frac{f}{g}$ è derivabile in $x_0$ e

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{[g(x_0){]}^2}$$

Teorema della derivata della funzione composta

Date due funzioni $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $g:\text{dom}(g)\to \mathbb{R}$ con immagine di $f$ nel dominio di $g$ (cioè $\text{im}(f)\subseteq \text{dom}(f)$) e un punto $x_0$ interno a $\text{dom}(f)$ tale che $f(x_0)$ è interno a $\text{dom}(g)$, se $f$ è derivabile in $x_0$ e $g$ è derivabile in $f(x_0)$, allora la loro composizione $g\circ f$ è derivabile in $x_0$ e

$$(g\circ f{)}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(f(x_0))\cdot f^{\prime }(x_0)$$

Teorema della derivata della funzione inversa

Dato un intervallo $I\subseteq \mathbb{R}$ e una funzione continua e invertibile $f:I\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0$ a $I$, se $f$ è derivabile in $x_0$ con $f^{\prime }(x_0)\ne 0$, allora la sua inversa $f^{-1}$ è derivabile in $x_0$ in $y_0=f(x_0)$ e

$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y_0))}$$

6 - Derivate $n$-esime

Finora la derivata di una funzione l’abbiamo chiamata prima. Ma perché prima? Perché in realtà una funzione è derivabile più volte: per esempio, data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ derivabile in un intervallo $(a,b)\subseteq \text{dom}(f)$ per cui quindi esiste la sua derivata $f^{\prime }$, possiamo nuovamente valutare la derivabilità di $f^{\prime }$, ossia possiamo chiederci se esiste finito il limite

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x_0+h)-f^{\prime }(x_0)}{h}$$

In caso di risposta affermativa denotiamo questo valore con $f^{\prime \prime }(x_0)$ e lo chiamiamo derivata seconda di $f$ in $x_0$. E così via.

Definizione: derivata $n$-esima di una funzione

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 1$, supponiamo che $f$ sia derivabile $n-1$ volte in un intorno di un punto $x_0\in \text{dom}(f)$, con derivata $(n-1)$-esima $f^{(n-1)}$. Se $f^{(n-1)}$ è a sua volta derivabile in $x_0$, diciamo che $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0$ e chiamiamo derivata $n$-esima di $f$ in $x_0$ la funzione

$$f^{(n)}(x_0)\stackrel{\text{def}}{=}{\left(f^{(n-1)}\right)}^{\prime }(x_0)$$

Per convenzione si pone $f^{(0)}=f$ e $f^{(1)}=f^{\prime }$.

7 - Teoremi fondamentali del calcolo differenziale

7.1 - Teorema di Fermat

Osservazione: comportamento di $f$ nei punti di estremo locale

Riprendiamo la definizione di punti minimi/massimi relativi.

Nelle applicazioni succede spesso che:

• i punti di massimo sono punti in cui $f$ è crescente in un intorno sinistro di tali punti e decrescente in un intorno destro,
• mentre i punti di minimo sono punti in cui $f$ è decrescente in un intorno sinistro di tali punti e crescente in un intorno destro:

	Punti di massimo	Punti di minimo
Intorno sinistro	$f$ è crescente	$f$ è decrescente
Intorno destro	$f$ è decrescente	$f$ è crescente

Inoltre, se $f$ è derivabile in tali punti, allora la derivata in quei punti è nulla, cioè la retta tangente al grafico nei punti corrispondenti ai punti di massimo e di minimo è orizzontale.

Oppure $f$ potrebbe non essere continua in tali punti, come nel caso della funzione $f(x)=|\text{sgn}(x)|$ che ha un punto di minimo in $x=0$ ma non è continua in tale punto.

Oppure $f$ potrebbe non essere derivabile in tali punti, come nel caso della funzione $f(x)=|x|$ che ha un punto di minimo in $x=0$ ma non è derivabile in tale punto.

Oppure tali punti potrebbero anche essere isolati.

Poiché la casistica è piuttosto vasta, vogliamo poter stabilire delle condizioni necessarie e/o sufficienti affinché un punto sia di estremo locale per una funzione.

Definizione: punto stazionario

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0\in \text{dom}(f)$ a $\text{dom}(f)$, se $f$ è derivabile in $x_0$ allora diciamo che $x_0$ è un punto stazionario (o critico) per $f$ se $f^{\prime }(x_0)=0$.

Teorema di Fermat

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0\in \text{dom}(f)$ a $\text{dom}(f)$, se $f$ è derivabile in $x_0$ e $x_0$ è un punto di massimo o di minimo locale per $f$, allora $x_0$ è un punto stazionario per $f$.

7.2 - Teorema di Lagrange

Teorema di Rolle

Data una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, se $f$ è continua in $[a,b]$, derivabile in $(a,b)$ e $f(a)=f(b)$, allora esiste almeno un punto $x_0\in (a,b)$ tale che $f^{\prime }(x_0)=0$.

Teorema di Lagrange (o del valore medio)

Data una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, se $f$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, allora esiste almeno un punto $x_0\in (a,b)$ tale che la derivata $f^{\prime }(x_0)$ di $f$ in $x_0$ è uguale al quoziente di Newton tra $a$ e $b$:

$$f^{\prime }(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Osservazione: significato del teorema di Lagrange

Il teorema di Lagrange stabilisce che esiste almeno un punto $x_0$ in $(a,b)$ per cui la pendenza di $f$ in $x_0$ è uguale alla pendenza del segmento passante per $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$.

Osservazione: molteplicità del punto $x_0$ nel teorema di Lagrange

Nel teorema di Lagrange il punto $x_0$ non è detto che sia unico: per esempio, quando $f$ è una funzione costante, ogni punto di $f$ ha la stessa pendenza di tutta $f$.

Osservazione: interpretazione cinematica del teorema di Lagrange

Se una funzione $f$ rappresenta la posizione di un oggetto su una retta e la sua derivata $f^{\prime }(c)$ in un punto $c\in (a,b)$ rappresenta la sua velocità istantanea al tempo $c$, allora la pendenza del segmento passante per $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$, cioè

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

rappresenta la velocità media dell’oggetto nell’intervallo $[a,b]$.

Ciò implica che il teorema di Lagrange afferma che esiste almeno un istante in cui la velocità istantanea dell’oggetto è uguale a quella media.

7.2.1 - Conseguenze del teorema di Lagrange

Ora vediamo una serie di corollari sul teorema di Lagrange.

Il prossimo corollario formalizza quanto abbiamo detto prima riguardo la molteplicità del punto $x_0$ nel teorema di Lagrange, ossia che quando una funzione è costante allora la sua derivata è sempre nulla.

Corollario di caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla

Data una funzione $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ derivabile, per ogni punto $x\in (a,b)$ la sua derivata $f^{\prime }(x)$ è nulla se e solo se esiste una costante $k\in \mathbb{R}$ tale che la funzione in ogni punto $x\in (a,b)$ vale $k$:

$$\begin{array}{c}\forall x\in (a,b).(f^{\prime }(x)=0)\\ \Updownarrow \\ \exists k\in \mathbb{R},\forall x\in (a,b).(f(x)=k)\end{array}$$

Dimostrazione del corollario di caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla

Dimostriamo il corollario di caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla.

Avendo una bi-implicazione, si devono dimostrare entrambe le direzioni:

• Direzione ($\Uparrow$): se per ogni $x\in (a,b)$ abbiamo che $f(x)=k$ per qualche costante $k\in \mathbb{R}$, allora sfruttando la definizione di derivata in un punto abbiamo che $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{k-k}{h}=0$$ Di conseguenza, la derivata $f^{\prime }(x)$ di $f$ in $x$ è nulla per ogni $x\in (a,b)$.
• Direzione ($\Downarrow$): essendo $f$ derivabile su $(a,b)$, allora $f$ è anche continua sul suo dominio $(a,b)$ per il teorema del legame fra la continuità e la derivabilità.
  Se prendiamo due punti $x_1,x_2\in (a,b)$ tali che $a<x_1<x_2<b$ allora $f$ soddisfa le ipotesi del teorema del Lagrange su $[x_1,x_2]⊊(a,b)$ per ogni scelta di $x_1$ e $x_2$ (cioè semplicemente applichiamo il teorema del Lagrange su un sottoinsieme del dominio), quindi abbiamo $$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=0⟹f(x_1)=f(x_2)$$ Dato che il valore della funzione è uguale sia in $x_1$ che in $x_2$ e dato che ciò vale per qualsiasi coppia di punti $x_1,x_2$ presi nel dominio, la funzione avrà lo stesso valore in ogni punto, ergo sarà necessariamente costante.

$■$

Corollario di caratterizzazione delle funzioni con derivata seconda nulla

Data una funzione $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ derivabile due volte, per ogni punto $x\in (a,b)$ la sua derivata seconda $f^{\prime }(x)$ è nulla se e solo se la funzione è lineare:

$$\begin{array}{c}\forall x\in (a,b).(f^{\prime \prime }(x)=0)\\ \Updownarrow \\ \exists m,q\in \mathbb{R},\forall x\in (a,b).(f(x)=mx+q)\end{array}$$

Dimostrazione del corollario di caratterizzazione delle funzioni con derivata seconda nulla

Dimostriamo il corollario di caratterizzazione delle funzioni con derivata seconda nulla.

Avendo una bi-implicazione, si devono dimostrare entrambe le direzioni:

• Direzione ($\Uparrow$): se $f$ è una funzione lineare (cioè $f(x)=mx+q$), la sua derivata $f^{\prime }$ è $$f^{\prime }(x)=m$$ quindi la sua derivata seconda è $$f^{\prime \prime }(x)=0$$
• Direzione ($\Downarrow$): se la derivata seconda è nulla, allora per il corollario di caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla esiste un valore $m\in \mathbb{R}$ (cioè il corrispettivo del valore $k$ nel corollario) per cui la derivata prima vale $m$ in ogni punto $x\in (a,b)$: $$\begin{array}{c}\forall x\in (a,b).(f^{\prime \prime }(x)=0)\\ \Updownarrow \\ \exists m\in \mathbb{R},\forall x\in (a,b).(f^{\prime }(x)=m)\end{array}$$ Prendiamo $f^{\prime }(x)=m$ e lo riscriviamo come $f^{\prime }(x)-m=0$. Usando il teorema della derivata della somma abbiamo che $$f^{\prime }(x)-m=(f(x)-mx{)}^{\prime }$$ E, avendo $(f(x)-mx{)}^{\prime }=0$, possiamo nuovamente applicare il corollario di caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla per cui esisterà un valore $q\in \mathbb{R}$ tale che $f(x)-mx=q$ per ogni punto $x\in \mathbb{R}$: $$\begin{array}{c}\forall x\in (a,b).\left(\right(f(x)-mx{)}^{\prime }=0)\\ \Updownarrow \\ \exists q\in \mathbb{R},\forall x\in (a,b).(f(x)-mx=q)\end{array}$$ Prendiamo $f(x)-mx=q$ e lo riscriviamo come $f(x)=mx+q$ che è proprio la formula della funzione lineare.

$■$

Corollario 1 di caratterizzazione delle primitive di una stessa funzione su un intervallo

Data una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ e una sua primitiva $F$, allora per ogni valore $c\in \mathbb{R}$ anche $F(x)+c$ è una primitiva di $f$.

Dimostrazione del corollario 1 di caratterizzazione delle primitive di una stessa funzione su un intervallo

Il corollario 1 di caratterizzazione delle primitive di una stessa funzione su un intervallo si può dimostrare molto facilmente semplicemente notando che, per qualsiasi valore $c\in \mathbb{R}$, la derivata corrisponderà sempre a $f$.

In particolare,

$$(F(x)+c{)}^{\prime }=F^{\prime }(x)+c^{\prime }$$

per il teorema della derivata della somma e, rispettivamente,

• $F^{\prime }(x)=f(x)$ per ipotesi del corollario e
• $c^{\prime }=0$ per la derivata di una costante.

Ergo,

$$\begin{array}{rl}(F(x)+c{)}^{\prime }& =F^{\prime }(x)+c^{\prime }\\ & =f(x)+0\\ & =f(x)\end{array}$$

Corollario 2 di caratterizzazione delle primitive di una stessa funzione su un intervallo

Data una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, se due funzioni $F_1$ ed $F_2$ sono primitive di $f$, allora differiscono per un valore $c\in \mathbb{R}$:

$$\forall x\in [a,b].(F_1(x)-F_2(x)=c)$$

Dimostrazione del corollario 2 di caratterizzazione delle primitive di una stessa funzione su un intervallo

Dimostriamo il corollario 2 di caratterizzazione delle primitive di una stessa funzione su un intervallo.

Per ipotesi, abbiamo che $F_1$ ed $F_2$ sono entrambe primitive di $f$:

$$F_1^{\prime }(x)=f(x)\wedge F_2^{\prime }(x)=f(x)$$

Allora $F_1^{\prime }(x)=F_2^{\prime }(x)$ perché entrambi sono uguali a $f(x)$. Se sono uguali, la loro differenza è $0$:

$$\begin{array}{c}{F}_1^{\prime }(x)=F_2^{\prime }(x)\\ \Updownarrow \\ F_1^{\prime }(x)-F_2^{\prime }(x)=0\end{array}$$

e, per il teorema della derivata della somma (o meglio, in questo caso, della differenza):

$$\begin{array}{c}{F}_1^{\prime }(x)-F_2^{\prime }(x)=0\\ \Updownarrow \\ (F_1(x)-F_2(x){)}^{\prime }=0\end{array}$$

Per il corollario di caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla, se $(F_1(x)-F_2(x){)}^{\prime }=0$ allora la primitiva $F_1(x)-F_2(x)$ assumerà un valore $c\in \mathbb{R}$ in ogni punto $x\in [a,b]$:

$$\begin{array}{c}\forall x\in (a,b).\left(\right(F_1(x)-F_2(x){)}^{\prime }=0)\\ \Updownarrow \\ \exists c\in \mathbb{R},\forall x\in (a,b).(F_1(x)-F_2(x)=c)\end{array}$$

Questo era esattamente ciò che volevamo dimostrare.

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Corollario del teorema di Lagrange

Dato un intervallo $I\subseteq \mathbb{R}$ e una funzione $f:I\to \mathbb{R}$ derivabile e due punti $x_0,x\in I$, esiste un punto $t$ compreso tra $x_0$ e $x$ (non necessariamente in questo ordine) tale che

$$f(x)-f(x_0)=f^{\prime }(t)\cdot (x-x_0)$$

Teorema del legame fra la monotonia e il segno della derivata

Dato un intervallo $(a,b)\subseteq \mathbb{R}$ e una funzione $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ derivabile, allora:

• $f$ è crescente (o decrescente) su $(a,b)$ se e solo se $f^{\prime }(x)\ge 0$ (o $f^{\prime }(x)\le 0$) per ogni $x\in (a,b)$: $$\forall x\in (a,b).\left(\begin{array}{c}f\text{ crescente su }(a,b)⟺f^{\prime }(x)\ge 0\\ f\text{ decrescente su }(a,b)⟺f^{\prime }(x)\le 0\end{array}\right)$$
• Se $f^{\prime }(x)>0$ (o $f^{\prime }(x)<0$) per ogni $x\in (a,b)$, allora $f$ è strettamente crescente (o strettamente decrescente) su $(a,b)$: $$\forall x\in (a,b).\left(\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)>0⟹f\text{ strettamente crescente su }(a,b)\\ f^{\prime }(x)<0⟹f\text{ strettamente decrescente su }(a,b)\end{array}\right)$$

Dimostrazione del teorema del legame fra la monotonia e il segno della derivata

Dimostriamo il teorema del legame fra la monotonia e il segno della derivata.

Dimostriamo in primis che $f$ è crescente su $(a,b)$ se e solo se $f^{\prime }(x)\ge 0$. Essendo una bi-implicazione, dimostriamo entrambe le direzioni:

• Direzione ($⟹$): sappiamo che $f$ è crescente su $(a,b)$, ossia che (per definizione di funzione crescente), $$\forall x,z\in (a,b).\left(x<z⟹f(x)\le f(z)\right)$$ Per verificare il segno della derivata, usiamo il quoziente di Newton: $$\frac{f(z)-f(x)}{z-x}$$ Questo quoziente sarà sempre positivo perché, essendo $f$ crescente su $(a,b)$, $z$ sarà sempre maggiore di $f$ e quindi denominatore e numeratore avranno lo stesso segno, dando così segno positivo al quoziente.
  Per il corollario del teorema della permanenza del segno, essendo questo quoziente di Newton positivo, il limite $$\underset{z\to x}{\lim }\frac{f(z)-f(x)}{z-x}$$ sarà sempre positivo.
  Questo limite corrisponde proprio a quello della derivata $f^{\prime }$ che sarà quindi sempre positivo.
• Direzione ($⟸$): sappiamo che la derivata $f^{\prime }(x)$ è sempre positiva per qualsiasi $x\in (a,b)$. Vogliamo dimostrare che $f$ è crescente, ovvero che $$\forall x_1,x_2\in (a,b).\left(x_1<x_2⟹f(x_1)\le f(x_2)\right)$$ Consideriamo quindi l’intervallo $[x_1,x_2]\subseteq (a,b)$, su cui possiamo applicare il teorema di Lagrange ottenendo così un punto $c\in (x_1,x_2)$ tale che la derivata di $f$ in $c$ è uguale al quoziente di Newton tra $x_1$ e $x_2$: $$\exists c\in (x_1,x_2).\left(f^{\prime }(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\right)$$ Avendo $f^{\prime }(c)\ge 0$ per ipotesi e $x_2>x_1$ perché abbiamo scelto così questi due punti, allora nel quoziente di Newton qua sopra $f(x_2)-f(x_1)$ sarà necessariamente positivo, ovvero ciò che volevamo dimostrare.

Dimostrare gli altri casi.

$■$

Corollario del teorema del legame fra la monotonia e il segno della derivata

Data una funzione $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, se $f$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$, allora:

• Se $f^{\prime }(x)\ge 0$ (o $f^{\prime }(x)\le 0$) per ogni $x\in (a,b)$, allora $f$ è crescente (o decrescente) su $[a,b]$.
• Se $f^{\prime }(x)>0$ (o $f^{\prime }(x)<0$) per ogni $x\in (a,b)$, allora $f$ è strettamente crescente (o strettamente decrescente) su $[a,b]$.

$$\forall x\in (a,b).\left(\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)\ge 0⟹f\text{ crescente su }[a,b]\\ f^{\prime }(x)\le 0⟹f\text{ decrescente su }[a,b]\\ f^{\prime }(x)>0⟹f\text{ strettamente crescente su }[a,b]\\ f^{\prime }(x)<0⟹f\text{ strettamente decrescente su }[a,b]\end{array}\right)$$

Teorema del test per la ricerca dei punti di massimo e minimo

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$, un intervallo $I\subseteq \text{dom}(f)$ e un punto interno $x_0$ a $I$, se $f$ è continua in $I$ e derivabile in $I\setminus \{x_0\}$, allora:

• Se $f^{\prime }(x)>0$ per ogni $x\in I$ con $x<x_0$ e $f^{\prime }(x)<0$ per ogni $x\in I$ con $x>x_0$, allora $x_0$ è un punto di massimo locale per $f$:

  	$x<x_0$	$x>x_0$
  Valore di $f^{\prime }$	$f^{\prime }(x)>0$	$f^{\prime }(x)<0$
  Monotonia di $f$	$f$ è crescente	$f$ è decrescente

• Se $f^{\prime }(x)<0$ per ogni $x\in I$ con $x<x_0$ e $f^{\prime }(x)>0$ per ogni $x\in I$ con $x>x_0$, allora $x_0$ è un punto di minimo locale per $f$:

  	$x<x_0$	$x>x_0$
  Valore di $f^{\prime }$	$f^{\prime }(x)<0$	$f^{\prime }(x)>0$
  Monotonia di $f$	$f$ è decrescente	$f$ è crescente

• Se $f^{\prime }(x)>0$ per ogni $x\in I$ con $x\ne x_0$, allora $x_0$ non è né un punto di massimo né un punto di minimo per $f$:

  	$x<x_0$	$x>x_0$
  Valore di $f^{\prime }$	$f^{\prime }(x)>0$	$f^{\prime }(x)>0$
  Monotonia di $f$	$f$ è crescente	$f$ è crescente

• Se $f^{\prime }(x)<0$ per ogni $x\in I$ con $x\ne x_0$, allora $x_0$ non è né un punto di massimo né un punto di minimo per $f$:

  	$x<x_0$	$x>x_0$
  Valore di $f^{\prime }$	$f^{\prime }(x)<0$	$f^{\prime }(x)<0$
  Monotonia di $f$	$f$ è decrescente	$f$ è decrescente

Abbiamo visto che se $f$ è una funzione costante ed è derivabile, allora $f^{\prime }(x)=0$ per ogni $x\in \text{dom}(f)$. Il viceversa è vero, sotto opportune ipotesi, come afferma il prossimo risultato.

Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti

Dato un intervallo $I\subseteq \mathbb{R}$ e una funzione $f:I\to \mathbb{R}$ derivabile tale che $f^{\prime }(x)=0$ per ogni $x\in I$, allora $f$ è costante su $I$.

Teorema del legame tra la concavità e la monotonia della derivata

Data una funzione $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ derivabile, allora:

• $f$ è convessa su $(a,b)$ se e solo se la sua derivata $f^{\prime }$ è crescente su $(a,b)$ e
• $f$ è concava su $(a,b)$ se e solo se la sua derivata $f^{\prime }$ è decrescente su $(a,b)$:

$$\forall x\in (a,b).\left(\begin{array}{c}f\text{ eˋ convessa su }(a,b)⟺f^{\prime }\text{ eˋ crescente su }(a,b)\\ f\text{ eˋ concava su }(a,b)⟺f^{\prime }\text{ eˋ decrescente su }(a,b)\end{array}\right)$$

Dimostrazione del teorema del legame tra la concavità e la monotonia della derivata

Dimostriamo la prima affermazione: come nella definizione di funzione convessa, scegliamo due punti $x_1,x_2\in (a,b)$ tali che $x_1<x_2$ e definiamo una funzione $c(x)$ come

$$c(x)\stackrel{\text{def}}{=}f(x_1)+\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)$$

e una funzione $g(x)$ come

$$g(x)\stackrel{\text{def}}{=}f(x)-c(x)$$

per ogni $x\in [x_1,x_2]$.

La funzione $g$ è certamente derivabile perché è differenza di due funzioni derivabili ($f(x)$ per ipotesi e $c(x)$ perché è una funzione lineare).

Calcolando la sua derivata otteniamo:

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& =f^{\prime }(x)-c^{\prime }(x)\\ & =f^{\prime }(x)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\end{array}$$

Inoltre, calcolando la funzione agli estremi dell’intervallo si ha banalmente $g(x_1)=0$ e $g(x_2)=0$.

A questo punto verifichiamo la bi-implicazione in entrambe le direzioni:

• Direzione ($⟹$): se $f$ è convessa, allora per definizione di funzione convessa nell’intervallo $[x_1,x_2]$ il grafico si troverà sempre al di sotto o in corrispondenza di $c(x)$:

  $$\forall x\in [x_1,x_2].(f(x)\le c(x))$$

  Dunque si ha $g(x)=f(x)-c(x)\le 0$ per ogni $x\in [x_1,x_2]$. Consideriamo il quoziente di Newton di $g$ tra un punto $x\in (x_1,x_2)$ e $x_1$:

  $$\frac{g(x)-g(x_1)}{x-x_1}$$

  In particolare:

  • $g(x)\le 0$ per quello che ci siamo appena detti,
  • $g(x_1)=0$ per ipotesi e
  • $x-x_1>0$ perché $x_1<x<x_2$.
    Ciò comporta che questo quoziente di Newton sarà negativo. Il limite per $x\to x_1^{+}$, ossia proprio il valore di $g^{\prime }(x_1)$ (attenzione: qua serve il limite destro perché $x_1$ è un estremo dell’intervallo), sarà negativa per il corollario del teorema della permanenza del segno:
  $$g^{\prime }(x_1)\le 0$$

  Possiamo fare lo stesso discorso per il quoziente di Newton di $g$ tra un punto $x\in (x_1,x_2)$ e $x_2$, ottenendo infine che

  $$g^{\prime }(x_2)\ge 0$$

  Abbiamo quindi che

  $$g^{\prime }(x_1)\le 0\le g^{\prime }(x_2)$$

  e, in particolare,

  $$g^{\prime }(x_1)\le g^{\prime }(x_2)$$

  che dimostra che $g^{\prime }$ è crescente in $(x_1,x_2)$ e in particolare in $(a,b)$ quando $x_1=a$ e $x_2=b$.

• Direzione ($⟸$): supponiamo che $f^{\prime }$ sia crescente. Nei punti in cui la derivata $f^{\prime }$ di $f$ sarà crescente, anche la derivata $g^{\prime }$ di $g$ sarà crescente perché $g^{\prime }$ è data dalla differenza tra $f^{\prime }$ (che è crescente) e $c^{\prime }$ (che sarà una costante).
  Applicando il teorema di Lagrange a $g$ su $[x_1,x_2]$ e sapendo che $g(x_1)=g(x_2)=0$ otteniamo che esisterà un punto $c\in [x_1,x_2]$ tale che $g^{\prime }(c)=0$.
  Inoltre, sapendo che $g^{\prime }$ è crescente, allora per il teorema del legame fra la monotonia e il segno della derivata abbiamo che:

  • Essendo $g^{\prime }(x)\le 0$ su $[x_1,c)$, allora $g$ è decrescente su $[x_1,c)$.
  • Essendo $g^{\prime }(x)\ge 0$ su $(c,x_2]$, allora $g$ è crescente su $(c,x_2]$.
    In particolare, essendo $g(x_1)=0$ e $g(x_2)=0$, deduciamo che:
  • $g(x)\le 0$ per ogni $x\in [x_1,c]$ (poiché parte dal valore $0$ in $x_1$ e decresce fino a $g(c)$).
  • $g(x)\le 0$ per ogni $x\in (c,x_2]$ (poiché deve crescere fino a raggiungere il valore $0$ in $x_2$).
    Unendo questi due risultati, otteniamo complessivamente che $g(x)\le 0$ per ogni $x\in [x_1,x_2]$, che equivale a dire:
  $$g(x)\le 0⟺f(x)-c(x)\le 0⟺f(x)\le c(x)$$

  Questo dimostra che il grafico di $f$ si trova sempre al di sotto della corda secante $c(x)$, rispettando quindi la definizione di funzione convessa su $(a,b)$.

La seconda parte del teorema, quella sulle funzioni concave, si dimostra analogamente.

Corollario del legame tra la concavità e il segno della derivata seconda

Data una funzione $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ derivabile due volte, allora

• $f$ è convessa su $(a,b)$ se e solo se la derivata seconda di $f$ è positiva per ogni $x\in (a,b)$ e
• $f$ è concava su $(a,b)$ se e solo se la derivata seconda di $f$ è negativa per ogni $x\in (a,b)$:

$$\forall x\in (a,b).\left(\begin{array}{c}f\text{ eˋ convessa su }(a,b)⟺f^{\prime \prime }(x)\ge 0\\ f\text{ eˋ concava su }(a,b)⟺f^{\prime \prime }(x)\le 0\end{array}\right)$$

Dimostrazione del corollario del legame tra la concavità e il segno della derivata seconda

Dimostriamo il corollario del legame tra la concavità e il segno della derivata seconda.

Possiamo dimostrare in blocco entrambe le affermazioni, sia quella sulla concavità che quella sulla convessità applicando prima il teorema del legame tra la concavità e la monotonia della derivata, per cui

$$\forall x\in (a,b).\left(\begin{array}{c}f\text{ eˋ convessa su }(a,b)⟺f^{\prime }\text{ eˋ crescente su }(a,b)\\ f\text{ eˋ concava su }(a,b)⟺f^{\prime }\text{ eˋ decrescente su }(a,b)\end{array}\right)$$

e poi il teorema del legame fra la monotonia e il segno della derivata:

$$\forall x\in (a,b).\left(\begin{array}{c}f\text{ eˋ convessa su }(a,b)⟺f^{\prime }\text{ eˋ crescente su }(a,b)⟺f^{\prime \prime }\ge 0\\ f\text{ eˋ concava su }(a,b)⟺f^{\prime }\text{ eˋ decrescente su }(a,b)⟺f^{\prime \prime }\le 0\end{array}\right)$$

$■$

7.3 - Teoremi di De l’Hôpital

Questi teoremi sono uno strumento molto potente per calcolare alcuni limiti che sono forme indeterminate algebriche del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$.

Teorema di De l'Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{0}{0}$

Dato un intervallo $A\subseteq \mathbb{R}$, due funzioni $f,g:A\to \mathbb{R}$, e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se:

1. i limiti di $f$ e $g$ per $x\to x_0$ sono nulli (cioè $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=0$),
2. esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f$ e $g$ siano derivabili in ogni $x\in A\cap I(x_0)$ (con $x\ne x_0$) e che per tali $x$ si ha $g^{\prime }(x)\ne 0$ e
3. esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$,

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=l$$

Teorema di De l'Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{\infty }{\infty }$

Dato un intervallo $A\subseteq \mathbb{R}$, due funzioni $f,g:A\to \mathbb{R}$, e un punto di accumulazione $x_0\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ per $A$, se:

1. i limiti di $f$ e $g$ per $x\to x_0$ sono infiniti (cioè $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\pm \infty$ e $\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\pm \infty$),
2. esiste un intorno $I(x_0)$ di $x_0$ tale che $f$ e $g$ siano derivabili in ogni $x\in A\cap I(x_0)$ (con $x\ne x_0$) e che per tali $x$ si ha $g^{\prime }(x)\ne 0$ e
3. esiste il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=l\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$,

allora

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=l$$

Esempio: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}$ col teorema di De l'Hôpital

Prendiamo il limite $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}$.

Questo limite è una forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{0}{0}$ perché

$$\underset{x\to 0}{\lim }(\sin x-x)=0\wedge \underset{x\to 0}{\lim }{x}^3=0$$

Inoltre, abbiamo che sia il numeratore $\sin x-x$ che il denominatore $x^3$ sono funzioni derivabili.

Non possiamo sapere a priori se riusciamo a usare il teorema di De l’Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{0}{0}$ perché non sappiamo se viene rispettata la terza condizione, cioè non sappiamo se esiste il limite del rapporto delle derivate $(\sin x-x{)}^{\prime }$ e $(x^3{)}^{\prime }$. Nel caso tentar non nuoce, quindi proviamo a calcolarlo e vediamo se esiste:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sin x-x{)}^{\prime }}{(x^3{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(-\frac{1}{3}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\right)=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$$

(Ricordiamo che $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ per il limite notevole del coseno tendente a $0$).

Poiché il limite del rapporto delle derivate $(\sin x-x{)}^{\prime }$ e $(x^3{)}^{\prime }$ esiste ed è pari a $-\frac{1}{6}\in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$, possiamo concludere che siamo dei ludopatici davvero in gamba dato che abbiamo vinto la scommessa iniziale. Possiamo quindi usare il teorema di De l’Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{0}{0}$, il quale ci dice che il limite $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}$ ha lo stesso valore del limite $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\sin x-x{)}^{\prime }}{(x^3{)}^{\prime }}$, ossia $-\frac{1}{6}$:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}$$

Attenzione: cosa fare se non esiste il limite delle derivate

Se una delle ipotesi del teorema di De l’Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{0}{0}$ non è verificata, allora non possiamo usarlo e dobbiamo trovare un altro modo per calcolare quel limite. Il caso più comune è quello in cui non viene soddisfatta la terza ipotesi, cioè non esiste il limite del rapporto delle derivate del numeratore e del denominatore. In questo caso, è errato dire che se n0n esiste il limite delle derivate allora non esiste neanche il limite “normale”:

$$\nexists \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}/⟹\nexists \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$$

Esempio di limite delle derivate che non esiste

Prendiamo il limite $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x+3}$.

Questo limite è una forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{\infty }{\infty }$ perché

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x+\sin x)=+\infty \wedge \underset{x\to +\infty }{\lim }(x+3)=+\infty$$

Inoltre, abbiamo che sia il numeratore $x+\sin x$ che il denominatore $x+3$ sono funzioni derivabili.

Non possiamo sapere a priori se riusciamo a usare il teorema di De l’Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{\infty }{\infty }$ perché non sappiamo se viene rispettata la terza condizione, cioè non sappiamo se esiste il limite del rapporto delle derivate $(x+\sin x{)}^{\prime }$ e $(x+3{)}^{\prime }$. Anche in questo caso facciamo un po’ di gioco d’azzardo e tentiamo la giocata provando a calcolarlo:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(x+\sin x{)}^{\prime }}{(x+3{)}^{\prime }}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\cos x}{1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }(1+\cos x)$$

Poiché quest’ultmo limite non esiste, allora abbiamo perso la scommessa e non possiamo applicare il teorema di De l’Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{\infty }{\infty }$. Per calcolare il limite di partenza, quindi, dobbiamo cambiare metodo: per esempio, essendo $\sin x$ $o$-piccolo di $x$ per $x\to +\infty$ e $3$ è $o$-piccolo di $x$ per $x\to +\infty$, possiamo usare il PETT per eliminare proprio questi termini:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+o(x)}{x+o(x)}\stackrel{\text{PETT}}{=}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x}=1$$

Abbiamo capito quindi che non ci conviene fare sempre ricorso ai teoremi di De l’Hôpital per risolvere le forme indeterminate.

Esempio di limite delle derivate ricorsive

Ora prendiamo il limite $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.

Questo limite è una forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{\infty }{\infty }$ perché

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x^2+1}=+\infty \wedge \underset{x\to +\infty }{\lim }(x)=+\infty$$

Inoltre, abbiamo che sia il numeratore $x+\sin x$ che il denominatore $x+3$ sono funzioni derivabili.

Non possiamo sapere a priori se riusciamo a usare il teorema di De l’Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{\infty }{\infty }$ perché non sappiamo se viene rispettata la terza condizione, cioè non sappiamo se esiste il limite del rapporto delle derivate $(\sqrt{x^2+1}{)}^{\prime }$ e $x^{\prime }$. Proviamo a calcolarlo:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(\sqrt{x^2+1}{)}^{\prime }}{x^{\prime }}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

Dato che non sappiamo come procedere, proviamo nuovamente ad applicare il teorema di De l’Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{\infty }{\infty }$, calcolando di nuovo il limite del rapporto delle derivate $x^{\prime }$ e $(\sqrt{x^2+1}{)}^{\prime }$:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^{\prime }}{(\sqrt{x^2+1}{)}^{\prime }}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$

Boh a quanto pare siamo stati trollati: siamo tornati esattamente al limite di partenza. Abbiamo quindi capito che ci sono alcuni limiti che portano a derivate “ricorsive”, cioè che prima o poi tornano su se stesse.

Non possiamo quindi applicare il teorema di De l’Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{\infty }{\infty }$ perché non arriveremo mai a risolvere il limite, quindi meglio se tentiamo un altro metodo.

7.3.1 - Conseguenze dei teoremi di De l’Hôpital

Teorema di derivabilità in un punto mediante il limite della derivata

Dato un intervallo $I\subseteq \mathbb{R}$, una funzione $f:I\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0$ a $I$ e supponiamo che:

1. $f$ sia continua in $I$,
2. $f$ sia derivabile in $I\setminus \{x_0\}$ (cioè non sappiamo se è derivabile anche in $x_0$) e
3. esista il limite $\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=l\in \mathbb{R}$,

allora $f$ è derivabile in $x_0$ con $f^{\prime }(x_0)=l$ e la derivata $f^{\prime }$ è continua in $x_0$.

Osservazione: significato del teorema di derivabilità in un punto mediante il limite della derivata

Il teorema di derivabilità in un punto mediante il limite della derivata ci dice che se una funzione $f$ è continua in un punto $x_0$ ed è derivabile in tutto un intorno di $x_0$ ma non sappiamo se è derivabile in $x_0$ stesso, se il limite della derivata per $x\to x_0$ è un numero reale allora possiamo confermare che $f$ è derivabile in $x_0$ e questa derivata $f^{\prime }$ nel punto $x_0$ ha proprio lo stesso valore $l$ del limite per $x\to x_0$.

Se invece non esiste il limite della derivata per $x\to x_0$, allora non possiamo concludere nulla sulla derivabilità di $f$ in $x_0$ e dobbiamo ricorrere al calcolo del limite del rapporto incrementale senza poter ricorrere ai teoremi di De l’Hôpital.

Proposizione: non-derivabilità se il limite della derivata è infinito

Data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto interno $x_0$ a $\text{dom}(f)$, se il limite della sua derivata $f^{\prime }$ per $x\to x_0$ è infinito, allora $f$ non è sicuramente derivabile in $x_0$:

$$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\pm \infty ⟹f\text{ non eˋ derivabile in }{x}_0$$

Teorema di discontinuità della derivata

Dato un intervallo aperto $I\subseteq \mathbb{R}$ e una funzione derivabile $f:I\to \mathbb{R}$, la sua derivata $f^{\prime }$ non può presentare punti di discontinuità eliminabile o di prima specie, cioè se $f^{\prime }$ è discontinua allora presenta solo punti di discontinuità di seconda specie.

In particolare, se un punto $x_0\in I$ è di discontinuità di $f^{\prime }$, allora non esistono i limiti laterali $\underset{x\to x_0^{\pm }}{\lim }{f}^{\prime }(x)$.

Osservazione: riformulazione dei punti di non derivabilità con De l'Hôpital

Grazie al teorema di De l’Hôpital della forma indeterminata algebrica del tipo $\frac{0}{0}$ abbiamo un modo più semplice per classificare i punti di non derivabilità.

Infatti, data una funzione $f:\text{dom}(f)\to \mathbb{R}$ e un punto $x_0$ interno a $\text{dom}(f)$, se $f$ è continua in $x_0$ e derivabile in tutto un intorno $I\subseteq \text{dom}(f)$ escluso $x_0$ stesso in cui non sappiamo se $f$ è derivabile, allora:

• Se i limiti laterali della derivata $\underset{x\to x_0^{\pm }}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ esistono finiti e diversi fra loro, oppure se uno è finito e l’altro è infinito, allora $x_0$ è un punto angoloso per $f$.
• Se i limiti laterali della derivata $\underset{x\to x_0^{\pm }}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ esistono infiniti e diversi fra loro, allora $x_0$ è una cuspide per $f$.
• Se i limiti laterali della derivata $\underset{x\to x_0^{\pm }}{\lim }{f}^{\prime }(x)$ esistono infiniti e uguali, allora $x_0$ è un punto di flesso a tangente verticale per $f$.

	$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{\ne l^{\prime }}{\underbrace{l}}\in \mathbb{R}$	$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=-\infty$	$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=+\infty$
$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underset{\ne l}{\underbrace{l^{\prime }}}\in \mathbb{R}$	$x_0$ è un punto angoloso per $f$	$x_0$ è un punto angoloso per $f$	$x_0$ è un punto angoloso per $f$
$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=-\infty$	$x_0$ è un punto angoloso per $f$	$x_0$ è un punto di flesso a tangente verticale per $f$	$x_0$ è una cuspide per $f$
$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=+\infty$	$x_0$ è un punto angoloso per $f$	$x_0$ è una cuspide per $f$	$x_0$ è un punto di flesso a tangente verticale per $f$

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Fonti

• 🏫 Corso di Laurea in Informatica (L-31 R) presso l’Università di Torino:
  • Corso di Analisi Matematica - canale C, A.A. 2020-21 (pagina Moodle):
    • Prof. Barutello Vivina Laura, videolezioni:
      • L1a, L1b.
      • L2a, L2b.
      • L3a.
      • L10a, L10b.
      • L11a, L11b.
• 📚 Sergio Lancelotti, Lezioni di Analisi Matematica I, Celid, 2020 (ISBN: 978-8867891979):
  • Capitolo 4 - Calcolo differenziale per funzioni di una variabile:
    • 1 - Derivata di una funzione:
      • 1.1 - Punti di non derivabilità.
      • 1.2 - Algebra delle derivate.
    • 2 - Teoremi fondamentali del calcolo differenziale:
      • 2.1 - Teorema di Fermat.
      • 2.2 - Teorema di Lagrange e sue conseguenze.
      • 2.3 - I teoremi di De l’Hôpital.
• 📚 Walter Dambrosio, Analisi matematica - Fare e comprendere, Zanichelli, 2018 (ISBN: 9788808220745):
  • Parte I - I concetti dell’analisi matematica:
    • Capitolo 2 - Introduzione al calcolo differenziale:
      • 1 - Derivata di una funzione in un punto:
        • 1.1 - Pendenza di una funzione in un punto: il concetto di “localmente dritto”.